2.2.1 直线的点斜式方程-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

所以L1⊥L2 (1)若CD是直角梯形的直角腰，则BC⊥： (3)由A,B的横坐标相等得11的倾斜角： CD,AD⊥CD, 2.2.1直线的点斜式方程 为90°，则11⊥x轴 kc=0,.CD的斜率不存在，从而有必备知识·自主梳理 40-40 x=3. k2=10-(-10) =0,则l2⊥y轴，所以l 又kD=,y二3=0，即y=3,此时 1.(xoy)斜率k2.(1)y-y=0yw (2)x-x0=0x0 对点训练 AB与CD不平行，故所求点D的坐标为！即时小练 (3,3). (2)/(3)/2.A3.D 2 -1 1.(1)× (2)若AD是直角梯形的直角腰，则AD⊥ 1.B「①中，易求得L,的斜率为 0-1 AB,AD⊥CD, 1.纵坐标b2.斜率截距 ×（ 2 =-1,故l1⊥l2: ”kAD=y二3 y kn=r-3' 即时小练 2.-2 ②中，l1的斜率为tan45°=1，l2的斜率为 y3.3=-1 关键能力·合作探究 -5-(-1) 题点一 》-1x(号)≠-1， y-3.y -1, 典例]解(1)由，点斜式方程可知，所求 故1与l2不垂直； 直线方程为：y-3=3x一（一4）]. 18 9 18 (2)由题意知，直线的斜率k=tan135°= @中4的韩牵为= 3,l的斜 5 解得x= 5,y= ,D点坐标为 5 一1，故所求直线的点斜式方程为v一4= -[x-(-1)]. 3-0 3 3 率为6。，-3X行 =一1， 》 (3)直线与v轴平行，.斜率不存在， 故l1⊥l2. ',直线的方程不能用点斜式表示，由于直 综上，D点坐标为(3,3)或 189 故①③正确.故远B.] 5,5 线上所有点的横坐标都是一1， 故这条直线的方程为x一 -1. 2.C[设直线1与直线'的斜率分别为：素养演练·提升技能 (4)直线过点D(2,1)和E(3,一4)， k,, 1.AD -4-2 [k,AB一6-（-4) 3 -4-1 直线'过点M(一√，)，N(2,-5),1 ∴.斜率k=3一2 =-5. ·直线1的斜率k'-②-（一③ 12-6 3 6-2 一√5-√2 1 故所求直线的，点斜式方程为y一1一一5(x 一2) 由1⊥'得，kk'=-1,∴.k=1, 对点训练 ,直线l的倾斜角a满足tana=l,a∈[0，： 即点C不在直线AB上，.AB∥CD π)， :1D[由条件知巴知直线的鲜率为号，故 故远项A正确，B不正确， a=牙故选C.] 所求直线的斜率是√2，又过点（一1,1），代 =一4，.kA0·k8D=-1. 入点斜式，得所求直线的方程为y一1= 题点 ∴，AC⊥BD.故选项D正确，C不正确，故： √2(x十1).故选D.] L典例]解A,B, 远A,D.] C,D四点在坐标平 面内的位置如图： A 2B[因为kMw=4二（二)=一1，所以若 2y-1=号(x一2》[由=x+是，得 一3一2 由斜率公式可得 直线PQ与直线MN平行，则kr阳= 针率为，设直线y=子x十子的倾斜角 5-3 kAB -30 2 6 2-(-4) 2m-2--1,解得m=-1.] 为a,直线1的倾斜角为B,斜率为k,则 3一n tan a=k=tan B-tan 2a- 2tan a 5-3 3.A[由题意知kA=2(0=方，keD 1-tan'a 8 0-3 0-3 kcD= -3-6= 3,k加=-3-(-4) 一3-63，小kB=kn,同理可知 —3 后又直线1过点P(2,1),所以直线1方 一3，kx=6-2 3-5 1 一之，k=kD,由图 kAC≠kD,故A,B,C,D不共线，∴.两直线 程的点斜式为y一1=是（红一20.] 平行.] :题点二 可知AB与CD不重合，∴.AB∥CD 4.