2.2.2 直线的两点式方程-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

第二章直线和圆的方程 4.已知直线I与直线I1:y=2x+6在y轴上有相： 课堂小结 同的截距，且1的斜率与11的斜率互为相反数， 则直线1的方程为 重要思想与方法 5.写出下列直线的斜截式方程： (1)应用点斜式方程表示直线的前提条件是该直线的斜率 (1)直线的倾斜角为45°且在y轴上的截距： 存在，且过已知点，那么该直线的方程可为：y一yo=k(x 是2； Io). (2)直线过点A(3,1)且在y轴上的截距是一1. (2)把直线的点斜式方程化为y=kx十y0一k.x0.令y0一k.x0 b,则y=kx十b,即为直线的斜截式方程. 直线的 y-yo=k(x-xo) 点斜式方程 不能表示斜率不存在的直线 直线 的 直线的 y=kx+b 式 方 斜截式方程不能表示斜率不存在的直线 平行与垂直问题 温馨提示 请做课时分层检测（十一） 2.2.2 直线的两点式方程 【课标要求】1.根据确定直线位置的几何要素，探素并掌握直线的两点式方程.2.了解直线的截距式 方程的形式特征及适用范围. 【素养要求】通过学习直线的两点式及截距式方程，提升数学抽象及逻辑推理素养 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)两点式方程 (2)方程一1=一4和方程(y一y)· 名称 两点式方程 y2一y1x2-x1 (x2一x1)=(x-x1)(y2-y1)适用的范围 经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠ 已知条件 相同 ( x2y1≠y2) (3)过点(1,3)和(1,5)的直线也可以用两点式 方程来表示。 ( 示意图 (4)所有的直线都可以用两点式方程来表示. () 方程形式 2.经过两点(-1,2)，(-3，-2)的直线的方程是 适用条件 斜率存在且不为零 () A.x-2y+5=0 B.x-2y-5=0 即时小练 C.2.x-y-4=0 D.2x-y+4=0 1.判断正误 3,已知直线1的两点式方程为y。0 -3-0 (1)能用两点式方程表示的直线也可用点斜式 方程表示 专（二》则1的斜率为 43 数学选择性必修第一册 A-8 R是 C.-2 D. 3 即时小练 (二)截距式方程 1.在x轴和y轴上的截距分别为一4和5的直线 名称 截距式方程 方程是 直线l在xy轴上的截距分别为a,b且a≠0， A芳+=1 B+六= 已知条件 b≠0 D.十￥=1 (0,b) 2.直线-受十名=一1在x轴y轴上的截距分 示意图 (a,0) 别为 ( A.2,3 B.-2,3 C.-2,-3 D.2,-3 方程形式 3.已知过点M(1,2)的直线1分别与两坐标轴交 于A,B两点，若M为AB的中点，则直线1的 适用条件 斜率存在且不为零，不过原点 截距式方程为 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 题点一直线的两点式方程 对点训练 [典例]已知三角形的顶点是A(1,3),B(一2,1.经过两点(5,0)，(2，一5)的直线方程为( 一1)，C(1,一1)，求这个三角形三边所在直线的： A.5.x+3y-25=0 B.5x-3y-25=0 方程. C.3.x-5y-25=0 D.5.x-3y+25=0 [听课记录] 2.已知直线l经过点A(1,0),B(m,1). 求直线1的方程 :/方法技巧/ 利用两点式求直线方程 当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时， 首先要判断是否满足两点式方程的适用条件， 若满足即可考虑用两点式求方程.在斜率存在 的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率， 再用点斜式写方程， 44 第二章直线和圆的方程 :2.(多选)过点(2,3)，并且在两坐标轴上的截距相 题点二直线的截距式方程 等的直线方程为 ( [典例]求过点A(3,4)且在两坐标轴上的截距 A B.x+y=5 互为相反数的直线1的方程. 3 [听课记录] C.y=- 22 D.x+y+5=0 3.若直线1在x轴上的截距比在y轴上的截距大 1,且过定点A(6,一2)，则直线1的截距式方程 为 题点三 直线的截距式方程的综合应用 [典例]已知三角形的三个顶点A(一5,0)，B(3, -3),C(0,2),求BC边所在直线的方程，以及 该边上中线所在直线的方程. [听课记录] /方法技巧/ 求直线的截距式方程的方法 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可 考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定 其系数即可. (2)如果题目中出现直线在两坐标轴上的载距 相等、截距互为相反数或在一坐标轴上的载距 是另一坐标轴上的截距的多少倍等条件，采用 载距式求直线方程时一定要注意考虑“零载 距”的情况. (3)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的 三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式. /方法技巧/ 对点训练 一般地，求直线的方程时，已知一点的坐标及 1.过点A(3,一1)且在两坐标轴上截距的绝对值 斜率通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或 相等的直线有 点斜式；已知在x轴、y轴上的截距选择截距 A.2条 B.3条 式；已知两点坐标，选择两点式.但不论选用哪 C.4条 D.无数多条 一种形式，都要注意各自的限制条件. 45 数学选择性必修第一册 2.已知△ABC中，A(1,-4),B(6,6),C(-2, 对点训练 : 0)求： 1.在△ABC中，已知A(5,-2),B(7,3),且AC (1)△ABC中平行于BC边的中位线所在直线 边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴： 的方程并化为截距式方程； 上，求： (2)BC边的中线所在直线的方程并化为截距式 (1)顶点C的坐标； 方程 (2)直线MN的方程. 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.(多选)已知直线1过点(1,2)，且在横坐标与纵 =80m,AE=30m,AF=20m,应该如何设计 坐标上的截距的绝对值相等，则直线1的方程： 才能使草坪面积最大？ 可以是 ) A.2x-y=0 B.x+y=3 C.x-2y=0 D.x-y+1=0 2.已知直线l:a.x十y-2=0在x轴和y轴上的截 距相等，则实数a的值是 A.1 B.-1 C.-2或-1 D.-2或1 3.已知点A(4,0),B(0,2),若点C(a,b)在线段 课堂小结 AB(不合端点)上，则。十一6的最小值为 重要思想与方法 (1)直线的两点式方程：经过两点P1(x1y1),P2(x2y2) A2-号 队反-是 (其中x1≠x21≠y2)的直线方程为y二y1=一x1 y2-y1x2一x1 c号-E n.}- (2)直线的截距式方程：若直线在x轴上的截距为a(a≠0)， 4.以点P(5,8)和Q(3,一4)为端点的线段的方程： 在y轴上的截距为66≠0).则直线的方程为亡+名=1. 是 两点式方程 5.如图，为了绿化城市，拟在矩形 D 直线的两 点式方程 截距式方程 区域ABCD内建一个矩形草 应用 坪，另外△AEF内部有一文物 保护区域不能占用，经过测量，AB=100m,BC: 温馨提示 请做课时分层检测（十二） 46斜式得y-1=2(x-1),即y=2x-1. 4 设与直线y=x一1垂直的直线的斜率为 2.2.2直线的两点式方程 .3 =-(一3k十4)，解得k=1或= k2,由两直线垂直，得k2一一1，又过点(1，·必备知识·自主梳理 4 1),代入点斜式，得y-1=一(x1).」 (一) 3 题点三 ∴.直线1的方程为y一4=x-3或y-4= [典例]解(1)直线1的方程可化为v= V-yI x2一 kx+2十4k,则直线在y轴上的裁距为4k:即时小练 gr-3. 十2，要使直线1不经过第四象限，需满足！1.(1)√(2)×(3)×提示因为点 即直线1的方程为x-y+1=0或4x一3y {1+2≥0，解得≥0，故k的取值范国是 (k≥0， (1,3)和(1,5)的横坐标相等，故不能用两1 =0. 点式来表示.(4)× 对点训练 (2)依题意，直线1在x轴上的藏距为2D[根据直线的两点式方程，得y2 k0. 1.B汇当藏距都为零时满足题意要求，直线 -2-2 -4h+2,在y轴上的藏距为4h+2,且> x+1 方程为y= 3x, k -3+1' 化简整理，得2x一y十4=0，故 4k+2,0 选D.] 当藏距不为零时，设直线方程为亡十岩 0,所以A ,B(0,4k十2)， !3.A[由直线1的两点式方程知，直线l过点1 =1, 故S=0A×OB 2(2k+1) (一5,0)，(3，一3)，由直线上两点的斜率公 + 式，得1的斜率为号=一是放选A] a 1 b (a=b, =2(4k++4>2×(4+40=16， :( {=2载{a=4 当且仅当软古，即=令时取等号，故 +- ”1b=2,1b=-4, S的最小值为16，此时直线1的方程为y即时小练 即直线方程为受+受=1或子十 = 1.C2D3z+￥=1 =1, .满足条件的直线共有3条.故远B.] 对点训练 关键能力·合作探究 :2.AB[设直线在两坐标轴上的截距分别为 解当m=0时，l1:8y-10=0;l2:x-4= 题点一 a,b. 0,l1与l2垂直： :[典例]解直线AB 过A(1,3),B(一2， 当Q=b≠0时，直线方程为工+义=1， a 当m≠0时，l2的方程可化为y=一6 1 1),其两点式方程 2 之由一三得加=士了： 为昌=引 2+3=1,a=5x+y=5 aa 6m ,整理，得4x一3y十 -2 当4=b=0时，k=号，y=7月 8 5-0,这就是边AB 3 B 3 所在直线的方程 综上所述，所求直线方程为y=x或工 =-1无解. 直线AC垂直于x轴，故AC边所在直线， 十y=5.故远A、B.] 的方程为x一1.直线BC平行于x轴，故 故当m=一号时4与么平行： BC边所在直线的方程为y=一1. :3十分=1或受+y=1[设直线1在y !对点训练 当m=0时，l与l2垂直. 轴上的裁距为a(a≠0，a≠一1)，则1在x 素养演练·提升技能 1.B[由两点式，得。一化筒整 轴上的裁距为a十1，则1的方程为。千十 1,A['kaB=a+1二 理得5x-3y-25=0.故远B.] a-1- =-1,且A,B关于2解由于直线1经过A1,0,B(m,因 名=1，将点A(6-2》代入得5吕 直线1对称，∴.k=1,又线段AB的中，点为 此直线1的斜率不可能为零，但有可能不！ =1,即a2-3a十2-=0，∴.a=2或a=1, 1a-1+a,a++）,即（a- 存在。 2 2 2,a+ (1)当直线斜率不存在，即n=1时，直线1 “直线1的方程为营十兰=1或受十y 方程为x一1： 合）直线1的方程为y一(+）=1 1.] (2)当直线斜率存在，即m≠1时，利用两！题点三 ×[()月即xy+1=故 点式，可程直线方程为号二即臭创解知国， 过B(3,一3)，C(0, -(m-1)y-1=0. 选A. 2)的直线的两点式 综上可得，当n-1时，直线方程为x=1；1 2.B[:直线的倾斜角为45， 当m≠1时，直线方程为x一(m-1)y-1 方程为 A ∴.直线的斜率为1， =0. 又过点(0，一1)， x-0 B 题点二 ,直线1的方程为y十1=x, 3-0 :「典例]解法一①当直线1在两坐标轴 整理可得y=x一1，故远B.] 整理得5.x十3y一6=0. 4 3.D[:线段AB的中点为M(2,1),kAB=! 上的藏距均为0时，方程为y一分，即4r 这就是BC边所在直线的方程。 立，线段AB的垂直平分线方程为 BC边上的中线是顶，点A与BC边中，点M -3y=0. ②当直线1在两坐标轴上的截距均不为0： 所连线段，由中点坐标公式可得，点M的坐 y-1=2(x-2),即2x-y-3=0,1AC11 时，依题意可设直线【的方程为： =BC,∴.△ABC的外心、重心、垂心都 位于线段AB的垂直平分线上，，.△ABC: 工+义=1，即x-y=a(a≠0). 标为（空，）号） 的欧拉线方程为2.x一y一3=0，故远D.] 又直线1过点A(3,4),∴.3-4=a,.a= 注A(-5,0,M(受，-）的直线的方 4.y=一2x十6[由直线的方程可知它的 一1. 斜率为2，它在y轴上的截距为6，所以直！ .直线l的方程为x一y十1=0. 程为y一0=x十5 线1的斜率为一2，在y轴上的截距为6.由！ 综上所述，直线【的方程是4x一3y=0或 -0+5 直线斜截式方程可得直线1的方程为y一 -+=0. 即x+13y+5=0. 一2x十6.」 法二设直线的斜率为k(k≠0)，则有y一 5.解(1)斜率k=tan45°-1，可得斜截式1 这就是BC边上中线所在直线的方程， 4=k(x-3). 方程为y一x十2， ·对点训练 令x=0,得y=一3k十4， (2)由题意知直线过点(3,1)，(0，一1)， 4 二斜率=。号-号，可得斜藏式方程 令y=0,得x=3-: L解()设C(),则M(, 2 :直线（在两坐标轴上的截距互为相 为y=分x-1, 反数， 197 因为点M在y轴上，所以十5 2 0,解得5解在线段EF上 :2.解(1)斜率k=一2，过点(3,4)，由点斜 取一，点P(n,n),作 式得直线方程为y一4=一2(x-3),即2x x0=一5. PQ⊥BC于Q,PR +y-10=0. 又因为点N在x轴上，所以西十3 CD于R,则矩形 (2)斜率k一3，在y轴上的截距是2，由斜 2 0,解1 PQCR即为要建的 截式得直线方程为y=3x十2，即3.x一y十 得=一3. 矩形草坪，设矩形 B 2=0. 所以C(一5，一3) PQCR的面积是S, (3)直线经过两点(-2，一1)和(-1,5)， 则S=PQ·PR=(100-m)(80-n).1 (2)由D可得M0,-号）N,0 由两点式得直线方程为二二吕 又因为需+易-1(0≤m≤30. x-(-2) 所以直线MN的截距式方程为于+y -1-(-二2，即6x-y十11=0. 5 (4)直线经过两，点（一4,0）和(0,2)，可知 -21 所以n=20-器) 直线在x轴、y轴上的裁距分别为一4和 =1,即5x-2y-5=0. 2 2.解(1)平行于BC边的中位线就是AB,: 故S=(100- m)(80-20+m） 2,由藏距式得直线方程为与十立=1，即 AC中点的连线. 因为线段AB,AC的中点坐标分别为 (m-5y产+18050(0≤m≤30)， 2 -2y+4=0. 3 3 题点二 (冬- 当m=5时，S有最大值，此时PF EP [典例]解(1)因为直线1的斜率存在， 所以直线1的方程可化为y=一一3工 2 所以平行于BC边的中位线所在直线的方 30-5=5,即当点P为线段EF上靠近F +2, 点的六等分点时，可使草坪面积最大， =一1，解得k=5. 程为士号，2，整理得， 由题意得一k一3 2+2 2.2.3直线的一般式方程 6x一8y-13=0,化为裁距式方程为 必备知识·自主梳理 2)直线1的方程可化为产8十之=1， 由题意得k一3十2=0，解得k-1. 13 1.(1)Ax+By+C=0(2)① :对点训练 6 及 1.[1,十∞)[①当a-1=0,即a=1时，直 13 =1. 一B 线为x=3,该直线不过第三象限，符合 ②当a一1≠0，即a≠1时， 8 !即时小练 2+a (2)因为BC边的中点为(2,3)， :1.(1)/(2)×(3)×(4)× 直线1的斜藏式方程为y=一a一1-a 所以BC边上的中线所在直线的方程为 ·2.B[A=2,B=1,则斜率k=一 A =一2， 因为直线！不过第三象限， y+4_x-1 3+4一2-，即7x-y-11=0,化为截距：故选B.] 故该直线的斜率小于等于零，且直线在y 轴上的裁距大于等于零 式方程为 3.D[由于A、B不同时为0，即A十B≠ 0, 0,故远D.] 1-a !4.AB[二元一次方程能表示所有直线，故 2十0≥0， 解得a>1.由①②可知a A正确：当C=0时，点(0,0)显然满足方 1-a1 素养演练·提升技能 程Ax十By一O,说明直线过原，点，故B正 ≥1. L,ABD[由题意设所求直线的横截距为a,} 确：当C-0时，直线与y轴重合，故C错：2.解(1)①当a=一1时，直线1的方程为y ①当a一0时，由题意可设直线的方程为y! 误：当直线与坐标轴平行或重合时，不能： 十3=0，显然不符合题意； =kx,将(1,2)代入可得k=2,.直线的方： 化为截距式，故D错误.故远A、B.] ②当a≠一1时，令x=0,则y=a一2， 程为2x-y=0:②当a≠0时，由截距式方关键能力·合作探究 令y=0,则x=4-一2 程可得直线的方程为子十义=1（栽距相典例们解(1）因为=2，且经过点A1: 题点一 a+1· “1在两坐标轴上的截距相等， 等)或后+之。=1（藏距相反），将(1,2)代 3),由直线的，点斜式方程可得v一3=2(x ∴a-2=a-2 一1)，整理可得2.x一y十1=0，所以直线的 解得a=2或a=0. 入可得a=3或a=一1，，直线的方程为x 一殷式方程为2x一v十1=0. 综上，a的值为2或0. 十y=3或x-y十1=0.故选A、B、D.] (2)由直线的斜率k=√5，且在y轴上的裁1 (2)直线1的方程可化为y=-(a十1)x十 2.A[显然a≠0.把直线l:ax十y-2=0化 距为4， a一2，故要使l不经过第二象限，只需 为立十堂=1.“直线l:ar十y-2=0在 得直线的斜截式方程为y=√x十4. (-(a+1)≥0， 整理可得直线的一殷式方程为√5.x一y十4： a-20, =0. 解得a≤一1 工轴和y轴上的截距相等，.2=2，解得 ∴.a的取值范图为(-∞，-1]. a (3)由直线的两点式方程可得y一（一3) a=1,故远A.1 5一（一3题点三 x-2 :[典例](1)解析设直线1的方程为x一y 3.A[由点A(4,0),B(0,2)可得直线AB· 十c=0(c≠一1)，由，点(0,3)在直线x一y -1-2” 的方程为子十文=1， 十c=0上，得0一3十c=0,解得c=3,因此 整理得直线的一殷式方程为2x一3y一131 直线l的方程为x一y十3=0.故远D. 因为点C(a,b)在线段AB(不含端，点)上， =0. 答案D 所以号+台-1a>0,>0,所以 a+1 ()由直线的藏距式方程可得受十兰 (2)解①，11⊥12，.3×m+(m十1)×2 =0, 1 =1, -b= 2 2 整理得直线的一般式方程为2x一y一4！ 5 =0 2√·-=-，当且仅对点训练 5 ②L1∥1， ,∴.3×2=n×(m十1)，，∴.m=-3或m 1.(1)B(2D[(1)将一殷式化为斜裁式， =2, 当。，即=-1时等号成立 斜率为一子的有B.C两项，其中By- 当n=一3时，L1∥l2；当m=2时，L1与L2 故选A.] 重合，不符合题意，舍去.n=一3. 4 4.6x-y-22=0(3x5)[过两点P(5,1 7 :对点训练 33 1.(1)0(2)1[(1)由11L12,则1×n十m 8),Q(3,-4)的线段的方程是8= x十14又y=-号x+14过点 C.y=-4 X1=0,.m=0. 5(3≤x≤5)，即6x-y-22=0(3≤x: (3,10),即直线过第一象限，所以只有B (2)由41∥42，则1=≠-2m-2 3-5 n -1-n 项满足要求. 5).] (2)令y=0,则x=-3W5.] 即n-1=0, {m(-1-m)≠-2(m+1),六m=1.] 198