3.1.1椭圆的标准方程 同步练（基础巩固篇）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版选择性必修一第三章 圆锥曲线的方程 1. 椭圆的标准方程（对应教材P10-P14）（同步练） （基础巩固篇）（解析版） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（2024·山东青岛二中期中考试题）已知椭圆的焦点在轴上，且，，则该椭圆的标准方程为（） A. B. C. D. 答案：A 解析：由得，焦点在轴上，故椭圆方程为． 2.（2023·湖南长郡中学期末考试题）椭圆的焦距为，则的值为（） A. B. C. 或 D. 答案：C 解析：焦距；当焦点在轴上时，；当焦点在轴上时，． 3.（2025·湖北黄冈中学联考真题）若椭圆的离心率，则的值为（） A. B. C. 或 D. 答案：C 解析：当焦点在轴上时，，，，；当焦点在轴上时，，，，． 4.（2024·广东华南师大附中月考真题）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，且经过点，则椭圆的标准方程为（） A. B. C. D. 答案：A 解析：焦点在轴上，，椭圆过，故，，方程为． 5.（2023·江苏南京金陵中学期中考试题）椭圆上一点到左焦点的距离为，则点到右焦点的距离为（） A. B. C. D. 答案：B 解析：由椭圆定义得，故． 6.（2025·河南郑州一中联考真题）若椭圆的长轴长为，离心率为，则该椭圆的短轴长为（） A. B. C. D. 答案：D 解析：，，，短轴长． 7.（2024·浙江杭州学军中学期末考试题）已知点在椭圆上，且点到椭圆右焦点的距离为，则点到左准线的距离为（） A. B. C. D. 答案：A 解析：，，，，左准线方程；由椭圆定义得，由离心率定义（为到左准线距离），得． 8.（2023·四川成都树德中学月考真题）椭圆的焦点坐标为（） A. B. C. D. 答案：A 解析：，，，，焦点在轴上，故焦点坐标为． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.（2024·河北衡水中学期中考试题）关于椭圆：，下列说法正确的是（） A. 长轴长为 B. 焦距为 C. 离心率为 D. 焦点在轴上 答案：BCD 解析：，，，长轴长，A错误；焦距，B正确；离心率，C正确；焦点在轴上，D正确． 10.（2025·福建福州一中联考真题）已知椭圆的两个焦点为，，为椭圆上一点，若，且的面积为，则的值可以是（） A. B. C. D. 答案：A 解析：由得，又，，联立得． 11.（2023·安徽合肥一六八中学期末考试题）若椭圆的离心率，则的值可能为（） A. B. C. D. 答案：AB 解析：当焦点在轴上时，，，，；当焦点在轴上时，，，，． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.（2024·陕西西安交大附中月考真题）椭圆的焦点坐标为________． 答案： 解析：，，，，焦点在轴上，故焦点坐标为． 13.（2025·辽宁沈阳东北育才学校联考真题）已知椭圆过点，且离心率，则椭圆的标准方程为________． 答案：或 解析：当焦点在轴上时，，，，方程为；当焦点在轴上时，，，，联立得，方程为． 14.（2023·江西南昌二中期中考试题）椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若，则椭圆的离心率的取值范围是________． 答案： 解析：由椭圆定义得，结合得；又，故，解得． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）（2024·山西太原五中联考真题）已知椭圆的焦点在轴上，短轴长为，离心率为，求该椭圆的标准方程． 解析：由题意得，即；离心率，故；又椭圆中，代入得，解得；因为焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为． 16.（15分）（2025·重庆巴蜀中学期末考试题）已知椭圆：的两个焦点分别为，，且椭圆经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）求的面积． 解析：（1）由焦点坐标可知，根据椭圆定义，；计算得，，故；由得，因此椭圆的标准方程为； （2）的底，高为点的纵坐标的绝对值，故面积． 17.（15分）（2023·天津南开中学期中考试题）已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）求椭圆的离心率及焦点坐标． 解析：（1）由长轴长得，即；将点代入椭圆方程得，解得；因此椭圆的标准方程为； （2）由，得；离心率；焦点在轴上，坐标为． 18.（17分）（2024·上海华东师大二附中联考真题）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆上一点到两个焦点的距离之和为，且焦距为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线过椭圆的右焦点，且与椭圆交于，两点，若，求直线的方程． 解析：（1）由椭圆定义得，焦距；由得；因为焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为； （2）椭圆右焦点坐标为； ①当直线斜率不存在时，直线方程为，代入椭圆方程得，则，不符合题意； ②当直线斜率存在时，设直线的方程为，设，；联立，消去得；由韦达定理得，；弦长公式，代入计算得，解得；因此直线的方程为． 19.（17分）（2025·北京人大附中期末考试题）已知点是椭圆上的动点，，分别是椭圆的左、右焦点． （1）求的最大值； （2）求的最大值． 解析：（1）由椭圆方程得，，；根据椭圆定义，；由基本不等式，当且仅当时取等号，故的最大值为； （2）在中，由余弦定理得；将，代入得；由（1）知，故；因为，且余弦函数在上单调递减，所以的最大值为． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版选择性必修一第三章 圆锥曲线的方程 1. 椭圆的标准方程（对应教材P10-P14） （同步练）（基础巩固篇）（原卷版） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（2024·山东青岛二中期中考试题）已知椭圆的焦点在轴上，且，，则该椭圆的标准方程为（） A. B. C. D. 2.（2023·湖南长郡中学期末考试题）椭圆的焦距为，则的值为（） A. B. C. 或 D. 3.（2025·湖北黄冈中学联考真题）若椭圆的离心率，则的值为（） A. B. C. 或 D. 4.（2024·广东华南师大附中月考真题）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，且经过点，则椭圆的标准方程为（） A. B. C. D. 5.（2023·江苏南京金陵中学期中考试题）椭圆上一点到左焦点的距离为，则点到右焦点的距离为（） A. B. C. D. 6.（2025·河南郑州一中联考真题）若椭圆的长轴长为，离心率为，则该椭圆的短轴长为（） A. B. C. D. 7.（2024·浙江杭州学军中学期末考试题）已知点在椭圆上，且点到椭圆右焦点的距离为，则点到左准线的距离为（） A. B. C. D. 8.（2023·四川成都树德中学月考真题）椭圆的焦点坐标为（） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.（2024·河北衡水中学期中考试题）关于椭圆：，下列说法正确的是（） A. 长轴长为 B. 焦距为 C. 离心率为 D. 焦点在轴上 10.（2025·福建福州一中联考真题）已知椭圆的两个焦点为，，为椭圆上一点，若，且的面积为，则的值可以是（） A. B. C. D. 11.（2023·安徽合肥一六八中学期末考试题）若椭圆的离心率，则的值可能为（） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.（2024·陕西西安交大附中月考真题）椭圆的焦点坐标为________． 13.（2025·辽宁沈阳东北育才学校联考真题）已知椭圆过点，且离心率，则椭圆的标准方程为________． 14.（2023·江西南昌二中期中考试题）椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若，则椭圆的离心率的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）（2024·山西太原五中联考真题）已知椭圆的焦点在轴上，短轴长为，离心率为，求该椭圆的标准方程． 16.（15分）（2025·重庆巴蜀中学期末考试题）已知椭圆：的两个焦点分别为，，且椭圆经过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）求的面积． 17.（15分）（2023·天津南开中学期中考试题）已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）求椭圆的离心率及焦点坐标． 18.（17分）（2024·上海华东师大二附中联考真题）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆上一点到两个焦点的距离之和为，且焦距为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线过椭圆的右焦点，且与椭圆交于，两点，若，求直线的方程． 19.（17分）（2025·北京人大附中期末考试题）已知点是椭圆上的动点，，分别是椭圆的左、右焦点． （1）求的最大值； （2）求的最大值． 原卷版参考答案 一、单选题 1. A 2. C 3. C 4. A 5. B 6. D 7. A 8. A 二、多选题 9. BCD 10. A 11. AB 三、填空题 12. 13. 或 14. 四、解答题 15. 解：由题意得，，又， 联立得，， 故椭圆标准方程为． 16. 解：（1）由焦点坐标得，， ，故椭圆方程为； （2）． 17. 解：（1）由长轴长得，将点代入椭圆方程得， 故椭圆方程为； （2），离心率，焦点坐标为． 18. 解：（1）由题意得，，， 故椭圆方程为； （2）右焦点为，当直线斜率不存在时，（舍去）； 当斜率存在时，设：，联立椭圆方程得， 由弦长公式得， 故直线方程为． 19. 解：（1）由椭圆定义得，由均值不等式得，当且仅当时取等号，故最大值为； （2）由余弦定理得， 由（1）知，故， 又，故最大值为． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $