3.1.1 椭圆及其标准方程-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

第三章 a P=2+2w 圆锥曲线的方程 3.1.1 椭圆及其标准方程 【课标要求】1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程. 【素养要求】通过研究椭圆的定义及标准方程，提升数学抽象、数学运算及逻辑推理素养. 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)椭圆的定义 B.已知点F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1, 1.文字语言 F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是 平面内与两个定点F1,F2的距离的 椭圆 的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的 C.平面内到点F1(-4,0),F2(4,0)的距离之 ,两焦点间的距离叫做椭圆的 和等于点M(5,3)到点F1,F2的距离之和 焦距的一半称为 的点的轨迹是椭圆 2.集合语言 D.平面内到点F1(一4,0)，F2(4,0)的距离相 设M是椭圆上任意一点，则椭圆的定义用集合语 等的点的轨迹是椭圆 言表示为：P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a>: （二)椭圆的标准方程 FF2). 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 即时小练 1.判断正误 图形 (1)已知点F1(-1,0),F2(1,0),动点P满足 PF1十PF2=4,则点P的轨迹是椭圆. 焦点坐标 ( a,b,c的 (2)已知点F1(一1,0)，F2(1,0),动点P满足 关系 PF1|+|PF2=2,则点P的轨迹是椭圆.( (3)已知点F1(0,-1),F2(0,1),动点P满足： 即时小练 PF1|十PF2=1,则点P的轨迹是椭圆. 1.已知椭圆的焦点为（一1,0）和(1,0)，点P(2,0) ( 在椭圆上，则椭圆的标准方程为 (4)椭圆定义中到两定点的距离之和是常数，而 不能是变量， ( A苦 2+y2 1 2.下列说法正确的是 ( D.+2=1 A.已知点F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1, 4 F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是2.椭圆8k2x2一y2=8的一个焦点坐标为(0， 椭圆 √7)，则的值为 78 第三章圆锥曲线的方程 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 题点一求椭圆的标准方程 对点训练 [典例]分别求适合下列条件的椭圆的标准 求适合下列条件的椭圆的标准方程。 方程： (1)两焦点的坐标分别是(0，一2)，(0,2)，且椭 (1)两个焦点的坐标分别是(-4,0)，(4,0)，椭 圆上一点P到两焦点的距离的和是12； 圆经过点（一子引： (2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (2)经过P1(6,1),P2(一√3，-一√2)两点： (3)与椭圆爱+号-】有相同焦点，月过点 (3)以椭圆9x2+5y2=45的焦点为焦点，且经 过点M(2,√6). (3,√15). [听课记录] 题点二 椭圆的定义及其应用 [臭1]1)如图所示，已知过鞘幽亏+苦1的 右焦点F2的直线AB交椭圆于A,B两点， F1是椭圆的左焦点.若F1A十|F1B=14,则 弦AB的长为 /方法技巧/… 求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即 要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合 (2)已知点P是椭圆苦+号=1上的一点，F1, 题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定 F2分别是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2=30°， 系数即可. 则△F1PF2的面积为 79 数学选择性必修第一册 [听课记录] 题点三与椭圆有关的轨迹问题 [典例] 已知B,C是两个定点，|BC|=8,且 △ABC的周长等于18.求这个三角形的顶点A 的轨迹方程. [听课记录] /方法技巧/ 椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|十 |MF2=2a(2a>|F1F2|),则点M的轨迹是 椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距 离之和必为2a. (2)涉及焦点三角形面积时，可把|PF1, 、 |PF2|看作一个整体，运用|PF12十|PF22 /方法技巧/ 利用椭圆的定义求轨迹方程，是先由题意找到 =(|PF1|+|PF2|)2-2PF1|·|PF2|及余 动点所满足的条件，看其是否符合椭圆的定 弦定理求出|PF1|·PF2|,而无需单独 义，再确定椭圆的方程。 求解 对点训练 对点训练 1.已知△ABC的两个顶点分别为A(-4,0), 1若桶圆十1上一点P到焦点卫的距离 B(4,0),△ABC的周长为18，则点C的轨迹方 为3，则点P到另一焦点F2的距离为 程为 ( A.6 B.7 C.8 D.9 +y2 A.259 =1(y≠0) 若+号-10) B 2.已知点F是椭圆C:名十士三1的左焦点，点P 5 y2 9 =1(y≠0) n若+号=1yo 为C上一点，A(1,号)，则1PA+PFI的最小 2已知P是椭圆+若-1上一动点，0为坐标 8 值为 ( 原点，则线段OP中点Q的轨迹方程为 R号 C.4 D.1 3 80 第三章圆锥曲线的方程 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.已知△ABC的周长为20，且顶点B(0,一4)，：5.船上两根高7.5m的桅杆相 C(0,4),则顶点A的轨迹方程是 ( 距15m,一条30m长的绳子 P B+-15 m- A+ =1(x≠0) =1(x≠0) 的两端系在桅杆的顶端，并按 如图所示的方式绷紧.假设绳子位于两根桅杆 所在的平面内，则绳子与甲板接触点P到桅杆 AB的距离为 m.(结果保留两位小数) 2.(多法)已知51，R,为箱圆+誉-1的左，右 课堂小结 焦点，M为椭圆上的动点，则下面四个结论正确 的是 A.|MF2|的最大值大于3 重要思想与方法 B.|MF1|·MF2|的最大值为4 (1)平面内到两定点F1,F2的距离之和为常数，即|MF1十 C.∠F1MF2的最大值为60° MF2|=2a: D.若动直线1垂直于y轴，且交椭圆于A,B两： 当2a>F1F2时，轨迹是椭圆； 当2a=F1F2时，轨迹是一条线段F1F2； 点，P为L上满足|PA|·PB|=2的点，则 当2a<F1F2时，轨迹不存在. 点P的轨渣方程为号十等 1或2士22 十9 (2)对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是待定系 数法，二是定义法 =1 3.(多选)设定点F1(0,-3),F2(0,3),动点P满 足|PF1|+|PF2|=a十9(a>0),则点P的轨 椭 定义 焦点、焦距 迹可能是 ( 焦点在x轴上 标准方程的分类 A.圆 B.线段 C.椭圆 D.直线 及其标 焦点在y轴上 “方程。十1表示椭圆”的一个必要 方 定义法 标准方程的求法 待定系数法 不充分条件是 A.m=7 B.7<m<9 C.5<m<9 D.5<m<9且m≠7 温馨提示 请做课时分层检测（二十一） 3.1.2 椭圆的简单几何性质 第一课时椭圆的简单几何性质 【课标要求】1.掌握椭圆的简单几何性质.2.能根据几何条件求出椭圆方程，利用椭圆的方程研究它 的性质并画出图形 【素养要求】通过研究椭圆的几何性质，提升数学抽象与数学运算素养 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)椭圆的范围、对称性、顶点 标准方程 =1(a>b>0) 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 导+ y y 范围 B, 图形 顶点 AOFA2元 B2元 B 轴长 短轴长= ,长轴长= 81题型二 r2,所以圆C1与圆C2相切. : 4.C[由{x-2y+3=0, 2x+3y-8=0, 得x=1, 1y=2, 由{5十”+4二1二5=0得12-8 {x2+y2-8x+4y+7=0, 即直线1过，点(1,2).设点Q(1,2),:PQ -12=0, =√1-0)+(2-4)产=5>2，满足 即3.x一2y一3=0，就是过切，点的两圆公 条件的直线l有2条.故远C] 切线的方程 5.B[直线x+2y+1=0与x十2y+3=0: (2)由圆系方程，可设所求圆的方程为x2 间的距离d= 13-1L=25 +y2+4x-4y-5+a(3.x-2y-3)=0. /12+225 点(2,3)在此圆上，将点坐标代入方程解： 直线3.x-4y十c1=0与3.x-4y十c2=0间： 得=号，所以所求圆的方程为2+少 的距离d,= c1一cg ,由 √/32十(-4)2 5 +4-4y-5+号(3x-2y-3)=0,即 菱形的性质，知d1=d2, 所以9二9=25，所以c1-e= x2+y2+8x 20 3y-9=0. 5 5 25,故选B.] 第三章 圆锥曲线的方程 6.B[设P1P2的中点为P(x,y),则x= 3.1.1 椭圆及其标准方程 型，y=兰.：一y-5=0,x必备知识·自主梳理 2 2 一-15=0..(x1+x2)-(y+y)=(一》 20,即x-y=10.,.y=x-10,.P(x,x- 1.和等于常数（大于FF2)焦点焦 10),.P到原点的距离d=· 距半焦距 √+(x-10)产-√2(x-5)+50≥即时小练 √/50=5√2.故远B.] 1.(1)/ (2)×提示因为|PF,+PF 7.(1)-3(2)-2 [(1).直线l:ax-: FF2,所以点P的轨迹是线段F,F2, 3y+1=0, (3)×提示 因为PF,+PFg< l2:2x+(a+1)y+1-0,且1⊥l2, FF2,所以点P的轨迹不存在， ∴.2a-3(a+1)=0, (4)/ ∴.a=-3. i2.C (2)kc-3-1 (二) -2-1 21 y 1-y. =1(a> ∠C=90°，∴.AC⊥BC, b>0)F1(-c,0),F2(c,0)F1(0, 号1-w=-1=-] -c),F2(0,c）a2-b2 即时小练 题型三 1,A[由椭圆的焦点为(-1,0)和(1,0)可 8,AD[:直线OP的斜率为么，直线1 知，椭圆的焦点在x轴上，且c=1.又点P (2,0)在椭圆上，.a=2.由b=a一c,得 的斜率为一么，直线1的方程为ax十by 6=22-12=3,椭圆的标准方程为 4 =a2+.又点P(a,b)在圆外，∴.a2+b >2,故m∥l.圆心(0,0)到直线a.x十by= +二=1.故选A] 3 2的距离d= √a2+b <行=r,故m2.-1或-7 [原方程可化为 1 8 与圆相交.故选A、D] k2 9.B[圆C的圆心坐标为(-1,1)，半径为 =1.依题意 1,设圆C,的圆心坐标为(a,b), a-1 b+1-1=0, 8 2 >0, 由题意得 k k<0, 8 -1, k2, 即 解得∫a-2, 8 1b=-2, kk2 =7, 所以圆C,的圆心坐标为（2，一2)，又两圆 的半径相等，故圆C,的方程为(x一2)”十 所以k的值为一1或一7，] (y十2)2=1.故选B.] 关键能力·合作探究 10.解x2十y2+2x一4y+1=0化为标准方！题点一 程为(.x十1)2十(y-2)2=4,圆心坐标为[典例] 解 (1)因为椭圆的焦点在x (一1,2)，带入直线方程，得a十b=1,所 轴上， 亡+-（+）+- 6 所以设它的标准方程为工 3y2 + =1(a>b1 +5≥2√×号+5=9，当且仅 >0). b 因为2a=12,所以a=6. 当a=号b=子时取等号. 又因为c=4,所以=a2-c2=62一421 =20. 11.解(1)证明：把圆C1与圆C。都化为标 故所求精圆的标准方程为需十 =1. 准方程形式，得(x十2)2十(y-2)2-13, (x一4)2+（y十2)2=13.圆心与半径长1 (2)因为椭圆的焦，点在y轴上， 分别为C(-2,2),r1=√13：C(4, 所以设它的标准方程为 x -2),n=W13.因为CC2= a十 =1(a>bi >0). √-2-4)+(2+2)产=2√13=r1十： 因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)， 206 4 0 1, 所以) a2=4, 01 =1. 1=1, 故所求椭圆的标准方程为兰十r=1, (3)由题意可设所求椭圆的标准方程为 25++g+=1a>-9). 又椭圆过点(3，√15)，将x=3,y=√/15代 入方程得 9 15 25+入十g+入=1， 解得λ=11或λ=-21（舍去）. 故所求精圆的标准方程为需十芳=1 对点训练 解(1)由于椭圆的焦点在y轴上， '设椭國的标准方程为。十行=1（口⊙ >0). 由椭圆的定义知， a(-)+中（号+2） √(-)+（号-2）=2而 即a=√10，又c=2,∴.b2=a2-c2=6 ∴所求精圆的标准方程为若+若-1 1x2 (2)设椭圆的方程为Ax2十By2=1(A>0, B>0,A≠B),故{A士BL；S 3A+2B=1, 1 (A= 9 1 即所求椭圆的标准方程是？十 B=3 y (3)由题意，椭圆9.x2十5y2=45化为标准 方程少 +号=1，知焦点E(0,2.F:0, 一2)， V2x 设所求椭圆方程为产4十 -=1(>0), 将x=2,y=6代入，得十是=1，解得 6 λ=8或λ=一2（舍去）. ·所求精圆的标准方程为 12T8 =1. 题点二 典例]解析(1)由椭國方程 25+i6=1 可得a=5, 故由椭圆定义有AF1|十AF2=2a= 10,BF|+BF,=2a=10, 又AF2+BF2=AB, 所以AB=(AF+AF,|+BF+ BF,)-(FA+FB)=20-14=6. (2)由描圆方程苦+号=1可得。=6， 5 b=2,c=√/a2-b2=1 在△PFF2中，由余弦定理，得 FF:=PF+PF:3-2PF. PF2·cos∠F1PFg =(PF+PF)2-2 PF PF:- 2PF·PF2·cos30, .4=(25)2-(2+5)PF·PF2, ∴.PF·PF2=16(2-√3) SAE,m,=zPF·PF:·sin30 =8-43. 答案(1)6(2)8一4√3 对点训练 1.B[根据椭圆的定义知，PF1|十PF, 一2又由题意知互 3=1,21 为y 3+2=1,a2=3,=2,即a=5, =2a=2×5=10,因为PF,=3,所以· 十y一1或之士=1，化商得士 b=√2，∴.长轴长为2a=23,短轴长为 PF2=7.] 4 3 2.D[设赫圆C号+号 2b=22,离心率e= 1一5.故远 a 3 3 5 =1的右焦点为1 + 9-1或 =1,D正确.故远B、 A、C、D.] F20由A,号)得AF=号题惑如定之Fo,一3别F,320国0的方程9时奶化为括 C、D.] 根据椭圆的定义可得PF|+PF|=2a: 可得F1F2=6,a>0,可得PF十PF2: 方程为56十兰1，其离心率日二 6 =6, 所以PA+PF=PA|+6-PF|≥ =a+>≥2√a=6,当且仅当a= a 513 2华：国®号+号-1的离心年4 3 6-1AF1=6-3=3] 9,即a=3时等号成立，当a十9=6时， 子.e1>e,椭圆①更扁.] 2 题点三 「典例门解以过 PF,十PF=FE,,此时点P的轨选关键能力·合作探究 B,C两点的直线 是线段FF:当a十9>6时，PF十题点二 为x轴，线段BC 的垂直平分线为 PF,>FF,此时点P的轨选是椭圆，故[典例]解记已知方程化成标准方程为 选B,C] y轴，建立平面直 25十x-1,则a=5,b=1. 角坐标系xOy,如 4C[方程。x 92十51表示椭圆的充 所以c=√25一1=2√6， 图所示， 9-n0, 因此，椭圆的长轴长2a=10,短轴长2b 由BC=8可知，点B(一4,0)，C(4,0). 要条件为)n一5>0， 解得5n9, =2, 由AB+AC1+|BC-18得|AB+: (9-n≠m-5, 两个焦点分别是F1(0,一2√6)，F,(0, AC=10>8=BC, 因此，点A的轨迹是以B,C为焦点的椭！ 且n≠7.由(5,7)U(7,9)至(5,9)知，“5： 26), 圆，这个椭圆上的，点与两焦点的距离之和 <m<9”是方程， m广5=1表示椭 y2 椭圆的四个顶点分别是A1(0,一5)， 2a=10,但点A不在x轴上. Ag(0,5),B1(-1,0),B2(1,0). 圆”的一个必要不充分条件，故选C.] 由a=5,c=4, :对点训练 得=a2一c2=25一16=9. :5.4.75[以两根桅杆的顶端A,C所在的直1.D[椭圆x2十my2=1化为标准方程为 线为x轴，线段AC的垂直平分线为y轴， 所以点A的轨蓬方程为需+十 x+兰=1.焦点在工轴上，所以长轴长 9 =1(y≠i AC,BA的方向分别为轴、v轴正方向建！ 0) 立平面直角坐标系（图略）.因为AP十 n 对点训练 PC=30,AC=15,AP+PC> 2a=2,短轴长2b=2√m ，所以2√m 1.A「依题意得CA+CB=10>8, AC,所以点P在以A,C为焦点的椭圆 ∴，点C的轨远是以A,B为焦点的椭圆， 设共标准方程为号+器 上，此椭圆的标准方程为十168.7石- =1,解得n=4.故远D.] =1(a>b>0), 。易得点的风皇标为死代风得国2阁描园方程可化为气十若= 则a=5,c=4,从而=9。 方程可解得P(一12.25，一7.5)，所以点P1 (1)当0<n4时，焦点在x轴上，a=2, 又A,B,C三点不共线，∴点C不在x 到桅杆AB的距离为12.25一7.5= b=√m,c=√4-n, 轴上， 4.75(m). “点C的轨连方程为需十号=1(y≠0. 3.1.2 椭圆的简单几何性质 ,e= 2 .m-3,.b=√3，c=1, 故选A.] 第一课时椭圆的简单几何性质 ∴.椭圆的长轴长和短轴长分别是4,25， 2.2+兰=1[设Q(x,),由于Q是OP必备知识·自主梳理 焦点坐标为F(一1,0)，Fg(1,0),顶，点坐 中点，故P(2,2y),代入椭圆方程得（一) 标为A1(一2,0)，A2(2,0),B(0,一√3)， (2x)⊥(2y)2 1x2 =1(a>b>0) 一axa,一bsi B,(0,√3) 4 8 =1,化简得2+艺=1.即 y≤b一b≤xb,-a≤y≤aA(-a,0),1 (2)当n>4时，焦点在y轴上，a=√m,b Q点的轨迹方程为+戈=1门 =2, A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0, 素养演练·提升技能 -a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)2b ,.c=n-4,e= c=m-4 2 1.B[.△ABC的周长为20，顶点B(0,: 2a(±c,0) (0,士c)2cx轴、y轴 m -4),C(0,4),.BC=8,AB+AC 原点 16 解得m=3 =20-8=12,:12>8,点A到两个定即时小练 点的距离之和等于定值，∴，点A的轨迹是！1.D[椭圆4x+y-4化为标准方程为x2! 椭圆的一部分，a=6,c=4,.=20,1 3 描周的方程是易+茶-1(x≠0.] 4=1.所以椭圆焦点在y轴上，由a2= :精圆的长轴长和短轴长分别为8,4， 4,a=2,所以长轴端点坐标为(0，一2)，1 2.BCD[由椭圆方程得a2=4,-3,∴c2 (0,2),故远D.] =1,因此F(一1,0)，F2(1,0).远项A 2a+2b=18, 焦点坐标为(0,-2）R(0, y 中，M,==a十c-3,A错误；选项B中，225+6-】[由题意，得 c=3, 解 MF+MF: 2 a=+2, MF·|MF≤ 2 得公二5'因为椭圆的焦点在工轴上，所以 4,当且仅当MF,I=MF,时取等号，B 1b=4. 预点坐标为A(0,-智）A(0, 正确；选项C中，当点M为短轴的端点时，： 圆的标准方粒为亏+活-1.] 4√3 ∠E,MF,取得最大值，此时M为(0W3),(二) 3 ,B1(-2,0),B2(2,0) 则tan∠FME-E 3,1F三=3o”、 .c 题点二 2 e= a ∴∠FMF2的最大值为60°，C正确；选项！即时小练 :[典例]解(1)设椭圆的标准方程为二 D中，设P(x,y),A(x1,y),B(-1,y).1.ACD[由焦点坐标为(0,1)，得a2=m2- PA·PB=2,∴.x-·x+西 1,2=m,c2=1..n2-1=n+1,解得1 若=1a>>0)或若+若-1a>b> =2,.x2-x=2,即x=x十2或x2=m=2或n=一1（舍去）.∴.椭圆C的方程 0),由已知得2a=10,故a=5. 207