3 章末综合提升-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

所以C的离心率为立 解得∫2=3， : y=土w√15. (2)由(1)知a=2c,b=5c,故C: 又因为，点M在第一象限，所以点M的坐： 标为(3，√15). 3x31, 1题型二 所以C的四个顶点坐标分别为(2c,0),6B[焦点F为（号，0）由点到直线的距 (-2c,0),(0W5c),(0,-√5c),C2的准线 为x=一C. +1 离公式可得√2- 2 由已知得3c十c十c十c-12,即c-2. +(-六所以号 x2+y2 所以G的标准方程为十立-1，C的 1=2,p=2,故选B.] 7.D「由题设知∠F,PF。=90°，∠PF,F,= 标准方程为v2=8x, 60°，FF2|=2C,所以|PF2=c,PF1| 章末综合提升 =√3c由椭圆的定义得PF十PF= 要点聚焦·类型突破 2a,即√3c十c=2a,所以(W3+1)c=2a,故 题型一 椭圆C的离心率e=￡ 2 1.B[将直线方程与抛物线方程联立，可得1 5+1-1. y=士2√p,不妨设D(2,2p),E(2, 故远D.] 一2√p). 8A[双南线号-苦=1的右焦点F6, 由OD⊥OE,可得Oi.O正-=4-4p=0,解 得p=1, 0),一条渐近线的方程为y= 气工，不妨设 所以抛物线C的方程为y2=2x,其焦点坐： 点P在第一象限，由于PO=PF,得点 标为(2门 P的横生标为写，纵坐标为号×雪- 2 2.B[连接PF,由题意及抛物线的定义可， 知PQ=FP|,则△QPF为等腰三角！ 号，申△PO的底边长为后，高为受，所 形，故线段FQ的垂直平分线经过点P.故 选B.] 以它的面积为号×6×号-3巨] 2 3.B[由双曲线的方程得a=l,c-√2，由双！9.A[当0<m<3时，焦点在x轴上， 曲线的定义得PF|一|PF,1=2.在！要使C上存在点M满足∠AMB=120°， △PFF:中，由余弦定理得FF22= PF2+|PF2I2-2PF1|·PF2· 则分≥an60°=尽，即>5， √n cos60°，即(2√2)2=PF12+PF22 解得0<n≤1. PF·PF=(|PF11-PF:)2+ 当n>3时，焦点在y轴上， 要使C上存在，点M满足∠AMB=120°， PF·PF2=2+PF·PFg,解1 得PF1·PF=4.] 则号≥an60°=5，即≥尽， 3 4.B设椭圆的标准方程 AY 解得m≥9. 为号+若=1>b> 故n的取值范图为(0,1]U[9,+∞).] !10.ABC[由题意可得焦点在x轴上，且c= 0).由椭圆的定义可得 AF+AB+BF 5.A选项，若离心率为号，则a=4,所以 =4a. ABI=BF,AF,=2 F,Bl, 2=c2二公2=9，此时双曲线的方程为后 AB=BF=号AE, 苦=1B选项，若双南线建点(6，) ∴.AF1+3AFg=4a. 81 又.AF+AF,=2a, 2516 ..AF=AF,=a, 则 =1，解得16·此时 1b2=9. ∴点A是椭圆的短轴端点」 a2+b=c2=25, 如图，不妨设A(0,一b), 由F(1,0),AF2=2FB,得B 3 双曲线的方程为后-号 =1:C选项，若 双曲线的渐近线方程为3.x士4y=0,则可！是 设双南线的方程为言-苦=m(m>0, 9 所以c2=16n+9n=25,解得m=1,所！ 由点B在椭圆上，得车十工 =1,得a= 以此时双南线的方程为后-号-1：D 3,b2=a2-c2=2. 远项，若实轴长为4，则a=2,所以=2 “满国C的方程为号+兰=1] 一。一21，此时双曲线的方程为号一 y 5.(3,√15)[设F为椭圆的左焦点，分析 =1.] :题型三 可知，点M在以F,为圆心，焦距为半径的 圆上，即在圆(x十4)2十y2=64上 :11,解(1)由已知，有=1 a=3, 因为点M在椭圆36十0-1上， 又由a2=b+c2,得a2=3c2,b=2c2. 设直线FM的斜率为k(k>0),F(一c, (x+4)2+2=64, 所以联立方程可得2y 0),则直线FM的方程为y=k(x十c). 736+20-1, kc 216 (台)解得= 3 ②由1，得药圆方程为号十兰-1.直 线FM的方程为y=号(x十c),两个方 程联立，消去y,整理，得3.x2十2cx一5c =0,解得x=一 5 3c或x=c. 因为点M在第一象限，所以M的坐标为 由FM| (c+c)2+ 45,解得c=1, 3 所以躺围的方程为号十苦-1 (3)设点P的坐标为(x,y),直线FP的 斜率为t, 得1一十，即直线FP的方程为y y (x十1)(x≠一1)，与椭圆方程联 y=t(x+1), 立，x2,y2 3+=1, 消去y,整理，得2x2+3(x+1)2=6, 又由已如得1√器>好释 3<x<-1成-1<<0. 2 设直线OP的斜率为m,得m=义，即 y=nx(x≠0)，与椭圆方程联立，整理， 得m2=2 2 3 ①当(-号，-时，有y=x+D <0, 22 因此m>0,于是m√径了，得m∈ 223) 33 ②当x∈(-1,0)时，有y=t(x+1)>0, 因m<0,于是m=√，得 n∈-∞， 2√3 3 综上，直线OP的斜率的取值范图是n∈ 2）(2 型四 2解(1)依题意知，点R是线段FP的中 点，且RQ⊥FP, RQ是线段FP的垂直平分线. 点Q在线段FP的垂直平分线上， ∴.PQ=QF, 又PQ是点Q到直线l的距离， 故动点Q的轨迹是以F为焦，点，1为准线 的抛物线，其方程为v2=2x(x>0). (2)弦长TS为定值.理由如下： 取曲线C上点M(o,%), M到y轴的距离为d=x=, 圆的半径r=MA=√(x-1)2十话 则TS=2√-E=2√6-2+1， ~点M在南线C上=兰。 ∴|TS=2√6-6十1=2是定值.数学选择性必修第一册 章末综合提升 ◆知识网络构建 定叉 椭圆 标准方程 圆 几何性质 图形 曲 定义 双曲线 标准方程 应用 几何性质 图形 商 定义 拋物线 标准方程 儿何性质 图形 要点聚焦·类型突破◇ 题型一圆锥曲线的定义及标准方程 .设，为桶圆C希+芳-1的两个熊点M ,, 1.设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C:y2= 为C上一点且在第一象限.若△MFF2为等腰 2px(p>0)交于D,E两点，若OD⊥OE,则C 三角形，则M的坐标为 的焦点坐标为 ( 题型二圆锥曲线的性质及应用 A.(0) B(2) 6.抛物线y2=2.x(p>0)的焦点到直线y=x十1 C.(1,0) D.(2,0) 的距离为√2，则p= ( 2设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为1，P是 A.1 B.2 抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥1于Q. 则线段FQ的垂直平分线 ( C.22 D.4 A.经过点O B.经过点P :7.已知F1,F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的 C.平行于直线OP D.垂直于直线OP 一点.若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°，则C的 3.已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦 离心率为 点，点P在C上，∠FPF2=60°，则|PF1I· A.1-3 B.2-√3 |PF2|= ( A.2 B.4 C.6 D.8 C.3-1 D.√3-1 4.已知椭圆C的焦点为F1(一1,0)，F2(1,0),过 2 F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|= 线C:于-，=1的右焦点为5点 2|F2B|,AB=|BF,则C的方程为( 的一条渐近线上，O为坐标原点.若PO= A号+y- |PF|,则△PFO的面积为 ( A.32 C.2√2 4 D.3√2 106 第三章圆锥曲线的方程 8,设A,B是脑圆C号+片=1长轴的两个端点 (2)求椭圆的方程； 若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的 取值范围是 A.(0,1]U[9,+∞) B.(0,√3]U[9,+∞) C.(0,1]U[4,+o∞) D.(0,3]U[4,+∞) 0.(多选)已知双曲线C:- =1(a>0,b>0) (3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大 的左、右焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),则 于√2，求直线OP(O为原点)的斜率的取值 能使双曲线C的方程为后苦-1的是 范围. A.离心率为号 B.双曲线过点(5，) C.渐近线方程为3.x士4y=0 D.实轴长为4 题型三圆锥曲线中的最值、范围问题 11.已知陌圆三大2 =1(a>b>0)的左焦点为 (-c,0》,离心率为停，点M在椭圆上且位于 /题型技法/ 第一象限，直线FM被圆x2十3y2=截得的 解决圆锥曲线中的最值、取值范围问题应考虑 4 的五个方面 线段的长为，FM=4B 3 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不 (1)求直线FM的斜率； 等关系，从而确定参数的最值、取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解 这类问题的核心是建立两个参数之间的等量 关系； (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求 出参数的最值、取值范围： (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求 出参数的最值、取值范围； (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为 其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的 最值、取值范围 107 数学选择性必修第一册 (2)设圆M过A(1,0),且圆心M在曲线C 题型四圆锥曲线中的定点、定值问题 上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动 12.如图，在平面直角坐标系Oxy 时，弦长|TS是否为定值？请说明理由. 中，点F(2,）直线：x ,点P在直线1上移动，R 1 是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP,PQ⊥L (1)求动点Q的轨迹C的方程； …/题型技法/ 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题 策略 (1)求代数式为定值.依题意设条件，得出与代 数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可 得出定值； (2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线 的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条 件化简、变形求得； (3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得 解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形 即可求得 含rxrrt心eecG0 wrrrrrrxrrrxwrvn0 wwxxrrxrwrrt心arvr心心g心gcc6v 温馨提示 古人学间无遗力，少壮工夫老始成。纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。 清做章未检测卷（三) 模块综合检测卷 108