3.2.2 第2课时 双曲线方程及性质的应用-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂Word课时作业（人教A版2019）

[基础达标练] 1．直线y＝x＋3与双曲线－＝1(a>0，b>0)的交点个数是(　　 ) A．1　　 B．2 C．1或2　　 D．0 解析：A　[由题意，双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝x，因为直线y＝x＋3与双曲线的一条渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点．故选A.] 2．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别是F1、F2，过F1的直线l与双曲线相交于A、B两点，则满足|AB|＝3的直线l有(　　 ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 解析：C　[双曲线－＝1，过F1的直线l垂直于x轴时，|AB|＝＝＝3；双曲线两个顶点的距离为2， ∴满足|AB|＝3的直线l有3条，一条是通径所在的直线，另两条与右支相交．故选C.] 3．设离心率为e的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，直线l过点F且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支相交的充要条件是(　　 ) A．k2－e2>1 B．k2－e2<1 C．e2－k2>1 D．e2－k2<1 解析：C　[直线l与双曲线C的左、右两支相交的充要条件是直线l的斜率－<k<，两边平方得k2<＝＝e2－1，即e2－k2>1.] 4．过点P(2,1)的直线l与双曲线x2－＝1相交于A，B两点．若P是线段AB的中点，则直线l的方程是(　　) A．6x－y－11＝0 B．6x＋y－13＝0 C．2x－3y－1＝0 D．3x－2y－4＝0 解析：A　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式相减得直线l的斜率为＝＝＝6.又直线l过点P(2,1)，所以直线l的方程为y－1＝6(x－2)，即6x－y－11＝0，经检验此时直线l与双曲线有两个交点．] 5．(多选)已知双曲线C：－＝1过点(3，)，则下列结论正确的是(　　 ) A．C的焦距为4 B．C的离心率为 C．C的渐近线方程为y＝±x D．直线2x－y－1＝0与C有两个公共点 解析：AC　[由双曲线C：－＝1过点(3，)，可得m＝1，则双曲线C的标准方程为－y2＝1；所以a＝，b＝1，c＝＝2，因为椭圆C的焦距为2c＝4，所以选项A正确；因为椭圆C的离心率为＝＝，所以选项B不正确；因为椭圆C的渐近线方程为y＝±x，所以选项C正确；将直线2x－y－1＝0与双曲线－y2＝1联立消y可得3x2－4x＋4＝0， Δ＝(－4)2－4×3×4＝－32<0，所以直线2x－y－1＝0与双曲线C没有公共点，所以选项D不正确；故选AC.] 6．(多选)直线y＝mx＋1与双曲线x2－y2＝1有公共点，则m的取值不能为(　　 ) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：AD　[由得(1－m2)x2－2mx－2＝0. 由题意知1－m2＝0， 或解得－≤m≤.] 7．记双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝x与双曲线C无公共点”的e的一个值为　________　. 解析：由题意可知双曲线C的渐近线为直线y＝±x，离心率e＞1，若满足直线y＝x与C无公共点，则需≤，则有≤3，即e2－1≤3，解得1＜e≤2，故答案可以为2. 答案：2(区间(1,2]内任何一个值即可) 8．已知点A(0,1)，点P在双曲线C：－y2＝1上． (1)当|PA|最小时，求点P的坐标； (2)过点A的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，O为坐标原点，若△OMN的面积为2，求直线l的方程． 解：(1)设P(x，y)，则|PA|＝＝＝， 当y＝时，|PA|最小，故所求点P的坐标为. (2)由题知直线l的斜率存在，故可设l的方程为y＝kx＋1. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将直线l与双曲线方程联立得(1－2k2)x2－4kx－4＝0， 则Δ＝16(1－k2)>0且<0，即k2<. 由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝， 所以|x1－x2|＝＝，S△OMN＝×1×|x1－x2|＝·＝2， 解得k2＝或k2＝(舍去)，即k＝±，所以l的方程为x－2y＋2＝0或x＋2y－2＝0. [能力提升练] 9．过点P(4,2)作一直线AB与双曲线C：－y2＝1相交于A、B两点，若P为AB中点，则|AB|＝(　　 ) A．2 B．2 C．3 D．4 解析：D　[易知直线AB不与y轴平行，设其方程为y－2＝k(x－4) 代入双曲线C：－y2＝1，整理得(1－2k2)x2＋8k(2k－1)x－32k2＋32k－10＝0. 设此方程的两实根为x1，x2，则x1＋x2＝. 又P(4,2)为AB的中点，所以＝8，解得k＝1， 当k＝1时，直线与双曲线相交，即上述二次方程的Δ＞0， 所求直线AB的方程为y－2＝x－4，化成一般式为x－y－2＝0.x1＋x2＝8，x1x2＝10， |AB|＝|x1－x2|＝×＝4.故选D.] 10．(2023·全国乙卷(文)，12)设A，B为双曲线x2－＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是(　　) A．(1,1) B．(－1,2) C．(1,3) D．(－1，－4) 解析：D　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB的中点 M， 可得kAB＝，k＝＝， 因A，B在双曲线上，则，两式相减得(x－x)－＝0， 所以kAB·k＝＝9. 对于选项A：可得k＝1，kAB＝9， 则AB：y＝9x－8， 联立方程， 消去y得72x2－2×72x＋73＝0， 此时Δ＝(－2×72)2－4×72×73＝－288＜0， 所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误； 对于选项B：可得k＝－2，kAB＝－，则AB：y＝－x－， 联立方程，消去y得45x2＋ 2×45x＋61＝0， 此时Δ＝(2×45)2－4×45×61＝ －4×45×16＜0， 所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误； 对于选项C：可得k＝3，kAB＝3，则AB：y＝3x， 由双曲线方程可得a＝1，b＝3，则AB：y＝3x为双曲线的渐近线， 所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误； 对于选项D：k＝4，kAB＝，则AB：y＝x－， 联立方程，消去y得63x2＋126x－193＝0， 此时Δ＝1262＋4×63×193＞0，故直线AB与双曲线有两个交点，故D正确．] 11．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，过其左焦点F(－，0)作斜率为2的直线l交双曲线C于A，B两点，则截得的弦长|AB|＝　________　. 解析：∵双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x， ∴＝，即b＝a.∵左焦点F(－，0)，∴c＝， ∴c2＝a2＋b2＝3a2＝3，∴a2＝1，b2＝2， ∴双曲线方程为x2－＝1， 直线l的方程为y＝2(x＋)， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 消y可得x2＋4x＋7＝0，∴x1＋x2＝－4，x1x2＝7， ∴|AB|＝· ＝·＝×＝10. 答案：10 12．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标． 解：(1)由题意知a＝2，所以该双曲线的一条渐近线的方程为y＝x，即bx－2y＝0，所以＝，又c2＝a2＋b2，解得b2＝3，所以双曲线的方程为－＝1. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)(x0＞0)，则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0.将直线方程与双曲线方程联立得x2－16x＋84＝0，Δ＞0，则x1＋x2＝16，y1＋y2＝(x1＋x2)－4＝12. 又点D在双曲线的右支上，所以解得 由＋＝t，得(16，12)＝(4t,3t)， 所以t＝4，点D的坐标为(4，3)． [素养培优练] 13．(多选)设M为双曲线C：y2－＝1上一动点，F1，F2分别为双曲线C的上、下焦点，O为坐标原点，则下列结论正确的是(　　) A．若|MF1|＝4，则|MF2|＝2或6 B．双曲线C与双曲线D：－＝－1的离心率相同 C．若点Q(8,1)，点M在双曲线C的上支，则|MF2|＋|MQ|的最小值为2＋ D．过F1的直线l交C于不同的两点G，H，若|GH|＝7，则l有2条 解析：ABC　[对于A，因为a2＝1，b2＝3，所以a＝1，c＝＝＝2，则|F1F2|＝2c＝4，由双曲线的定义可知||MF1|－|MF2||＝2，又|MF1|＝4，则|4－|MF2||＝2，解得|MF2|＝2或6.当|MF2|＝2时，|MF1|＋|MF2|＝4＋2＝6＞|F1F2|＝4，符合题意；当|MF2|＝6时，|MF1|＋|MF2|＝4＋6＝10＞|F1F2|＝4，符合题意， 综上，|MF2|＝2或6，故A正确． 对于B，因为双曲线离心率e＝＝＝，所以双曲线C：y2－＝1的离心率＝2. 双曲线D：－＝－1，即－＝1，离心率为＝2， 所以双曲线C与双曲线D：－＝－1的离心率相同，故B正确． 对于C，|MF2|＋|MQ|＝2＋|MF1|＋|MQ|≥2＋|QF1|＝2＋，当且仅当点M在线段F1Q与双曲线的交点处时，等号成立，所以|MF2|＋|MQ|的最小值为2＋，故C正确． 对于D，由双曲线C：y2－＝1，得F1(0,2)，F2(0，－2)， 当直线l的斜率为0时，l的方程为y＝2，联立得或 所以G(3,2)，H(－3,2)，所以|GH|＝6，不符合题意； 当直线l的斜率不存在时，|GH|＝2，不符合题意，所以直线l的斜率存在且不为0. 故设l：y＝kx＋2，k≠0，设G(x1，y1)，H(x2，y2)， 联立得(3k2－1)x2＋12kx＋9＝0，则 所以|GH|＝＝ ＝＝7，所以6＋6k2＝7(3k2－1)或6＋6k2＝7(1－3k2)， 解得k＝±或k＝±，符合题意，所以这样的直线l有4条，故D错误．] 14．由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航．某日，甲舰在乙舰正东方向6 km处，丙舰在乙舰北偏西30°方向，相距4 km处，某时刻甲舰发现商船的求救信号，由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，若甲舰赶赴救援，行进的方向角应是多少？ 解：设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船．如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(3,0)，B(－3，0)，C(－5,2)． ∵|PB|＝|PC|，∴点P在线段BC的垂直平分线上， 又易知kBC＝－，线段BC的中点D(－4，)， ∴直线PD的方程为y－＝(x＋4)，　① 又|PB|－|PA|＝4， ∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上， ∴双曲线方程为－＝1(x≥2)，　② 联立①②，得P点坐标为(8,5)， ∴kPA＝＝，因此甲舰行进的方向角为北偏东30°. 学科网（北京）股份有限公司 $$