1 章末综合提升-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

法一取MN的 中点G,连接BG, E AG,则G(合， D M N 因为△AMN, A--- △BMN为等腰三 角形，所以AG⊥MN,BG⊥MN, 故∠AGB(或其补角)为两平面夹角. 1 1 GA.GB 所以cos(GA,G》= IGAI GBI 1 8 =-3 故所求两平面夫角的余弦值为了 法二设平面AMN的法向量n1=(x,y, ) 由-（合0，安）-（专 则”·A-0,」 =0 {m·AN=0, 2x+ 2y=0, 令x=1,解得y=1,z=1, 于是n1=(1,1,1). 同理可求得平面BMN的一个法向量n2 =(1,-1,-1), n1·g 所以cos《n,n:）=mm 1 √5×5 1 31 设平面MNA与平面MNB的夹角为0， 则c0s0=c0s(mn=子 故所求两平面夫角的余弦值为宁 对点训练 B[如图所示，建立 空间直角坐标系，设 PA=AB=1,则A(0, 0,0), D(0,1,0),P(0,0, A 1). 于是AD=(0,1,0), ⑧ 取PD的中点E,连接AE,则EO, ) 成=（0安）易如亦是年面 PAB的一个法向量，AE是平面PCD的 个法向量， ..cos(AD,AE) AD.A正 AD1·AE21 .平面PAB与平面PCD的夹角为45°.] 素养演练·提升技能 1.C「由题可知，AA ⊥AB,AA1⊥AC, AB⊥AC,故以点A 为坐标原点，建立如 图所示的空间直角 坐标系，则A(0,0, 0),C(√2,0,0)， -E(E) B(0,0,2),A1(0,2, 0,B,0,2.2.D90,AE=0, 如图所示的空间直角坐标系，设OA一t,则 0(0,0,0),B(0,-1,0),C 2,2),AC=(√2,0,0，连接AC与CA1交 于点E,连接DE,则E(竖1,0，D呢 A(0,0,t),D(0,1,0).所以AB=(0,-1, -1),BC= /33 =(0,1,-1),易知平面ABBA1的一个 ,,0A=(0,1, 法向量为AC-(√2,0,0).因为AB,·DE 1 =2X1+2×(-1)=0,AC·DE =0,所 以AB⊥DE,AC⊥DE',所以DE⊥平面 ACB,即点E与点E'重合，所以BE= -一恋-店=(0，令，号)易知平西 BCD的一个法向量为n=(0,0,1).设平 ，1，-2）设BE与平面ABB1A,所 面BCE的一个法向量为m=(x,y,z),剥 cos(BE,AC) 3 3 成的角为0，则sin0= = m·BC-0, 2v0, BE·AC 1 √/10 m·BE-0, 不妨取 ,所以c0s0= z=0. BEIAC √11 VT 3v+ 故tan0-√g x=√5，则y=一1，x= 107 是，即m=(5 √/10 5 「建立如图所 1,)因为三面角EBCD的大小 示的空间直角坐标系， 为45°，所以cos(n,m〉= n·m 则B(a,0,0),C(a,2a n m 0),P(0,0,a),D(0, 2 2a,0),所以BC=(0, 2 ,解得t=1(负值已舍去) 2a,0),Bp=(-a,0,a),Ci=(-a,0,0), 4 4+ pD=(0,2a a),设平面BPC、平面 由OB=OC=OD=1,得BC⊥CD,所以 DPC的法向量分别为n1=(x1,M,1),2 BC=√5，所以三棱锥A-BCD的体积为 =(x2,y2,2）, 则有2ay=0, 和∫x2=0, 取 3X2 X1X3X1= 1-a.x1十az1=012ayw-a2=0. 6 x1=1,y2=1,可得n1=(1,0,1),m2=(0, 章末综合提升 1,2),则cos(n,〉=mn, n1·tg /10 r- 5 :要点聚焦·类型突破 题型一 又由图可知二面角B-PC-D的平面角为 纯角，所以三面角B-PC-D的余弦值为：1，B[由b=z-2a,得r=4a+2b,又4a √/10 +2b=4(2,3,-4)+2(-4,-3,-2)= 51 (0,6,-20),所以x=(0,6,-20).] B[,平面a的方程为3.x -5y+ x-7= 0,,.平面a的一个法向量为m=(3,一5， :2.BCD[可以推出：(SA-SC)·(SB 1),经过点(0,0,0)的直线1的方程为 SD)=CA·DB=0,所以B正确：SA-SB =文=子小直线1的一个方向向量 +SC-SD=BA+DC=0,所以C正确； 2 又因为底面ABCD是边长为1的正方形 为n=(3,2,一1).设直线1与平面a所成！ SA=SB=SC=SD=2, 角为0，则sin0=cos(m,n〉 所以SA·SB=2X2Xcos∠ASB,SC· m·n √/10 m n 35直线1与平面a所 SD=2X2Xcos∠CSD,而∠ASB= 成角的正弦值为0 ∠CSD,于是SA.Si=SC.SD,因此D 正确， 148元[如图所示，建 3.解(1)AA.AB=AA1 AB|cos∠BAA 立空间直角坐标系， 则A33 =5×4×cos60°-5×4×7=10. (2)AB=AB+AA,..AB E(0,3,0),易知底面 B BCED的外接圆圆心为BC中点，所以球 AB+AA) 心在过BC中点且与z轴平行的直线上， =√AB+2AB.A+AA 设O(35,0,),由AO1=EO得3√ =√/16+2X10+25=√61. 3√31 2 (3)AC=AB+AD+AA,∴AC: 2 t- 9 =(3√5)2+(-3)2 AB+AD+AA2+2AB·AD+2AB· +2,解得t=一1，所以外接球半径满足· AA+2AD·AA-16+9+25+2×4X5 R2=0片=(3√/3)2+(-3)2+2=37，表 1 面积S=4πR2=148元.] 2X3X5×=85. 2 解(1)证明因为AB=AD,O为BD的 .A它=√85，即AC的长为V√85. 中点，所以OA⊥BD.因为平面ABD⊥平！题型二 面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,所！4.解 如图，以A为 以OA⊥平面BCD.因为CDC平面BCD, ，点，以AB,AD 所以OACD. AP分别为x轴、y (2)以)为坐标原 轴、x轴建立 空间 点，OD,OA所在 直角坐标系， 的直线分别为 O B(1,0,0),D(0,2 轴、轴，过点 0),P(0,0,2), 且垂直于BD的 B C(2,2,0),M(1,1, 直线为x轴，建立 1) 193 (1)证明BM-(0,1,1),平面PAD的：7.解在平面ABC内过 一个法向量为n=(1,0,0), B点作z轴垂直于BC 2.成=（号，号小授面P0M ∴BM.n=0,即BM⊥n, 在平面BCD内过B点 作x轴垂直于BC.:平 的法向量n=(x,y,z), B 又BM中平面PAD,∴.BM∥平面PAD. 面ABC⊥平面DBC (n·OP=23x=0, (2)BD=(-1,2,0),PB=(1,0,-2). 则 取x=1, ∴∠xBz=90°.如图，建 假设平面PAD内存在一点N,使MN⊥· 平面PBD. 立空间直角坐标系Bxyz,设AB=a,则： 则y=-2,2=0,所以n=(1,一2,0).所以 设N(0,y,),则M不=(-1，y-1,2-1), A0,-号）c0,0p( 2a, 从而MN⊥BD,MN⊥PB, 点C到平面POM的距离为 n ·d-0. 44W5 {M.PB=0, /I+45 10 BC=(0,a,0),BD= 3 2a,-2a,0） 第二章直线和圆的方程 (1):AD.BC=0,AD⊥BC,直线 AD与直线BC所成角的大小为90°， 2.1.1倾斜角与斜率 (2)设直线AD与平面BCD所成的角为！必备知识·自主梳理 01,,n=(0,0,1)是平面BCD的一个法向：（一） ∴.在平面PAD内存在一，点N 0,2 正向0°0°≤a<180 量，∴sin0=cos(AD,n)= AD·n 即时小练 号)使MNL年面PBD, ADn 1.(1)/ (2)×(3)/(4)×2.105 或751 题型三 24 (二) ..01=45°，即直线AD1 5.B[作AO⊥平面 3 1,正切值tana2.k=当一y BCD于点O,则O 是△BCD的中心， 与平面BCD所成角的大小为45， 以0为坐标原点，直 (3)设m=(x,y,z)是平面ABD的法向 3(2)￥ 线OD为y轴，直线 :即时小练 (OA为之轴建立空间 量，则m…亦-0， 1.(1)×(2)×提示 倾斜角为135°的 直角坐标系，如图所 {m·BD=0, ·直线的斜率为一1. 3 ar- 2a=0 ·(3)×(4)× 示.设AB=2,则O(0,0,0),A0,0, 2.C3.-1 √3 1 a.x-2ay=0 取x=1,则=1关键能力·合作探究 2)c(1.9(誓) :题点一 =√5，∴m=(1,W5,1). :「典例]解析(1)根据题意，画出图形，如 i-(00,9）=(-1,2 ∴.cosm,n》= m·n 5 图所示， ) mn5×1=号.设平 面ABD和平面BDC的夹角为O2,则 所以cos(A,C正)= OA·C os4=cos(m·m1=5 51 OAICE 题型四 8.APA=(-2,0,-1),PA1=5,PA 因为0°a<180°，显然A,B,C未分类讨 3 论，均不全面，不合题意，通过画图（如图 所示)可知， 2×5 3 ，则点P到直线1的距离为 2 当0°a<140°时，l的倾斜角为a十40°： 当140°≤a180°时，L1的倾斜角为40°+a 所以CE与平面BCD的夹角的正弦值！ -180°=a-140°.故选D. 为票] (2)有两种情况：①如图(1)，直线1向上的 方向与x轴正向所成的角为60°，即直线1 6 。[如图所示，过 9.解(1)证明因为PA=PC-AC=4,O! 的倾斜角为60 为AC的中点，所以PO⊥AC,且PO= y 点C作C)⊥平面 ABDE,垂足为O 25. 取AB的中点F,连 连据OB,周为AB-BC-号AC 209 30 接CF,OF,OA,OB, 1209 则∠CFO为二面角C-AB-D的平面角， 所以△ABC为等腰直角三角形， 所以o∠CP0=9.设AB=1,则CF= 且OB⊥AC,0B=2AC=2. (1 (2) 0r=三，0C-竖，所以0为正方形 所以PY+OB=PB,所以PO⊥OB. ②如图(2)，直线1向上的方向与x轴正向 又因为AC∩OB=O,所以P)⊥平 所成的角为120°，即直线1的倾斜角 ABDE的中心，如图建立空间直角坐标： 面ABC 为120° (2)由(1)知POL平 答案(1)D(2)60°或120 面ABC,建立如图所 !对点训练 示的空间直角坐标 M停0，号）No,票号)所以威 :1.135°[如图，设直线2 系，所以P(0,0,2 的倾斜角为a2,结合图 3),O(0,0,0),B 形及三角形外角与内角 -(,，)不-（号 (2,0,0),C(0,2,0) 的关系可得a2-120°十 设Mx,y,0),又MC a1=120°+15°=135° ) =2，所以M流=号B心，所以M(号， 故直线2的倾斜角 为135°.] 2.解①如图a,可知∠OAB为直线11的倾 所以cos(EM,AV) EM·AN 号0所以元=(02,0.0亦=(0,0 斜角，易知∠AB0=30°，所以∠OAB= EMAN 60°，即直线1的倾斜角为60°. 194数学选择性必修第一册 章末综合提升 ◆知识网络构建◆ 线线平行 线线垂直 线面平行 立 明 线面垂直 空间向量 加减运算 几何 直与 面面平行 线平 面面垂直 数乘运算 的面 共线向量、共面向量 向量及其运 方的 异面直线所成角 数量积运算 向 法 向 线面角 向量运算的坐标表示 方法 量量 两平面的夹角 计 点线距 点面距 线面距 面面距 ◆要点聚焦·类型突破◆ (1)AA·AB;(2)AB的长； 题型一 空间向量的运算 (3)AC的长. 1.已知a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b= -2a,则x= ( A.(0,3,-6) B.(0,6,-20) C.(0,6,-6) D.(6,6,-6) 2.（多选)如图，在四棱锥 S-ABCD中，底面ABCD是 边长为1的正方形，S到A, A B,C,D的距离都等于2.以 /题型技法/… 下结论正确的是() 空间向量的数乘运算及向量共面的充要条件 A.SA+SB+SC+SD-0 (1)空间向量的数乘运算、共线向量的概念、向 B.(SA-SC)·(SB-SD)=0 量共线的充要条件与平面向量的性质是一 C.SA-SB+SC-SD=0 致的. D.SA·SB=SC·SD (2)利用向量共面的充要条件可以判断第三个 3.如图，在平行六面体ABCD 向量是否与已知的两个不共线的向量共面，特 A'B'C'D'中，AB=4,AD=3, 别地，空间一点P位于平面ABC内的充要条 AA'=5,∠BAD=90°，∠BAA 件是存在有序实数对(x,y),使AP=xAB十 =∠DAA'=60°.求： y AC, 30 第一章空间向量与立体几何 题型二 ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直 空间向量与线面位置关系 问题. 4.在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD,CD⊥AD, (5)面面平行 PA⊥底面ABCD,PA=AD=CD=2AB=2, ①证明两个平面的法向量平行（即是共线 M为PC的中点 向量)； ②转化为线面平行、线线平行问题. (6)面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题 (1)求证：BM∥平面PAD; 题型三空间向量与空间角 (2)平面PAD内是否存在一点N,使MN⊥平 5.己知在正四面体A-BCD中，E为棱AD的中 面PBD?若存在，确定N的位置；若不存在，说 点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为 明理由. 4.⑤ 2 B② C.9 D.3 3 6.如图，等边三角形ABC与正 方形ABDE有一公共边AB, 二面角C-AB-D的余弦值为 S,M,N分别是AC,BC的 中点，则EM,AN所成角的余弦值为 7.如图，△ABC和△DBC所在平 面垂直，且AB=BC=BD, /题型技法/ ∠CBA=∠DBC=120°.求： 利用空间向量证明空间中的位置关系 (1)直线AD与直线BC所成角 (1)线线平行 的大小 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向 (2)直线AD与平面BCD所成角的大小； 向量是共线向量， (3)平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值. (2)线线垂直 证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向 向量垂直 (3)线面平行 ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明在平面内找到一个向量与直线的方向 向量是共线向量； ③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量 可用平面内两不共线向量线性表示. (4)线面垂直 ①证明直线的方向向量与平面的法向量平行； 31 数学选择性必修第一册 /题型技法/ 9.如图，在三棱锥P-ABC中， 1.空间几何体建系的原则 AB=BC=2√2，PA=PB= 建立空间直角坐标系时要充分考虑已知条件 PC=AC=4,O为AC的中点， 和图形的特征，尽可能地把已知量放在坐标轴 (1)证明：PO⊥平面ABC: 上或坐标平面内，以方便写点的坐标.写点的 (2)若点M在棱BC上，且MC=2MB,求点C 坐标时要充分利用图形中的平行、垂直以及对 到平面POM的距离. 称关系等 2.用向量法求空间角应注意的问题 (1)异面直线所成的角：两异面直线所成角的 范围为0°<≤90°，需找到两异面直线的方向 向量，借助方向向量所成的角求解 (2)直线与平面所成的角：要求直线a与平 面a所成的角0，先求这个平面a的法向量n 与直线a的方向向量a夹角的余弦cos(n,a〉， 易知0=n:a)-受或者号 -〈n,a). (3)二面角：如图，有两个平 a 面a与B,分别作这两个平 n 面的法向量n1与n2,则平 面a与B所成的角与法向量n1与n2所成的 角相等或互补，所以首先应判断二面角是锐角 还是钝角. 题型四 空间向量与距离 8.已知直线1过定点A(2,3,1),且n=(0,1,1)为 /题型技法/ 直线1的一个方向向量，则点P(4,3,2)到直线 向量法求距离的一般步骤 1的距离为 ( 号 建立恰当的空间直角坐标系；写出（求出）相关 点的坐标；求出相关向量的坐标；代入对应的 距离公式计算.所有的距离最后都可以归结为 C1 2 D.√2 空间两点的距离和点到面的距离， 温馨提示 古人学问无遗力，少壮工夫老始成。纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。 清做章未检测卷（一） 32