3.1.1 第1课时 椭圆及其标准方程（一）(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

第一课时　椭圆及其标准方程（一） 1.椭圆＋＝1上任意一点到两焦点的距离之和为（　　） A.2　　　B.8　　 　C.2　　D.4 2.椭圆4y2＋x2＝1的焦距为（　　） A. B. C.2 D. 3.已知椭圆4x2＋ky2＝4的一个焦点坐标是（0，1），则实数k＝（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 4.中心在原点，焦点在坐标轴上，且过两点（4，0），（0，2）的椭圆的标准方程为（　　） A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 5.已知点F是椭圆＋＝1的一个焦点，点P在椭圆上，线段PF的中点为N，且｜ON｜＝2（O为坐标原点），则线段PF的长为（　　） A.2 B.3 C.4 D.2 6.〔多选〕对于曲线C：＋＝1，下面四个说法中正确的是（　　） A.曲线C不可能是椭圆 B.“1＜k＜4”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件 C.“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3＜k＜4”的必要不充分条件 D.“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1＜k＜2.5”的充要条件 7.〔多选〕（2025·周口月考）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，点M在椭圆C上，且△F1MF2是等边三角形，则椭圆C的方程可能为（　　） A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 8.已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则｜MF1｜·｜MF2｜的最大值为　　　　. 9.已知椭圆的方程为＋＝1（m＞0），并且焦距为6，则实数m的值为　　　　. 10.求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点在x轴上，中心为坐标原点，经过点（1，），（0，－）； （2）以点F1（－1，0），F2（1，0）为焦点，经过点P（2，）； （3）过P（，－4）和Q（－，3）两点. 11.（2025·开封月考）椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为（　　） A.± B.± C.± D.± 12.（2025·泰安质检）在平面直角坐标系Oxy中，已知△ABC的顶点A（－3，0）和C（3，0），顶点B在椭圆＋＝1上，则＝（　　） A. B. C. D.1 13.已知椭圆C：＋＝1（m＞4）的右焦点为F，点A（－2，2）为椭圆C内一点.若椭圆C上存在一点P，使得｜PA｜＋｜PF｜＝8，则实数m的取值范围是　　　　　. 14.求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）过点A（3，2）且与椭圆3x2＋8y2＝24有相同的焦点； （2）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0），四点P1（1，1），P2（0，1），P3（－1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上. 15.某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8海里处发现过鱼群，以A，B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示. （1）求曲线C的标准方程； （2）某日，研究人员在A，B两岛同时用声呐探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，你能否确定P处的位置（即点P的坐标）？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章　圆锥曲线的方程 3.1　椭圆 3.1.1　椭圆及其标准方程 第一课时　椭圆及其标准方程（一） 1.B　因为a2＝16，所以椭圆＋＝1上任意一点到两焦点的距离之和为2a＝8.故选B. 2.B　由椭圆的方程4y2＋x2＝1，得a2＝1，b2＝.又由c2＝a2－b2，得c2＝，解得c＝，所以焦距2c＝.故选B. 3.B　椭圆方程可化为x2＋＝1，由题意知解得k＝2. 4.D　法一　验证排除，将点（4，0）代入验证可排除A、B、C；故选D. 法二　设椭圆方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），则解得故选D. 5.A　设椭圆的另一个焦点为F'，连接PF'（图略），则ON􀰿PF'，所以PF'＝4，又PF'＋PF＝6，所以PF＝2. 6.CD　当1＜k＜4且k≠2.5时，曲线C是椭圆，所以A错误；当k＝2.5时，4－k＝k－1，此时曲线C是圆，所以B错误；若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则解得2.5＜k＜4，所以“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3＜k＜4”的必要不充分条件，所以C正确；若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则解得1＜k＜2.5，所以D正确.故选C、D. 7.ACD　因为△F1MF2是等边三角形，所以｜MF1｜＝｜MF2｜，所以点M在坐标轴上，∠MF1F2＝60°，所以＝sin 60°，则＝，椭圆C的焦点可以在x轴或y轴上，＋＝1，＋＝1，＋＝1满足条件.故选A、C、D. 8.9　解析：由椭圆C：＋＝1，得｜MF1｜＋｜MF2｜＝2×3＝6，则｜MF1｜·｜MF2｜≤（）2＝32＝9，当且仅当｜MF1｜＝｜MF2｜＝3时等号成立. 9.4或　解析：∵2c＝6，∴c＝3.当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的方程知a2＝25，b2＝m2.由a2＝b2＋c2，得25＝m2＋9，∴m2＝16，又m＞0，故m＝4.当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的方程知a2＝m2，b2＝25.由a2＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34，又m＞0，故m＝.综上可知，实数m的值为4或. 10.解：（1）设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0）， 由题意有解得 故椭圆的标准方程为＋＝1. （2）设椭圆的标准方程为＋＝1（m＞n＞0），焦距为2c0.由题意知c0＝1，｜PF1｜＝＝，｜PF2｜＝＝， 有m＝＝＝，n＝＝2， 故椭圆的标准方程为＋＝1. （3）设经过点P（，－4）和点Q（－，3）的椭圆的方程为px2＋qy2＝1（p＞0，q＞0，p≠q），将P，Q两点的坐标代入得，解得所以所求椭圆的标准方程为＋x2＝1. 11.D　∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点（F2为椭圆的另一个焦点），∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是±3，∵点P在椭圆上，∴＋＝1，即y2＝，∴y＝±.∴点M的纵坐标为±. 12.C　由椭圆的方程得a＝5，b＝4，c＝3.∵△ABC的顶点A（－3，0）和C（3，0），顶点B在椭圆＋＝1上，∴｜BC｜＋｜AB｜＝2a＝10，∴由正弦定理可知＝＝＝. 13.（6＋2，25]　解析：由题知椭圆C的右焦点为F（2，0），设左焦点为F'（－2，0），由椭圆的定义可得2＝｜PF｜＋｜PF'｜，即｜PF'｜＝2－｜PF｜，可得｜PA｜－｜PF'｜＝8－2.由｜｜PA｜－｜PF'｜｜≤｜AF'｜＝2可得－2≤8－2≤2，解得3≤≤5，所以9≤m≤25.又因为点A在椭圆C内，所以＋＜1，所以8m－16＜m（m－4），解得m＜6－2或m＞6＋2.综上，实数m的取值范围是（6＋2，25]. 14.解：（1）椭圆方程3x2＋8y2＝24可化为＋＝1，可得c＝，其焦点为（±，0）， 设所求椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0），将点A（3，2）的坐标代入椭圆方程， 可得＋＝1，结合a2－b2＝5，解得a＝，b＝， 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. （2）由题意，因为P3，P4两点关于y轴对称，所以椭圆C经过P3，P4两点， 又由P1（1，1），P4（1，）知，椭圆C不经过点P1，所以点P2在椭圆C上， 因此解得所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1. 15.解：（1）由题意知曲线C是以A，B为焦点且2a＝8的椭圆，又2c＝4，则c＝2，a＝4，故b＝2， ∴曲线C的标准方程为＋＝1. （2）由于A，B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5∶3，因此鱼群此时距A，B两岛的距离比为5∶3，即鱼群距A，B两岛的距离分别为5海里和3海里，设P（x，y），B（2，0），由｜PB｜＝3，得＝3， ∴解得或∴点P的坐标为（2，3）或（2，－3）. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $