2.5.2 圆与圆的位置关系-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂Word课时作业（人教A版2019）

[基础达标练] 1．两圆C1：(x＋3)2＋y2＝4与C2：x2＋(y－4)2＝16的公切线条数为(　　) A．1　　　 B．2 C．3　　　 D．4 解析：B　[圆C1：(x＋3)2＋y2＝4的圆心为(－3,0)，半径为r1＝2. 圆C2：x2＋(y－4)2＝16的圆心为(0,4)，半径为r2＝4， 两圆心的距离为|C1C2|＝＝5，r2－r1<|C1C2|<r1＋r2＝6.所以两圆相交，则其公切线有2条．] 2．以圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0相交的公共弦为直径的圆的方程为(　　 ) A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C.2＋2＝ D.2＋2＝ 解析：B　[两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为x－y＝0，因此所求圆的圆心的横、纵坐标相等，排除C、D选项，画图可知所求圆的圆心在第三象限，排除A.故选B.] 3．若圆C1：(x－a)2＋y2＝r2(r＞0)与圆C2：x2＋y2＝4r2(r＞0)相切，则实数a的值为(　　) A．±3r B．±r C．±3r或±r D．3r或r 解析：C　[圆C1的圆心为(a,0)，半径为r，圆C2的圆心为(0,0)，半径为2r. ①当两圆外切时，有|a|＝3r，此时a＝±3r. ②当两圆内切时，有|a|＝r，此时a＝±r. 综上，当a＝±3r时，两圆外切；当a＝±r时，两圆内切．] 4．(多选)已知圆A、圆B相切，圆心距为10 cm，其中圆A的半径为4 cm，则圆B的半径为(　　 ) A．6 cm B．10 cm C．14 cm D．18 cm 解析：AC　[令圆A、圆B的半径分别为r1，r2，当两圆外切时，r1＋r2＝10，所以r2＝10－r1＝10－4＝6；当两圆内切时，|r1－r2|＝10，即|4－r2|＝10，r2＝14或r2＝－6(舍)，即圆B的半径为6 cm或14 cm.] 5．(多选)若圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：x2＋y2－6x－8y－k＝0没有公共点，则实数k的取值可能是(　　) A．－16 B．－9 C．11 D．12 解析：AD　[化圆C2：x2＋y2－6x－8y－k＝0为(x－3)2＋(y－4)2＝25＋k，则k>－25，圆心坐标为(3,4)，半径为；圆C1：x2＋y2＝1的圆心坐标为(0,0)，半径为1.要使圆C1和圆C2没有公共点，则|C1C2|>＋1或|C1C2|<－1，即5>＋1或5<－1，解得－25<k<－9或k>11.∴实数k的取值范围是(－25，－9)∪(11，＋∞)．满足条件的有A和D.] 6．已知两圆相交于两点A(a,3)，B(－1,1)，若两圆圆心都在直线x＋y＋b＝0上，则a＋b的值是 　________　 . 解析：由A(a,3)，B(－1,1)，设AB的中点为M，根据题意，可得＋2＋b＝0，且kAB＝＝1，解得a＝1，b＝－2，故a＋b＝－1.故答案为－1. 答案：－1 7．已知相交两圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4，公共弦所在直线方程为　________　，公共弦的长度为　_________　. 解析：联立作差可得x＝1，将x＝1代入x2＋y2＝4可解得y＝±，弦长l＝|y1－y2|＝2.故答案为x＝1；2. 答案：x＝1　2 8．已知圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x＋m＝0. (1)若圆C1与圆C2外切，求实数m的值； (2)在(1)的条件下，若直线x＋2y＋n＝0与圆C2相交，弦长为2，求实数n的值． 解：(1)由题意，圆C1：x2＋y2＝1的圆心坐标为C1(0，0)，半径为r＝1， 圆C2：x2＋y2－6x＋m＝0的圆心坐标为C2(3,0)，半径为R＝. 因为圆C1与C2相外切，所以|C1C2|＝r＋R，即3＝1＋，解得m＝5. (2)由(1)得m＝5，圆C2的方程为(x－3)2＋y2＝4，可得圆心C2(3,0)，半径为r2＝2， 由题意可得圆心C2到直线x＋2y＋n＝0的距离d＝， 又由圆的弦长公式，可得＝＝1， 即|n＋3|＝，解得n＝－3＋或n＝－3－. [能力提升练] 9．(多选)集合M＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2，r＞0}，且M∩N＝N，则r可能的取值是(　　 ) A. B. C．1 D． 解析：AB　[由已知M∩N＝N，知N⊆M，所以圆x2＋y2＝4与圆(x－1)2＋(y－1)2＝r2内切或内含，所以2－r≥，所以0＜r≤2－.] 10．(多选)已知圆O：x2＋y2＝4和圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0，下列说法正确的是(　　) A．两圆的公共弦所在直线的方程为y＝2x＋2 B．圆O上有2个点到直线x＋y＋2＝0的距离为 C．两圆有两条公切线 D．点E在圆O上，点F在圆M上，|EF|的最大值为＋3 解析：BCD　[因为圆O：x2＋y2＝4，所以圆心O(0,0)，半径为R＝2，因为圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0，可化为(x＋2)2＋(y－1)2＝1，所以圆心M(－2,1)，半径为r＝1.对于A，两圆的方程作差得4x－2y＋4＝－4，即y＝2x＋4，所以两圆公共弦所在的直线方程为y＝2x＋4，故A错误；对于B，圆心O(0,0)到直线x＋y＋2＝0的距离为d＝＝，则R－d＝2－＜， 所以圆O上有2个点到直线x＋y＋2＝0的距离为，故B正确； 对于C，因为2－1＜|OM|＝＜2＋1，所以两圆相交，则两圆有两条公切线，故C正确； 对于D，|EF|max＝|OM|＋2＋1＝＋3，故D正确．] 11．若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是　________　. 解析：⊙O1与⊙O在A处的切线互相垂直，如图，可知两切线分别过另一圆的圆心，所以O1A⊥OA. 又因为|OA|＝，|O1A|＝2，所以|OO1|＝5.又A，B关于OO1所在直线对称， 所以AB长为Rt△OAO1斜边上的高的2倍，所以|AB|＝2×＝4. 答案：4 12．在平面直角坐标系xOy中，圆O：x2＋y2＝4与圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝8相交于P、Q两点． (1)求线段PQ的长． (2)记圆O与x轴正半轴交于点M，点N在圆C上滑动，求△MNC面积最大时的直线NM的方程． 解：(1)由圆O与圆C的方程相减可知，相交弦PQ的方程为3x＋y－3＝0. 点(0,0)到直线PQ的距离d＝， |PQ|＝2＝. (2)∵MC＝，|NC|＝2. ∴S△MNC＝|MC||NC|sin∠MCN＝2sin∠MCN. 当∠MCN＝90°时，S△MNC取得最大值． 此时MC⊥NC，又kCM＝1，则直线NC的方程为y＝－x＋4. 由得N(1,3)或N(5，－1)． 当点N(1,3)时，kMN＝－3，此时MN的方程为3x＋y－6＝0. 当点N(5，－1)时，kMN＝－，此时MN的方程为x＋3y－2＝0. ∴MN的方程为3x＋y－6＝0或x＋3y－2＝0. [素养培优练] 13．已知圆方程C1：f(x，y)＝0，点P1(x1，y1)在圆C1上，点P2(x2，y2)不在圆C1上，则方程f(x，y)－f(x1，y1)－f(x2，y2)＝0表示的圆C2与圆C1的关系是(　　 ) A．与圆C1重合 B．与圆C1是同心圆 C．过P1且与圆C1圆心相同的圆 D．过P2且与圆C1圆心相同的圆 解析：D　[∵圆方程C1：f(x，y)＝0，点P1(x1，y1)在圆C1上，点P2(x2，y2)不在圆C1上，∴f(x1，y1)＝0，f(x2，y2)≠0.由f(x，y)－f(x1，y1)－f(x2，y2)＝0，得f(x，y)＝f(x2，y2)≠0. 它表示过P2且与圆C1圆心相同的圆，故选D.] 14．在平面直角坐标系xOy中， 已知圆C1 : x2＋y2＝8与圆C2 : x2＋y2＋2x＋y－a＝0相交于A，B两点．若圆C1上存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，则实数a的值组成的集合为　____________　. 解析：由题意知，则直线AB为2x＋y＋8－a＝0，当∠PAB＝90°或∠PBA＝90°时，设C1到AB的距离为d，因为△ABP是等腰直角三角形，所以d＝|AB|， 即d＝，所以d＝2， 所以＝d＝2，解得a＝8±2，当时∠APB＝90°，AB经过圆心C1，则8－a＝0，即a＝8. 答案：{8,8－2，8＋2} 学科网（北京）股份有限公司 $$