3.1.2 第1课时 椭圆的蔺单几何性质-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

第三章圆锥曲线的方程 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.已知△ABC的周长为20，且顶点B(0,一4)，：5.船上两根高7.5m的桅杆相 C(0,4),则顶点A的轨迹方程是 ( 距15m,一条30m长的绳子 P B+-15 m- A+ =1(x≠0) =1(x≠0) 的两端系在桅杆的顶端，并按 如图所示的方式绷紧.假设绳子位于两根桅杆 所在的平面内，则绳子与甲板接触点P到桅杆 AB的距离为 m.(结果保留两位小数) 2.(多法)已知51，R,为箱圆+誉-1的左，右 课堂小结 焦点，M为椭圆上的动点，则下面四个结论正确 的是 A.|MF2|的最大值大于3 重要思想与方法 B.|MF1|·MF2|的最大值为4 (1)平面内到两定点F1,F2的距离之和为常数，即|MF1十 C.∠F1MF2的最大值为60° MF2|=2a: D.若动直线1垂直于y轴，且交椭圆于A,B两： 当2a>F1F2时，轨迹是椭圆； 当2a=F1F2时，轨迹是一条线段F1F2； 点，P为L上满足|PA|·PB|=2的点，则 当2a<F1F2时，轨迹不存在. 点P的轨渣方程为号十等 1或2士22 十9 (2)对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是待定系 数法，二是定义法 =1 3.(多选)设定点F1(0,-3),F2(0,3),动点P满 足|PF1|+|PF2|=a十9(a>0),则点P的轨 椭 定义 焦点、焦距 迹可能是 ( 焦点在x轴上 标准方程的分类 A.圆 B.线段 C.椭圆 D.直线 及其标 焦点在y轴上 “方程。十1表示椭圆”的一个必要 方 定义法 标准方程的求法 待定系数法 不充分条件是 A.m=7 B.7<m<9 C.5<m<9 D.5<m<9且m≠7 温馨提示 请做课时分层检测（二十一） 3.1.2 椭圆的简单几何性质 第一课时椭圆的简单几何性质 【课标要求】1.掌握椭圆的简单几何性质.2.能根据几何条件求出椭圆方程，利用椭圆的方程研究它 的性质并画出图形 【素养要求】通过研究椭圆的几何性质，提升数学抽象与数学运算素养 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)椭圆的范围、对称性、顶点 标准方程 =1(a>b>0) 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 导+ y y 范围 B, 图形 顶点 AOFA2元 B2元 B 轴长 短轴长= ,长轴长= 81 数学 选择性必修第一册 :（二)椭圆的离心率 焦点 椭圆的焦距与长轴长的比 称为椭圆的 焦距 FE2= 离心率.用e表示，即 对称性 对称轴 对称中心： 即时小练 即时小练 1.(多选)若椭圆C.十y mm2-1 =1的一个焦点坐 1.椭圆4x2十y2=4的长轴端点坐标为 标为(0,1)，则下列结论中正确的是 ( A.(-1,0),(1,0) B.(-4,0),(4,0) A.m=2 B.C的长轴长为√3 C.(-2,0),(2,0) D.(0,-2),(0,2) C.C的短轴长为2巨D,C的离心率为 3 2.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的 和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标 2比较椭圆0r2+9y2=36与@号+ +首=1的形 准方程为 状， (填序号)更扁. 关键能力·合作探究 讲练设计探究重，点 ;2.设椭圆方程m.x2十4y2=4m(m>0)的离心率为 题点一根据椭圆方程研究其几何性质 [典例]求椭圆25.x2十y2=25的长轴和短轴的 令，试求椭圆的长轴长和短轴长，焦点坐标及顶 长及焦点和顶点坐标. 点坐标 [听课记录] :…/方法技巧/ 解决此类问题的方法是先将所给方程化为标 准方程，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪 题点二 根据椭圆的几何性质求其标准方程 个坐标轴上，再利用a,b,c之间的关系和定 [典例]求适合下列条件的椭圆的标准方程. 义，就可以得到椭圆相应的几何性质· (1)长轴长是10，离心率是号 对点训练 (2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连 1.已知椭圆x2+my2=1的焦点在x轴上，长轴： 线互相垂直，且焦距为6. 长是短轴长的两倍，则m ( (3③)经过点M1,2》.且与栀圆号+苦-1有相 A.√2 B.2 c D.4 同离心率的椭圆的标准方程， 82 第三章圆锥曲线的方程 [听课记录] [听课记录] /方法技巧/ 己知椭圆的几何性质求椭圆的标准方程的步骤 (1)确定焦点所在的坐标轴，从而确定椭圆标 角度2求离心率的取值范围 准方程的形式； [典例] y2 (2)由所给的几何性质充分挖掘a,b,c所满足 已知椭圆后十如1的焦点在x轴 的关系式，建立关于a,b,c的关系式或方程 上，求它的离心率e的最大值. (组)解出a,b的值； [听课记录] (3)写出椭圆的标准方程， 对点训练 1.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0), 离心率等于3，则椭圆C的方程是 ( +后 n号苦- 2.已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F 是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为 6,且cos∠OFA=号，则椭圆的标准方程是 3 /方法技巧/ 求椭圆离心率的方法 题点三求椭圆的离心率 (I)直接求出a和c,再求e=￡，也可利用e= a 角度1求离心率 [典例] 已知椭圆C, +6=1(a>b>0)的左、 (2)若a和c不能直接求出，则看是否可利用 右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为： 条件得到a和c的齐次等式关系，然后整理成 B,若椭圆C的中心到直线AB的距离为 的形式，并将其视为整体，就变成了关于离 a RF,求椭圆C的离心率。 心率e的方程，进而求解. 83 数学选择性必修第一册 对点训练 A.4 B.3 c.2 D. 1.焦点在x轴上的椭圆方程为 +y2 a2十2 =1(a>b> ·2.椭圆之十y。=1(a一b之0）的两焦点分别为下 a 0),短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个 F2,以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分 正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为 三角形，该三角形内切圆的半径为名，则椭圆的 离心率为 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 (多选)已知脑圆专十是1与椭圆名十治 =1 A竖 [哈 有相同的长轴，椭圆号+常=1的短轴长与椭 c n., 圆 9一1的短轴长相等，则下列结论不 y2 椭圆2士清 =1(a>b>0)的一个焦点为F,该 确的有 椭圆上有一点A,满足△OAF是等边三角形(O A.a2=25,b2=16 为坐标原点)，则椭圆的离心率是 B.a2=9,b2=25 C.a2=25,b2=9或a2=9,b2=25 课堂小结 D.a2=25,b2=9 2.(多速)设椭圆C+少=1的左、右焦点分别 重要思想与方法 (1)确定椭圆几何性质的基本步骤 ①把椭圆方程化为标准形式；②确定焦点位置；③求a,b,c; 为F1,F2,P是C上的动点，则下列结论正确 ④写出几何性质 的是 (2)求椭圆离心率及范围的方法 A.|PF1|+IPF2|=2√2 ①直接法：若已知a,c可直接利用e=。求解.若已知a,b B.离心率e= 2 或6，c可借助于a2=+c求出c或a,再代入公式e=日 求解. C.△PF1F2面积的最大值为√2 ②方程法：若a,c的值不可求，则可根据条件建立a,b,c的 D.以线段F1F2为直径的圆与直线x十y一√2 关系式，借助于a2=b2+c2,转化为关于a,c的齐次方程或 =0相切 不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到 关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围. 3.已知椭圆后+号-1及以下3个函数：①) =x;②f(x)=sinx;③f(x)=cosx,其中函数 椭圆的 范围 简单几 图象能等分该椭圆面积的函数个数为( 何性质 对称性 关于x轴、y轴、原点对称 椭圆与x轴、y轴的交点 A.1 B.2 C.3 D.0 直线与椭 顶点 圆的位置 长轴、短轴 4设B是椭圆C:+ =1(a>b>0)的上顶点， 关系 1b2 离心率 e=&且0<e<1 若C上的任意一点P都满足|PB≤2b,则C的 离心率的取值范围是 温馨提示 请做课时分层检测（二十二） 84对点训练 1.B[根据椭圆的定义知，PF1|十PF,|· 一2又由题意知互 3=1,2 为之 片+号-1a2-3,-2,即a=5, =2a=2×5=10,因为PF,=3,所以· 、十y=1或七是十等=1，化商得 b=√2，∴.长轴长为2a=23,短轴长为 PF2|=7.] 4 3 2.D[设格国C,号+号 2b=22,离心率e=￡- 1一5故远 5 =1的右焦点为 =1,D正确.故远B、 a5 3 A、C、D.] F20由A,号)得AF=号8题惑如，定之Fo,一8别F,,320路国0的方教时5化为折 C、D.1 根据椭圆的定义可得PF|+PF|=2a: 可得F1F2=6,a>0,可得PF十PF2: 准方程为需+号-1，共离心率台-号 6 =6, 所以PA+|PF=|PA|+6-PF|≥ =a+>2√a=6,当且仅当a a 2华.杭国®号+号-1的离心4 3 6-AF1=6-3=3] 513 9,即a=3时等号成立.当a十9=6时， 2 子.e1>e,椭圆①更扁.] 题点三 「典例门解以过 PR,十PF,=FE:,此时点P的轨迹关键能力·合作探究 B,C两点的直线 是线段FF:当a十9>6时，PF十题点二 为x轴，线段BC 的垂直平分线为 PR,>FF:,此时点P的轨连是精圆，故[典例]解把已知方程化成标准方程为 远B,C] y轴，建立平面直 25十x-1,则a=5,b=1 角坐标系xOy,如 4C「方程。十m5一1表示椭圆的充 所以c=√25一1=2√6， 图所示， 由BC=8可知点B(一4,0)，C(4,0). 9-n0, 因此，椭圆的长轴长2a一10，短轴长2b 由AB+|AC1+BC=18得AB+: 要条件为n一5>0， 解得5n9, =2, AC=10>8=BC, (9-m≠m-5, 两个焦点分别是F1(0,一2√6)，F,(0, 因此，点A的轨迹是以B,C为焦点的椭！ 且n≠7.由(5,7)U(7,9)至(5,9)知，“5： 2√6)， 圆，这个椭圆上的，点与两焦点的距离之和 <g”是“方程 n5=1表示椭 椭圆的四个顶点分别是A1(0,一5)， 2a=10,但点A不在x轴上. A(0,5),B1(-1,0),B2(1,0). 圆”的一个必要不充分条件，故选C.] 由a=5,c=4, :对点训练 得=a2一c2=25-16=9. :5.4.75[以两根桅杆的顶端A,C所在的直1.D[椭圆x2十my2=1化为标准方程为 线为x轴，线段AC的垂直平分线为y轴， 所以点A的轨蓬方程为需 =1(y≠1 AC,BA的方向分别为x轴、v轴正方向建！ 十兰=1.焦点在工轴上，所以长轴长 9 1 0) 立平面直角坐标系（图略）.因为AP十 n 对点训练 PC=30,AC=15,AP+PC> 2a=2,短轴长2b=2√m ，所以2√m 1.A「厂依题意得CA+CB=10>8, AC,所以点P在以A,C为焦点的椭圆i ∴，点C的轨远是以A,B为焦点的椭圆， =1,解得n=4.故远D. 设其标准方程为 +器 x 上，此椭圆的标准方程为十168.7石一 =1(a>b>0), 上务得点P的纸盈标为死代入铅周2解横国方程可化为气兰 则a=5,c=4,从而=9. 方程可解得P(一12.25，一7.5)，所以点P1 (1)当0<n4时，焦点在x轴上，a=2, 又A,B,C三点不共线，∴点C不在x 到桅杆AB的距离为12.25一7.5= b=√m,c=4-n, 轴上， 4.75(m).] “点C的轨连方程为需十号=1(y≠0. 3.1.2 椭圆的简单几何性质 ∴.e 2 ∴.m=3,.b=√3，c=1, 故选A.] 第一课时椭圆的简单几何性质 ∴.椭圆的长轴长和短轴长分别是4,25， 2.2+兰=1[设Q(x,),由于Q是OP必备知识·自主梳理 焦点坐标为F(一1,0)，F,(1,0),顶点坐 中点，故P(2x,2y),代入椭圆方程得（一) 标为A1(-2,0),A2(2,0),B1(0,一√3)， (2x)(2y)2 1x2 =1(a>b>0) 一asxa,-bsi B,(0,√3) 4 8 =1,化简得2+艺=1.即 a y≤b一b≤xb,-a≤y≤aA(-a,0),1 (2)当n>4时，焦点在y轴上，a=√m,b Q点的轨诞方程为2+￥=1 =2, A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0, 素养演练·提升技能 -a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)2b ,.c=n-4,,e= c=m-41 1.B[.△ABC的周长为20，顶点B(0,: 2a(±c,0) (0,士c)2cx轴、y轴 m -4),C(0,4),.BC=8,AB+AC 原点 16 解得m= =20-8=12,12>8,点A到两个定即时小练 点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是！1D[椭圆4.x2+y-4化为标准方程为x2! 椭圆的一部分，a=6,c=4,.=20, 3 描周的方程是易+茶-1(x≠0.] 4=1.所以椭圆焦点在y轴上，由a2= “精圆的长轴长和短轴长分别为8,4， 4,a=2,所以长轴端，点坐标为(0，一2)，1 2.BCD[由椭圆方程得a2=4,2-3,∴c2 (0,2),故远D.] =1,因此F1(一1,0)，F2(1,0).远项A y 2a+2=18, 焦点坐标为F（0,- )( 中M,s=a十c-3,A错误；选项B中，：225十音=1【由题意，得 c=3, 解 2 a=+2, MFI·|MF2| MF+MF: 2 得公二5·因为辅圆的焦点在工轴上，所以 4,当且仅当MF,I=MF,时取等号，B 1b=4. 预点坐标为A(0,-智）A(0, 正确；选项C中，当点M为短轴的端点时，： 圆的标准方粒为亏+苦-1.] 4√3 ∠E,MF,取得最大值，此时M为(03)，（二） 3 ,B1(-2,0),B2(2,0) 对-9e-0 题点二 2 e= a ∴∠F,MF2的最大值为60°，C正确：选项即时小练 :[典例]解(1)设椭圆的标准方程为二 D中，设P(x,y),A(x1,y),B(-x1,y).1.ACD[由焦点坐标为(0,1)，得a2=m -1a>6>0)浅兰+若-1a>b> v PA·PB=2,∴.x-·x+西 1,b2=m,c2=1..n2-1=n+1,解得1 =2,.x2-x=2,即x2-x十2或x2= m=2或n=一1（舍去）.∴.椭圆C的方程 0),由已知得2a一10，故a=5. 207 e==4 a5c=4, !题点三 △PF,F的面积最大，且(SAPF,E,)mx :角度1 ∴.b2=a2-c2=25-16=9. ![典例]解由题意知A(a,0),B(0,b),从 合×2x×b=号×2×1=1≠区，因此C “箱圆的标准方程为亏+苦=1或芳 而直线AB的方程为二+齐-1， 错误；以线段FF,为直径的圆的方程为 即bx十ay一ab=0, x2+y2-1,且l0+0-2 =1,因此D正 又F1F2-2c, √+1 (2)依题意可设椭圆 ab √6 确.故选A、D.] 的标准疗数为三 30(*) :3.B[,①f(x)=x为奇函数，作出其图 va2+b 象，由图可知f(x)=x能等分该椭圆 b2=a2-c2, 面积： P=1(a>6>0). ∴.(*)式可化简为3a-7a2c2+2c=0, 如图所示，△A1FA 解得a2=2c2或3a2=c2(舍去)， 为等腰直角三角形，OF为斜边A1A的中 线，且OF=c,A1A2=2b,则c=b=3, -号 2 1角度2 532235 5322353 故a2=十c2=18,故所求椭圆的标准方 程为+号-1， 典例解椭因十十1的焦 -5 点在x轴上，.5a>4a2+1, 同理，②f(x)=sinx为奇函数，能等分该 (3)法一 由题意知e2=1 2,所 1 <a<1, 椭圆面积： ③f(x)=cosx为偶函数，其图象关于y a =,即a2=2形， 椭圆的离心率e一√ 5a-4a2-1 ba 轴对称，在y轴右侧x∈(0，受）时，f( 设所求新国的方短为示十 =1或2亦 >0,x(受，4）时f)<0,故不能等分 该椭圆面积.故远B.] 将点M1,2R入精圆方粒，得办十吉 a 5 4C[易知B(0,b).设P(x,y)(-b≤y≤ 1 0,则x=a_y,则PB2=2+(b 1成六+行 当且仅当4a= 时取等！ =1,解得- 号=3 a -,即a=2 就所求药围方程为号+兰 号 yw=a-++y-2w=(1 9 1我 “精圆的离心率的最大值为⑤ 器）2-十。+秋，事公≤2沙时， 31. :对点训练 b 法二设所求椭圆方程为2十6 =k1,C[由三角形的面积相等，得 云≤一b,所以y=一b时，PB:取得 -×2cXb b >0)或+若->0， 1 =2×(2a+2e)×号，得a=2,即e= 最大值心，芬合题意，比时e=√层 4 c-1 将点M的坐标代入可得2十6=或 a 2,故选C] 12十=k, 4,1 2.5-1[如图， :△DFF为正三 云<0，所以v。时，PB取 解得=子：=宁 1 角形，N为DF2的 得最大值 中点， 一十a+,不符合题意，综 .FN⊥F,N. NE2=OF 上可知，0C.t选C] 你所求指图的标准方发为号十兰 =1或1 i5.3-1 [如图，设 .NF|=√FF-NFF= F(c,0),由△OAF 是等边三角形，得 x √4c2-c2-5c. 63 =1 由椭圆的定义可知NF十NF2|=2a,: ) 对点训练 若+茶-1a ∴.3c+c=2a,∴.a= (√3+1)c 点A在椭圆上， 1.D[依题意，设辅圆方程为 2 一1， fe=c= 器0 a 2g- 又a2=b2+c2,② >b>0),所以 3 解得a=9,!素养演练·提升技能 联立①②，得c2=(4-2√3)a2,即c=(√3 c2=a2-b2, 1ABC[猫图亏十若=1的长轴长为10， -1)a, -8.C的方程为号十苦=1.门 输圆 27十9=1的短轴长为6，由题意可 1x2 则其离心率e=后=5-1门 2号+苦-1或号+苦=1[为的 :第二课时直线与椭圆的位置关系 9 知椭圆之 十一1的焦点在x轴上，即有· 长轴长是6，cos∠OFA=号，所以点A不 a=5,b=3.故选A、B、C.] 必备知识·自主梳理 是长轴的端，点（是短轴的端，点） 2AD[由号+=1，得a=2,=1, 2.0 所以OF=c,AF=a=3, 即时小练 、2 所以=号所以c=2,=3-2=5, c2=1.PF+PF,=2a=22,图此1.(1)√(2)×(3)√(4)√ 所以的方报灵+1号+苦 A远项-后-方9受国无B特2C装上 消去y,得3x2十 误；当点P在椭圆的上顶点或下顶点时， {r+- =1.] 2x-1=0,△=22十12=16>0，∴直线与 208