3.2 培优课 圆锥曲线的离心率问题(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

培优课　圆锥曲线的离心率问题 1.已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的离心率为（　　） A.　　　　　　　　B.　　　　　　　　 C.　　　　　　　　D. 2.如图，椭圆①②与双曲线③④的离心率分别为e1，e2，e3，e4，其大小关系为（　　） A.e1＜e2＜e3＜e4 B.e2＜e1＜e3＜e4 C.e1＜e2＜e4＜e3 D.e2＜e1＜e4＜e3 3.设双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为该双曲线上一点且2｜PF1｜＝3｜PF2｜，若∠F1PF2＝60°，则该双曲线的离心率为（　　） A. B. C. D. 4.（2025·苏州质检）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相交，则椭圆C的离心率的取值范围为（　　） A.（0，） B.（，1） C.（，1） D.（0，） 5.已知F1，F2是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰直角三角形，且∠F1F2P＝90°，则C的离心率为（　　） A. B. C. D. 6.古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，若从椭圆右焦点F2发出的光线经过椭圆上的点A和点B反射后，满足AB⊥AD，且cos∠ABC＝，则该椭圆的离心率为（　　） A. B. C. D. 7.〔多选〕已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）上存在点P，使得｜PF1｜＝4｜PF2｜，其中F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（　　） A. B. C. D.－1 8.〔多选〕已知双曲线－＝1（m＞0），则（　　） A.离心率的最小值为4 B.当m＝1时离心率最小 C.离心率最小时双曲线的标准方程为－＝1 D.离心率最小时双曲线的渐近线方程为x±y＝0 9.已知圆C1：x2＋y2＝b2与椭圆C2：＋＝1（a＞b＞0），P为椭圆C2的右顶点，由点P作圆C1的两条切线，其夹角为60°，则椭圆C2的离心率为　　　　. 10.已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且｜PF1｜＞｜PF2｜，线段PF1的垂直平分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则＋的最小值为　　　　. 11.双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0）. （1）若双曲线C为等轴双曲线，且过点P（2，），求双曲线C的方程； （2）经过原点O且倾斜角为45°的直线l与双曲线C的右支交于点M，△OMF是以线段OF为底边的等腰三角形，求双曲线C的离心率. 12.（2025·杭州质检）如图，在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），P为直线x＝上一点，点Q在椭圆上，且FQ⊥FP. （1）若椭圆的离心率为，短轴长为2. ①求椭圆的方程； ②若直线OQ，PQ的斜率分别为k1，k2，求k1·k2的值. （2）若在x轴上方存在P，Q两点，使O，F，P，Q四点共圆，求椭圆离心率的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优课　圆锥曲线的离心率问题 1.B　因为双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，所以双曲线C为焦点在y轴上的双曲线，且＝.所以＝2，所以双曲线的离心率为e＝＝.故选B. 2.C　根据椭圆越扁离心率越大，可得0＜e1＜e2＜1，根据双曲线开口越大离心率越大，可得1＜e4＜e3，故可得：e1＜e2＜e4＜e3，故选C. 3.D　因为2｜PF1｜＝3｜PF2｜，所以由双曲线的定义知，｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，故｜PF1｜＝6a，｜PF2｜＝4a.在△PF1F2中，由余弦定理得4c2＝36a2＋16a2－2·6a·4acos 60°，化简整理得c＝a，故e＝. 4.B　由题设，以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，与直线bx－ay＋2ab＝0相交，所以＜a，可得3b2＝3（a2－c2）＜a2，即e2＞.又0＜e＜1，所以＜e＜1. 5.A　如图所示，由椭圆＋＝1（a＞b＞0），得到左顶点A（－a，0），又由点P在过点A且斜率为的直线上，可得AP方程为y＝（x＋a），因为△PF1F2为等腰直角三角形，且∠F1F2P＝90°，可得P（c，2c），代入直线y＝（x＋a），可得2c＝（c＋a），整理得3c＝a，所以椭圆的离心率为e＝＝，故选A. 6.D　由题意，可作图如图所示，则cos∠ABF1＝＝，sin∠ABF1＝＝＝，即｜AB｜∶｜AF1｜∶｜BF1｜＝3∶4∶5，可设｜AB｜＝3k，｜AF1｜＝4k，｜BF1｜＝5k，由｜AB｜＋｜AF1｜＋｜BF1｜＝｜AF2｜＋｜BF2｜＋｜AF1｜＋｜BF1｜＝4a，则4k＋3k＋5k＝4a，即3k＝a，｜AF2｜＝2a－｜AF1｜＝2k，在Rt△AF1F2中，｜F1F2｜＝＝2k＝2c，则e＝＝＝.故选D. 7.BCD　因为｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，又｜PF1｜＝4｜PF2｜，所以｜PF1｜＝，｜PF2｜＝，又｜PF1｜－｜PF2｜≤｜F1F2｜，即0＜－≤2c，所以≤2c，则e＝≥，又e＜1，所以≤e＜1，故符合题意的有B、C、D，故选B、C、D. 8.CD　由题意可得e2＝＝＝m＋.因为m＞0，所以e2＝m＋≥2＝4，即e≥2，当且仅当m＝，即m＝2时取等号.此时双曲线方程是－＝1，渐近线方程是x±y＝0.故选C、D. 9.　解析：圆C1：x2＋y2＝b2的圆心C1即为O（0，0），半径为b，由题意作图，由点P（a，0）作圆C1的两条切线PA，PB，∵两条切线的夹角为60°，∴∠OPA＝30°，∴｜OP｜＝2｜OA｜，即a＝2b，则a2＝4b2＝4（a2－c2），即3a2＝4c2，得e＝＝. 10.6　解析：设椭圆对应的参数为a1，b1，c，双曲线对应的参数为a2，b2，c，由于线段PF1的垂直平分线过F2，所以有｜F1F2｜＝｜PF2｜＝2c.根据双曲线和椭圆的定义有两式相减得到4c＝2（a1－a2），即a1－a2＝2c，所以＋＝＋＝4＋＋≥4＋2＝6，当且仅当c＝2a2时，等号成立，即最小值为6. 11.解：（1）∵双曲线C为等轴双曲线，∴－＝1， ∵双曲线过点P（2，），将其代入得＝1，解得a2＝1， ∴双曲线C的方程为x2－y2＝1. （2）法一　∵△OMF是以线段OF为底边的等腰三角形，∠MOF＝45°，∴△OMF是等腰直角三角形，｜OF｜＝c， 过M作MA⊥x轴于点A，如图所示， 则A（，0），M（，）， 设左焦点F1（－c，0），由双曲线定义知｜MF1｜－｜MF｜＝2a， ∴2a＝－ ＝c－c＝c， ∴e＝. 法二　同法一得M， ∵点M在双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）上， ∴－＝1，即－＝4， ∴e2－＝4， 整理得e4－6e2＋4＝0，解得e2＝3±， ∵e＞1，∴e2＝3＋，∴e＝＝＝＝. ∴e＝. 12.解：（1）①由题意，得解得a＝2，b＝，所以椭圆的方程为＋＝1. ②由①可得，焦点F（1，0），点P在直线x＝4上，设P（4，t），Q（x0，y0），则＋＝1， 所以＝3－，所以＝（x0－1，y0），＝（3，t）， 因为FP⊥FQ，所以·＝3（x0－1）＋ty0＝0，所以－ty0＝3（x0－1）， 所以k1k2＝·＝＝－. （2）法一　设P（，t），Q（x0，y0）， 因为FP⊥FQ，则△FPQ的外接圆即为以PQ为直径的圆，即（x－）·（x－x0）＋（y－t）（y－y0）＝0，由题意，焦点F，原点O均在该圆上， 消去ty0可得（c－）（c－x0）－x0＝0， 所以x0＝c－，因为点P，Q均在x轴上方，所以－a＜c－＜c， 即c2＋ac－a2＞0，所以e2＋e－1＞0，因为0＜e＜1，所以＜e＜1， 故e的取值范围为（，1）. 法二　因为O，F，P，Q四点共圆且FP⊥FQ，所以PQ为圆的直径，所以圆心必为PQ中点M，又圆心在弦OF的中垂线x＝上，所以圆心M的横坐标为xM＝， 所以点Q的横坐标为xQ＝2xM－＝c－，因为点P，Q均在x轴上方，所以－a＜c－＜c， 所以e2＋e－1＞0，因为0＜e＜1，所以＜e＜1，故e的取值范围为（，1）. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $