2.5 培优课 与圆有关的最值问题(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

培优课　与圆有关的最值问题 1.C　由题意可知，直线l：y＝kx＋m恒过定点A（0，m），由于l截圆的弦长最小值为2，即当直线l与直线OA垂直时（O为坐标原点），弦长取得最小值，于是22＝（×2）2＋｜OA｜2＝1＋m2，解得m＝±. 2.D　圆O：x2＋y2＝1的圆心O（0，0），半径r＝1.切线长L＝＝，所以当OP的长度最小时，切线长L最小.当OP⊥l时，｜OP｜min＝＝3，所以Lmin＝2. 3.D　因为C1（－2，2），r1＝2，C2（2，0），r2＝4，所以｜C1C2｜＝＝2，当PC2⊥C1C2时，△PC1C2的面积最大，其最大值为×2×4＝4. 4.C　圆的标准方程为x2＋（y－2）2＝8，所以圆心为C（0，2），半径r＝2，圆心C到已知直线的距离d＝＝.由题意得解得－4＜a＜0或4＜a＜8. 5.C　法一　由题意，得实数x，y满足（x－2）2＋（y－1）2＝9，表示圆心为点（2，1），半径为3的圆.设x－y＝t，则直线x－y－t＝0与圆（x－2）2＋（y－1）2＝9有公共点，所以圆心到直线x－y－t＝0的距离d＝≤3，解得1－3≤t≤1＋3.故选C. 法二　由题意，得实数x，y满足（x－2）2＋（y－1）2＝9.设x＝2＋3cos θ，y＝1＋3sin θ，θ∈[0，2π]，则x－y＝1＋3cos θ－3sin θ＝1＋3·cos（θ＋）≤1＋3，当θ＝时取等号.故选C. 6.C　设两圆的半径为r，当两圆相切于C点时，所围成的图形面积最大，如图，此时，2r＝｜AB｜＝2，所以r＝1，所围成图形的面积S为矩形ABO2O1的面积减去一个半圆的面积，即S＝2－.随着r的增大，S逐渐趋于0，所以所求面积S的取值范围为（0，2－］. 7.ACD　设圆（x－5）2＋（y－5）2＝16的圆心为M（5，5），由题易知直线AB的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝＝＞4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋，4＋＜5＋＝10，故A正确；易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝－4，－4＜ －4＝1，故B不正确；过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，｜PB｜＝＝＝3，当∠PBA最大时，点P与Q重合，｜PB｜＝3，故C、D都正确.综上，选A、C、D. 8.BCD　因为AB＝AC，故欧拉线即为BC的中垂线，又B（－2，4），C（5，－3），故BC的中点为（，），且kBC＝＝－1，故BC的中垂线方程为x－y－1＝0，故A错误；因为圆M：（x－5）2＋y2＝r2与欧拉线相切，故＝2＝r，所以圆M上的点到欧拉线的最大距离为2r＝4，故B正确；若点（x，y）在圆M上，设x＋y＝t，则≤2，故1≤t≤9，故t的最小值为1，故C正确；因为点（x，y）在圆M上，故（x－5）2＋y2＝8，即x2＋y2＝10x－17，故x2＋y2－4x＋6y＝6（x＋y）－17，由C的判断可得1≤x＋y≤9，故－11≤6（x＋y）－17≤37，故D正确.故选B、C、D. 9.　解析：方程y＝化为（x－2）2＋y2＝3（y≥0），表示的图形是一个半圆，令＝k，即y＝kx，如图所示，当直线与半圆相切时，k＝（负值舍去），所以的最大值为. 10.5　解析：由条件，得A（0，0），B（1，3）.由x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0消去m，得动点P的轨迹方程为（x－）2＋（y－）2＝，易知OB为圆的一条直径，由图可知，PA⊥PB，所以｜PA｜2＋｜PB｜2＝｜AB｜2＝10，所以｜PA｜·｜PB｜≤＝5. 11.解：（1）由圆C的方程x2＋y2－4x－14y＋45＝0化为标准方程得（x－2）2＋（y－7）2＝8， ∴圆心C的坐标为（2，7），半径r＝2， 又｜QC｜＝＝4， ∴｜MQ｜max＝4＋2＝6， ｜MQ｜min＝4－2＝2. （2）由题可知表示直线MQ的斜率. 设直线MQ的方程为y－3＝k（x＋2）， 即kx－y＋2k＋3＝0， 则＝k. 由直线MQ与圆C有交点，得≤2， 可得2－≤k≤2＋， ∴的最大值为2＋，最小值为2－. 12.解：（1）由题意，得C1（1，2），C2（3，5），r1＝1，r2＝， ∴｜C1C2｜＝＝，r1＋r2＝1＋，｜C1C2｜＞r1＋r2， ∴两圆的位置关系为相离. （2）如图，作圆C2关于x轴的对称圆C'2，则C'2（3，－5），B的对称点为B'， 则｜PA｜＋｜PB｜的最小值为｜PA｜＋｜PB'｜的最小值， 即为｜C1C'2｜－r1－r2 ＝－1－ ＝－1－. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优课　与圆有关的最值问题 1.（2025·清远月考）已知直线y＝kx＋m（m为常数）与圆x2＋y2＝4交于点M，N.当k变化时，若｜MN｜的最小值为2，则m＝（　　） A.±1 B.± C.± D.±2 2.已知点P是直线l：3x＋4y－15＝0上的动点，由点P向圆O：x2＋y2＝1作切线，则切线长的最小值是（　　） A.2 B.1 C. D.2 3.（2025·宁德月考）已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y＝0，动点P在圆C2：x2＋y2－4x－12＝0上，则△PC1C2面积的最大值为（　　） A. B.2 C.3 D.4 4.圆x2＋y2－4y－4＝0上恰有两点到直线x－y＋a＝0的距离为，则实数a的取值范围为（　　） A.（－4，0） B.（4，8） C.（－4，0）∪（4，8） D.（－4，8） 5.已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是（　　） A.1＋ B.4 C.1＋3 D.7 6.（2025·茂名月考）如图所示，A，B是直线l上的两点，且AB＝2.两个半径相等的动圆分别与l相切于A，B两点，C是两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成的图形面积S的取值范围为（　　） A.（0，］ B.（0，π] C.（0，2－］ D.（0，2－π] 7.〔多选〕已知点P在圆（x－5）2＋（y－5）2＝16上，点A（4，0），B（0，2），则（　　） A.点P到直线AB的距离小于10 B.点P到直线AB的距离大于2 C.当∠PBA最小时，｜PB｜＝3 D.当∠PBA最大时，｜PB｜＝3 8.〔多选〕（2025·南京月考）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在△ABC中，已知AB＝AC，点B（－2，4），点C（5，－3），且其“欧拉线”与圆M：（x－5）2＋y2＝r2相切，则（　　） A.“欧拉线”方程为x－y＋1＝0 B.圆M上点到“欧拉线”的最大距离为4 C.若点（x，y）在圆M上，则x＋y的最小值是1 D.若点（x，y）在圆M上，则x2＋y2－4x＋6y的取值范围是[－11，37] 9.已知实数x，y满足方程y＝，则的最大值为　　　　. 10.（2025·常州月考）设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P（x，y），则｜PA｜·｜PB｜的最大值是　　　　. 11.已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q（－2，3）. （1）求｜MQ｜的最大值和最小值； （2）若M（m，n），求的最大值和最小值. 12.已知圆C1：（x－1）2＋（y－2）2＝1，C2：（x－3）2＋（y－5）2＝3，点P，A，B分别在x轴和圆C1，C2上. （1）判断两圆的位置关系； （2）求｜PA｜＋｜PB｜的最小值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $