课后分层练(三十一)　双曲线及其标准方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（人教A版）

[课后分层练(三十一)]　双曲线及其标准方程 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，则在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是(　　 ) A．|PF1|－|PF2|＝±3 B．|PF1|－|PF2|＝±4 C．|PF1|－|PF2|＝±5 D．|PF1|2－|PF2|2＝±4 解析：选A．当|PF1|－|PF2|＝±3时，||PF1|－|PF2||＝3<|F1F2|＝4，满足双曲线的定义，所以选项A中点P的轨迹是双曲线． 2．双曲线2x2－3y2＝6的焦点坐标是(　　 ) A．(0，－) B．(－，0) C．(，0)，(－，0) D．(0，)，(0，－) 解析：选C．因为双曲线方程可化为－＝1，所以c2＝2＋3＝5，得c＝±，所以焦点坐标为(－，0)，(，0). 3．设k>1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是(　　 ) A．长轴在x轴上的椭圆 B．长轴在y轴上的椭圆 C．焦点在x轴上的双曲线 D．焦点在y轴上的双曲线 解析：选D． 因为k>1，所以1－k<0，k2－1>0，所以方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线． 4．若ab≠0，则ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab所表示的曲线只可能是下图中的(　　 ) 解析：选C．方程可化为y＝ax＋b和＋＝1.从B，D中的两个椭圆看，a，b∈(0，＋∞)，但由B中直线可知a<0，b<0，矛盾，应排除B；由D中直线可知a<0，b>0，矛盾，应排除D；再由A中双曲线可知a<0，b>0，与直线中a>0，b>0矛盾，应排除A；由C中的双曲线可知a>0，b<0，和直线中a>0，b<0一致，应选C． 5．(多选)(2025·江苏盐城高二模拟)已知曲线C：mx2－ny2＝1，下列说法正确的是(　　 ) A．若mn>0，则C为双曲线 B．若m>0且m＋n<0，则C为焦点在x轴上的椭圆 C．若m>0，n<0，则C不可能表示圆 D．若m>0，n>0，则C为两条直线 解析：选AB．若mn>0，则C为双曲线，所以A正确；若m>0且m＋n<0，则n<0，|n|>m>0，所以C为焦点在x轴上的椭圆，所以B正确；若m>0，n<0，当m＝1，n＝－1时，C是单位圆，所以C不正确；若m>0，n>0，则C为双曲线，所以D不正确． 6．(多选)过点(1，1)且＝的双曲线的标准方程是(　　 ) A．2x2－y2＝1 B．x2－2y2＝1 C．2y2－x2＝1 D．y2－2x2＝1 解析：选AC．若双曲线的焦点在x轴上， 设其标准方程为 －＝1(a>0，b>0)，由已知得 解得 故双曲线的标准方程为－y2＝1，即2x2－y2＝1. 若双曲线的焦点在y轴上，设其标准方程为 －＝1(a>0，b>0)， 由已知得解得 故双曲线的标准方程为－x2＝1，即2y2－x2＝1. 7．(2025·广东珠海高二期末模拟)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|＝6，则E的标准方程是________． 解析：如图， 由题意得|AB|＝3，|BC|＝2.设AB，CD的中点分别为M，N，在Rt△BMN中，|MN|＝2c＝2，故|BN|＝＝＝.由双曲线的定义可得2a＝|BN|－|BM|＝－＝1，即a2＝.而2c＝|MN|＝2，从而c＝1，b2＝.所以双曲线E的标准方程是－＝1. 答案：－＝1 8．若点P在双曲线－＝1上，且点P的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同，则点P的纵坐标为________．点P与双曲线的左焦点间的距离为________． 解析：记双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，设P(xP，yP). 因为点P的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同， 所以xP＝＝2，所以－＝1，解得yP＝±3，所以|PF2|＝3. 由双曲线定义可得|PF1|－|PF2|＝2a＝8，所以|PF1|＝11. 答案：±3　11 9．在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN＝90°，tan ∠PMN＝，求以M，N为焦点，焦点在x轴上且过点P的双曲线方程． 解：因为△MPN的周长为48，且tan ∠PMN＝，所以设|PN|＝3k，|PM|＝4k，则|MN|＝5k.由3k＋4k＋5k＝48得k＝4，所以|PN|＝12，|PM|＝16，|MN|＝20. 以MN所在直线为x轴，以MN的中点为原点建立直角坐标系，如图所示． 设所求双曲线方程为 －＝1(a>0，b>0). 由|PM|－|PN|＝4得2a＝4，a＝2，a2＝4. 由|MN|＝20得2c＝20，c＝10. 所以b2＝c2－a2＝96， 故所求双曲线方程为－＝1. 【综合运用】 10．(知识融合)椭圆＋＝1与双曲线y2－＝1有公共点P，则P与双曲线两焦点连线构成的三角形的面积为(　　 ) A．48 B．24 C．24 D．12 解析：选B．由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点F1(0，5)和F2(0，－5)，又由椭圆与双曲线的定义可得 所以或 又|F1F2|＝10，所以△PF1F2为直角三角形，∠F1PF2＝90°. 所以△PF1F2的面积S＝|PF1||PF2|＝×6×8＝24. 11．已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点的距离为4，则n的取值范围是(　　 ) A．(－1，3) B． C．(0，3) D． 解析：选A．∵双曲线－＝1的两焦点间的焦距为4， 当焦点在x轴上时，应满足解得－1＜n＜3. 当焦点在y轴上时，应满足此不等式组无解． 12．(多选)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个顶点分别为A1(－a，0)，A2(a，0)，P，Q的坐标分别为(0，b)，(0，－b)，且四边形A1PA2Q的面积为2，四边形A1PA2Q内切圆的周长为，则双曲线C的方程可以为(　　 ) A．－y2＝1 B．x2－＝1 C．－＝1 D．－＝1 解析：选AB．∵四边形A1PA2Q的面积为2， ∴×2a×2b＝2，得ab＝. 记四边形A1PA2Q内切圆的半径为r， 则2πr＝，解得r＝， 又4×cr＝2，则c＝， 联立 解得或 故双曲线C的方程为－y2＝1或x2－＝1. 13．(一题多解)如图，在以点O为圆心，|AB|＝4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB＝30°，曲线C是满足||MA|－|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程． 解：法一　以O为原点，AB，OD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 则A(－2，0)，B(2，0)，D(0，2)，P，依题意得||MA|－|MB||＝|PA|－|PB|＝－＝2＜|AB|＝4. 所以曲线C是以A，B为焦点的双曲线，则c＝2，2a＝2， 所以a2＝2，b2＝c2－a2＝2， 故曲线C的方程为－＝1. 法二　同法一建立平面直角坐标系，则依题意可得||MA|－|MB||＝|PA|－|PB|＜|AB|＝4， 所以曲线C是以A，B为焦点的双曲线． 设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则有解得 故曲线C的方程为－＝1. 【创新探索】 14．在△ABC中，A(－5，0)，B(5，0)，点C在双曲线－＝1上，则＝(　　 ) A． B．± C．－ D．± 解析：选D．因为在△ABC中，由正弦定理得sin A＝，sin B＝， sin C＝＝(R为△ABC外接圆的半径)，所以＝＝. 由双曲线的定义得|BC|－|AC|＝±8，所以＝±＝±. 15．已知△OFQ的面积为2，且·＝m，其中O为坐标原点． (1)设<m<4，求与的夹角θ的正切值的取值范围； (2)设以O为中心，F为其中一个焦点的双曲线经过点Q，如图所示，||＝c，m＝(－1)c2，当||取得最小值时，求此双曲线的标准方程． 解：(1)因为 所以tan θ＝， 又<m<4，所以1<tan θ<4， 即tan θ的取值范围为(1，4). (2)设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，Q(x1，y1)， 则＝(x1－c，y1)， 所以S△OFQ＝||·|y1|＝2，则y1＝±， 又·＝m，即(c，0)·(x1－c，y1)＝c2，解得x1＝c， 所以||＝＝≥＝2， 当且仅当c＝4时取等号，||最小， 此时Q的坐标为(，)或(，－). 因此所以 故双曲线的标准方程为－＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $