福建省厦门外国语学校（集美）2025-2026学年高二上学期数学校本作业33

厦外（集美）2024级高二上数学校本作业33_直线与双曲线的综合应用 班级______ 姓名___________ 座号______ 1、 选择题 1.若直线l平行于双曲线的一条渐近线,则l与双曲线的公共点的个数为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.0或1 B.1 C.0或2 D.1或2 2.若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=4的左、右两支各有一个交点,则实数k的取值范围是 (　 ) A.(-,-1) B.(1,) C.(-,） D.(-1,1) 3.已知双曲线C:2x2-y2=2,过点P(1,2)的直线l与双曲线C交于M,N两点,若P为线段MN的中点,则|MN|等于(　 ) A. B. C.4 D.4 4.过双曲线x2-=1的右焦点作直线与双曲线交于A,B两点,若|AB|=16,则这样的直线有 (　 ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 5.[2023·绍兴诸暨草塔中学月考] 已知F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,且F1(-,0),过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A,B.若△ABF2为等边三角形,则双曲线的方程为 (　 ) A.-=1 B.-y2=1 C.x2-=1 D.-=1 6.[2023·重庆一中月考] 已知直线y=k(x-1)与双曲线-=1有且仅有一个公共点,则实数k的值为 (　 ) A.± B.± C.±1或± D.±1或± 7.[2023·北京八一中学高二月考] 如图L3-2-1是等轴双曲线形拱桥,现在拱顶离水面5 m,水面宽AB=30 m.若水面下降5 m,则水面宽约是(结果精确到0.1 m,参考数据:≈1.41,≈2.24,≈2.65) (　 ) 图L3-2-1 A.43.8 m B.44.8 m C.52.3 m D.53.0 m 8.(多选题)已知两点M(-5,0),N(5,0),若直线上存在点P,使|PM|-|PN|=6,则称该直线为“B型直线”.下列直线中为“B型直线”的是 (　 ) A.y=x+1 B.y=2 C.y=x D.y=x+1 9.(多选题)已知双曲线C过点(3,),且渐近线方程为y=±x,则下列结论正确的是 (　 ) A.双曲线C的方程为-y2=1 B.左焦点到渐近线的距离为1 C.直线x-y-1=0与双曲线C有两个公共点 D.过右焦点被双曲线C所截得的弦长为2的直线只有三条 二、填空题 10.已知双曲线-y2=1,直线l:y=kx+1,若直线l与双曲线只有一个公共点,则实数k的取值集合为　　　　　　.   11.已知直线l:x-y+m=0与双曲线x2-=1交于不同的两点A,B,若线段AB的中点在圆x2+y2=5上,则实数m的值是　　　　.   12.[2023·河南安阳期中] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点.若BF1⊥BF2,且△BF1F2的面积为△AF1F2面积的4倍,则C的离心率为　　　　.  三、解答题 13.(10分)设双曲线C:y2-x2=a2(a>0)的上焦点为F,过F且平行于x轴的弦长为4 . (1)求双曲线C的标准方程及实轴长; (2)直线l:y=kx+1与双曲线C交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且满足x1=3x2,求实数k的值. 14. (10分)已知双曲线C:x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且倾斜角为30°的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点. (1)求|AB|; (2)求△ABF2的周长. 15.若A,B是曲线x= 上不同的两点,O为坐标原点,则· 的取值范围是　　　　.  16. 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),且双曲线C与椭圆+=1有相同的焦点,点F1到直线bx+ay=0的距离为2. (1)求双曲线C的标准方程; (2)若直线l:y=k(x-c)与C交于A,B两点,点P是∠AF1B的平分线上一个动点,且=λ(+),证明:|AF2|·|BF2|=|AB|2. 17..已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率e=2,点M(,)在双曲线上,O为坐标原点. (1)求双曲线C的方程; (2)如图,若直线l与双曲线C的左、右两支分别交于点Q,P,且·=0,求证:+是定值. 18.在平面直角坐标系Oxy中,已知圆O:x2+y2=1,点F(2,0),以线段FG为直径的圆与圆O相切,记动点G的轨迹为W. (1)求W的方程; (2)设点M在x轴上,点N(0,1),在W上是否存在两点A,B,使得当A,B,N三点共线时,△ABM是以AB为斜边的等腰直角三角形?若存在,求出点M的坐标和直线AB的方程;若不存在,请说明理由. 参考答案 1.B　[解析] 因为渐近线与双曲线没有公共点,所以若直线l平行于双曲线的一条渐近线,则l与双曲线的公共点的个数为1,故选B. 2.D　[解析] 当直线y=kx+2与双曲线x2-y2=4的渐近线y=±x平行时,k=±1,此时直线与双曲线的其中一支有一个交点,若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=4的左、右两支各有一个交点,则k的取值范围为(-1,1),故选D. 3.D　[解析] 由题意知,直线l的斜率必存在,设直线l的方程为y-2=k(x-1),与双曲线方程联立,得(2-k2)x2+2k(k-2)x-(k2-4k+6)=0,则2-k2≠0,且Δ=4(12-8k)>0,所以k<且k≠±,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-=2xP,所以-=2,解得k=1,则x1+x2=2,x1x2=-3,所以|MN|=·=×=4.故选D. 4.C　[解析] 过右焦点且垂直于实轴的弦的长度为=2×=16,因为|AB|=16,所以当直线AB与双曲线的两个交点都在双曲线的右支上时,只有1条直线符合题意.又双曲线的实轴长为2,16>2,所以当直线AB与双曲线的两个交点在双曲线的左、右两支上时,有2条直线符合题意.故选C. 5.C　[解析] 根据双曲线的定义,有|AF2|-|AF1|=2a①,|BF1|-|BF2|=2a②,因为△ABF2为等边三角形,所以|AF2|=|AB|=|BF2|,由①+②得|BF1|-|AF1|=4a,则|AB|=|AF2|=|BF2|=4a,所以|BF1|=6a.在△BF1F2中,因为∠F1BF2=60°,所以(2c)2=(6a)2+(4a)2-2×6a×4a×,即7a2=c2=7,解得a2=1,则b2=c2-a2=6,所以双曲线的方程为x2-=1.故选C. 6.D　[解析] 因为双曲线方程为-=1,所以渐近线方程为y=±x.由消去y整理得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0.①当1-k2=0,即k=±1时,直线与双曲线的渐近线平行,此时直线与双曲线有且仅有一个公共点,符合题意; ②当1-k2≠0,即k≠±1时,由Δ=4k4+4×(k2+4)(1-k2)=0,解得k=±.综上所述,k的值为±1或±,故选D. 7.B　[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系,设拱桥所在双曲线的方程为-=1(a>0),则C(0,-a),因为|AB|=30,|CD|=5,所以B(15,-a-5),将点B的坐标代入双曲线方程,可得-=1,解得a=20,所以双曲线的方程为-=1.当水面下降5 m时,水面到达MN的位置,可得yN=-a-10=-30,代入双曲线方程可得xN=10,所以|MN|=2xN=20≈44.8.故选B. 8.AB　[解析] 设P(x,y),因为|PM|-|PN|=6<|MN|,所以P点的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,所以2a=6,c=5,则b==4,所以P点的轨迹方程为-=1(x≥3),对应的渐近线方程为y=±x.直线y=x+1与P点的轨迹有1个交点,直线y=2与P点的轨迹有1个交点,直线y=x与P点的轨迹没有交点,直线y=x+1与P点的轨迹没有交点.所以为“B型直线”的是选项A,B.故选AB. 9.ABD　[解析] 因为双曲线C的渐近线方程为y=±x,所以设双曲线C的方程为-y2=m(m≠0),又双曲线C过点(3,),所以m=-()2=1,所以双曲线C的方程为-y2=1,A中结论正确;由双曲线方程知a2=3,b2=1,则c==2,则左焦点为(-2,0),则左焦点到渐近线x+y=0的距离d==1,B中结论正确;由x-y-1=0得x=y+1,代入双曲线C的方程并整理得y2-2y+2=0,解得y=,所以x=×+1=3,故直线x-y-1=0与双曲线C只有一个公共点,C中结论错误;双曲线的通径长为==<2,因此过右焦点,两端点都在双曲线右支上且弦长为2的弦有两条,又双曲线的左、右两顶点间的距离为2a=2,所以两端点分别在双曲线左、右支上且弦长为2的弦只有一条,为实轴,所以共有三条弦的弦长为2,D中结论正确.故选ABD. 10.　[解析] 由可得(4k2-1)x2+8kx+8=0.当4k2-1=0,即k=±时,关于x的方程8kx+8=0有唯一解,符合题意;当4k2-1≠0,即k≠±时,由Δ=64k2-32(4k2-1)=0,解得k=±.综上所述,实数k的取值集合为. 11.±1　[解析] 由消去y得x2-2mx-m2-2=0,则Δ=4m2+4m2+8=8m2+8>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2m,所以y1+y2=x1+x2+2m=4m,所以线段AB的中点坐标为(m,2m),又点(m,2m)在圆x2+y2=5上,所以m2+(2m)2=5,得m=±1. 12.　[解析] 因为△BF1F2的面积为△AF1F2面积的4倍,所以|BF1|=4|AF1|,设|AF1|=x,则|BF1|=4x,由双曲线的定义可得|AF2|-|AF1|=2a,|BF1|-|BF2|=2a,所以|AF2|=2a+x,|BF2|=4x-2a.在△ABF2中,由勾股定理可得|AF2|2=|BF2|2+|AB|2,即(2a+x)2=(4x-2a)2+9x2,解得x=a,所以|BF1|=a,|BF2|=a,所以在△BF1F2中,由勾股定理可得|F1F2|2=|BF2|2+|BF1|2,即4c2=a2+a2,所以可得e==. 13.解:(1)双曲线C的上焦点F的坐标为(0,a),将y=a代入y2-x2=a2,得x=±a,所以2a=4,可得a=2,故双曲线C的方程为y2-x2=4,化为标准方程为-=1,其实轴长为4. (2)由可得(k2-1)x2+2kx-3=0,则k2-1≠0且Δ=(2k)2+4×3×(k2-1)>0,可得k2>且k2≠1,所以x1+x2=-①,x1x2=-②,将x1=3x2代入①,可得x2=③,则x1=④,将③④代入②,可得·=-,所以k=±. 14.解:(1)由题知F1(-2,0),则直线l的方程为y=(x+2),设A(x1,y1),B(x2,y2).由整理得8x2-4x-13=0,∴ ∴|AB|=|x1-x2|=×=3. (2)记△ABF2的周长为l,则l=|AB|+|AF2|+|BF2|.∵|BF2|=,=3-3,∴|BF2|=,∴|BF2|=|2x2-1|,又∵点B在双曲线的右支上,∴|BF2|=2x2-1.同理,点A在双曲线的左支上,∴|AF2|=|2x1-1|=-(2x1-1),∴|BF2|+|AF2|=2(x2-x1)=2=2×=3,∴l=|AB|+|AF2|+|BF2|=3+3. 15.[2,+∞)　[解析] x=可化为-=1(x≥),设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x1,y1),=(x2,y2),∴·=x1x2+y1y2.连接AB,若AB⊥x轴,则x1=x2,y1=-y2,∴·=-=2;若AB不垂直于x轴,易知直线AB的斜率不为0,设直线AB的方程为y=kx+m,由题易知k2>1,由消去y,得(1-k2)x2-2kmx-m2-2=0,则Δ=4m2-8k2+8>0,∴x1+x2=,x1·x2=,∴·=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+mk(x1+x2)+m2=(1+k2)·+km·+m2==2+,又k2>1,∴k2-1>0,∴·>2.综上,·∈[2,+∞). 16.解:(1)由椭圆方程知c==3,则F1(-3,0),F2(3,0), ∴F1到直线bx+ay=0的距离d===2,∴b=c=2,∴a2=c2-b2=9-8=1,∴双曲线C的标准方程为x2-=1. (2)证明:由(1)知,l:y=k(x-3)(|k|<2),∴l与双曲线C的左、右两支各交于一点.不妨设A(x1,y1)(x1≥1),B(x2,y2)(x2≤-1), 设AB的中点为M,则+=2,∴=2λ,又点P在∠AF1B的平分线上,∴|AF1|=|BF1|. 由得(8-k2)x2+6k2x-9k2-8=0,∴x1+x2=, x1x2=,∵|AF1|====3x1+1,|BF1|====-3x2-1,∴3x1+1=-3x2-1,即3(x1+x2)+2=+2=0,解得k2=,∴x1+x2==-,x1x2==-. ∵|AF2|====3x1-1,|BF2|====1-3x2,∴|AB|=|BF2|-|AF2|=1-3x2-(3x1-1)=2-3(x1+x2)=4,|AF2|·|BF2|=(3x1-1)(1-3x2)=3(x1+x2)-9x1x2-1=16,∴|AF2|·|BF2|=|AB|2. 17.解析　(1)设F1(-2,0),以线段FG为直径的圆的圆心为点C,圆C与圆O相切于点H,则|CF|=|CH|. 因为C为FG的中点,O为F1F的中点,所以|FG|=2|CF|,|GF1|=2|CO|. 当圆C与圆O内切时,|GF|-|GF1|=2(|CF|-|CO|)=2(|CH|-|CO|)=2|OH|=2; 当圆C与圆O外切时,|GF1|-|GF|=2(|CO|-|CF|)=2(|CO|-|CH|)=2|OH|=2, 所以||GF1|-|GF||=2,为定值,又因为|F1F|=4>2,所以动点G的轨迹是以F1,F为焦点的双曲线,设它的方程是-=1(a>0,b>0),则a=1,a2+b2=4,即b2=3,所以W的方程为x2-=1. (2)假设存在符合题意的两点A,B, 由A,B,N三点共线,知直线AB的斜率存在. 设直线AB的方程为y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2), 由消去y并整理,得(3-k2)x2-2kx-4=0, 则解得-2<k<2且k≠±,则x1+x2=,x1x2=-, 设线段AB的中点为T(x0,y0),则x0==,y0=+1=. 设点M(m,0),则|AM|=|BM|,AM⊥BM,TM⊥AB, 故·k=-1,即·k=-1,整理得m=,由AM⊥BM,得·=(m-x1,-y1)·(m-x2,-y2)=(x1-m)(x2-m)+y1y2=0, 即(x1-m)(x2-m)+(kx1+1)(kx2+1)=0,即(1+k2)x1x2+(k-m)(x1+x2)+m2+1=0, 所以-+++1=0,整理得3k4-3=0,解得k=±1,满足-2<k<2且k≠±. 当k=1时,点M的坐标为(2,0),直线AB的方程为y=x+1; 当k=-1时,点M的坐标为(-2,0),直线AB的方程为y=-x+1. 所以存在满足题意的两点A,B,此时M(2,0),直线AB的方程为y=x+1,或M(-2,0),直线AB的方程为y=-x+1. 18.解:(1)由已知得直线l的方程为y=kx+2.由消去y得(1-4k2)x2-16kx-20=0(*), 要使直线l与双曲线C只有一个交点,则方程(*)只有一个解. ①当1-4k2=0,即k=±时,满足题意; ②当1-4k2≠0,即k≠±时,Δ=(-16k)2+80(1-4k2)=0,解得k=±.综上所述,k=±或±. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题知直线l的方程为y-2=k(x-m),即y=kx+2-mk. 由消去y得(1-4k2)x2+8k(mk-2)x-4(m2k2-4mk+5)=0,所以Δ>0,x1+x2=,x1x2=. 所以y1+y2=k(x1+x2)+4-2mk=+4-2mk=,y1x2+y2x1=2kx1x2+(2-mk)(x1+x2)=+=, 从而k1+k2=+== =,要使k1+k2为定值,则解得m=2. 1 学科网（北京）股份有限公司 $