[-2,0][设O点折叠后落在线段BC上！[典例] 解(1)由直线方程的斜截式 由kAD≠kc,.AD与BC不平行. 又k·k0=X(-3)=-1, 的点为D点， 可知， ',点O与点D关于折痕所在直线对称， 所求直线方程为y-2x十5， (2)倾斜角a=150°， .AB⊥AD. ·点O与点D的连线与折痕所在直线 故四边形ABCD为直角梯形， 垂直， 斜率k=tan150°=-E 对点训练 又k=2 ,直线OC的斜率不存在. 3 1.C[如图所示，易知kAs y ∴O,D两点连线的斜率的取值范图是！ 由斜裁式可得方程为y一一 x-2 -1-1 3 2-- 3, 2,十∞)， (3)直线的倾斜角为60°， 4-1 3 ∴，折痕所在直线的斜率k的取值范圆为 ,∴.其斜率k=tan60°=√3. A1 -2,0), 直线与y轴的交点到原点的距离为3， 由kAB·kc=一1知三 角形是以A点为直角顶 -10 2 当折痕所在直线的斜率为0时，符合： ,∴.直线在y轴上的截距b=3或b=一3. 题意， ∴.所求直线的斜截式方程为y=√3x十3 点的直角三角形.门 ∴k的取值范围为[-2,0].] 2.解设所求点D的坐标为(，y),如图5.解如图所示，以点 或y=√3.x-3. 所示， y 对点训练 B为坐标原点，BC, 1.C[由题图知直线1的倾斜角为钝角，且 BA所在直线分别为 直线在y轴上的截距为正值，即k<0,b> D x轴、y轴建立平面 0,故远C.] 直角坐标系· B M 2.BC[对于A,将点(3，一2)代入y=√3x 由AD=5,AB=3, 一1，可知不满足方程，故A不正确：易知 可得C(5,0),D(5,3),A(0,3) B正确；对于C,由k-√3，即tana=√3，可 设点M的坐标为(x,0), 得直线的倾斜角为60°，故C正确；对于 因为AC⊥DM,所以kae·kDw=一1， _15=3.2, D,由y=√3x一1，知直线在y轴上的裁距 由于kAB=3,kx=0,.kAB·kx=0≠ -1, 所以· =-1,即x=5 为一1，故D不正确.] 即AB与BC不垂直，故AB,BC都不可作 所以当BM=3.2m时，两条小路所在直3y一2x一】y1(x1)[设与直线 为直角梯形的直角边. 线AC与DM相互垂直. y一2x十7平行的直线的斜率为k1,由两 直线平行得k1=2,又过点(1,1)，代入点 196 斜式得y-1=2(x-1),即y=2x-1. 4 设与直线y=x一1垂直的直线的斜率为 2.2.2直线的两点式方程 .3 =-(一3k十4)，解得k=1或= k2,由两直线垂直，得k2一一1，又过点(1，·必备知识·自主梳理 4 1),代入点斜式，得y-1=一(x1).」 (一) 3 题点三 ∴.直线1的方程为y一4=x-3或y-4= [典例]解(1)直线1的方程可化为v= V-yI x2一 kx+2十4k,则直线在y轴上的裁距为4k:即时小练 gr-3. 十2，要使直线1不经过第四象限，需满足！1.(1)√(2)×(3)×提示因为点 即直线1的方程为x-y+1=0或4x一3y {1+2≥0，解得≥0，故k的取值范国是 (k≥0， (1,3)和(1,5)的横坐标相等，故不能用两1 =0. 点式来表示.(4)× 对点训练 (2)依题意，直线1在x轴上的藏距为2D[根据直线的两点式方程，得y2 k0. 1.B汇当藏距都为零时满足题意要求，直线 -2-2 -4h+2,在y轴上的藏距为4h+2,且> x+1 方程为y= 3x, k -3+1' 化简整理，得2x一y十4=0，故 4k+2,0 选D.] 当藏距不为零时，设直线方程为亡十岩 0,所以A ,B(0,4k十2)， !3.A[由直线1的两点式方程知，直线l过点1 =1, 故S=0A×OB 2(2k+1) (一5,0)，(3，一3)，由直线上两点的斜率公 + 式，得1的斜率为号=一是放选A] a 1 b (a=b, =2(4k++4>2×(4+40=16， :( {=2载{a=4 当且仅当软古，即=令时取等号，故 +- ”1b=2,1b=-4, S的最小值为16，此时直线1的方程为y即时小练 即直线方程为受+受=1或子十 = 1.C2D3z+￥=1 =1, .满足条件的直线共有3条.故远B.] 对点训练 关键能力·合作探究 :2.AB[设直线在两坐标轴上的截距分别为 解当m=0时，l1:8y-10=0;l2:x-4= 题点一 a,b. 0,l1与l2垂直： :[典例]解直线AB 过A(1,3),B(一2， 当Q=b≠0时，直线方程为工+义=1， a 当m≠0时，l2的方程可化为y=一6 1 1),其两点式方程 2 之由一三得加=士了： 为昌=引 2+3=1,a=5x+y=5 aa 6m ,整理，得4x一3y十 -2 当4=b=0时，k=号，y=7月 8 5-0,这就是边AB 3 B 3 所在直线的方程 综上所述，所求直线方程为y=x或工 =-1无解. 直线AC垂直于x轴，故AC边所在直线， 十y=5.故远A、B.] 的方程为x一1.直线BC平行于x轴，故 故当m=一号时4与么平行： BC边所在直线的方程为y=一1. :3十分=1或受+y=1[设直线1在y !对点训练 当m=0时，l与l2垂直. 轴上的裁距为a(a≠0，a≠一1)，则1在x 素养演练·提升技能 1.B[由两点式，得。一化筒整 轴上的裁距为a十1，则1的方程为。千十 1,A['kaB=a+1二 理得5x-3y-25=0.故远B.] a-1- =-1,且A,B关于2解由于直线1经过A1,0,B(m,因 名=1，将点A(6-2》代入得5吕 直线1对称，∴.k=1,又线段AB的中，点为 此直线1的斜率不可能为零，但有可能不！ =1,即a2-3a十2-=0，∴.a=2或a=1, 1a-1+a,a++）,即（a- 存在。 2 2 2,a+ (1)当直线斜率不存在，即n=1时，直线1 “直线1的方程为营十兰=1或受十y 方程为x一1： 合）直线1的方程为y一(+）=1 1.] (2)当直线斜率存在，即m≠1时，利用两！题点三 ×[()月即xy+1=故 点式，可程直线方程为号二即臭创解知国， 过B(3,一3)，C(0, -(m-1)y-1=0. 选A. 2)的直线的两点式 综上可得，当n-1时，直线方程为x=1；1 2.B[:直线的倾斜角为45， 当m≠1时，直线方程为x一(m-1)y-1 方程为 A ∴.直线的斜率为1， =0. 又过点(0，一1)， x-0 B 题点二 ,直线1的方程为y十1=x, 3-0 :「典例]解法一①当直线1在两坐标轴 整理可得y=x一1，故远B.] 整理得5.x十3y一6=0. 4 3.D[:线段AB的中点为M(2,1),kAB=! 上的藏距均为0时，方程为y一分，即4r 这就是BC边所在直线的方程。 立，线段AB的垂直平分线方程为 BC边上的中线是顶，点A与BC边中，点M -3y=0. ②当直线1在两坐标轴上的截距均不为0： 所连线段，由中点坐标公式可得，点M的坐 y-1=2(x-2),即2x-y-3=0,1AC11 时，依题意可设直线【的方程为： =BC,∴.△ABC的外心、重心、垂心都 位于线段AB的垂直平分线上，，.△ABC: 工+义=1，即x-y=a(a≠0). 标为（空，）号） 的欧拉线方程为2.x一y一3=0，故远D.] 又直线1过点A(3,4),∴.3-4=a,.a= 注A(-5,0,M(受，-）的直线的方 4.y=一2x十6[由直线的方程可知它的 一1. 斜率为2，它在y轴上的截距为6，所以直！ .直线l的方程为x一y十1=0. 程为y一0=x十5 线1的斜率为一2，在y轴上的截距为6.由！ 综上所述，直线【的方程是4x一3y=0或 -0+5 直线斜截式方程可得直线1的方程为y一 -+=0. 即x+13y+5=0. 一2x十6.」 法二设直线的斜率为k(k≠0)，则有y一 5.解(1)斜率k=tan45°-1，可得斜截式1 这就是BC边上中线所在直线的方程， 4=k(x-3). 方程为y一x十2， ·对点训练 令x=0,得y=一3k十4， (2)由题意知直线过点(3,1)，(0，一1)， 4 二斜率=。号-号，可得斜藏式方程 令y=0,得x=3-: L解()设C(),则M(, 2 :直线（在两坐标轴上的截距互为相 为y=分x-1, 反数， 197数学选择性必修第一册 2.2. 直线的点斜式方程 【课标要求】1.根据确定直线位置的几何要素，探素并掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.2.会利 用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关问题， 【素养要求】通过推导直线的点斜式及斜截式方程的过程，提升逻辑推理及数学抽象素养. 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)点斜式方程 :3.方程y-yo=k(x-xo) 1.点斜式 A.可以表示任何直线 方程y一yo=k(x-xo)由直线上一个定点 B.不能表示过原点的直线 及该直线的 确定，我们把它叫做直 C.不能表示与y轴垂直的直线 线的点斜式方程，简称点斜式 D.不能表示与x轴垂直的直线 2.特殊的直线方程 (二)斜截式方程 直线l过定点P(xoyo), (1)当直线1的倾斜角为0°时，直线1与x轴平 :1.截距 行或重合，方程为 ,即y= 我们把直线1与y轴的交点(0，b)的 (2)当直线1的倾斜角为90°时，直线1没有斜： 叫做直线l在y轴上的截距. 率，这时直线1与y轴平行或重合，方程为 2.斜截式方程 ,即x= 我们把方程y=x十b叫做直线的斜截式方程， 简称斜截式. 即时小练 其中，k和b均有明显的几何意义： 1.判断正误 k是直线的 .b是直线在y轴上的 (1)对于直线的点斜式方程y一yo=k(x一xo) 也可写成=y一0 x一x0 即时小练 (2)直线y一3=k(x+1)恒过定点（一1,3）.( (3)直线y-2=3(x+1)的斜率是3. ( )1.已知直线的倾斜角为45°，在y轴上的截距为 2.已知直线1经过点P(2,-3),且倾斜角a=60°， 2,则此直线方程为 则直线的点斜式方程是 ( A.y=-x+2 B.y=x-2 A.y+3=√3(x-2)B.y-3=√5(.x+2) C.y=x+2 D.y=-x-2 C.y+2=√3(x-3) D.y-2=-√5(x+3) 2.直线y=3x一2在y轴上的截距是 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 (2)经过点B(-1,4),倾斜角为135°； 题点一直线的点斜式方程 (3)过点C(-1,2),且与y轴平行： [典例]写出下列直线的点斜式方程： (4)过点D(2,1)和E(3,-4). (1)过点A(一4,3)，斜率k=3; 40 第二章 直线和圆的方程 [听课记录] 题点二直线的斜截式方程 [典例门写出下列直线的斜截式方程： (1)斜率为2，在y轴上的截距是5； (2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是-2； (3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的 距离为3. [听课记录] /方法技巧/ 求直线的点斜式方程的思路 /方法技巧/ 确定点P(y) 直线的斜截式方程的求解策略： (1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的 是 斜率是否 存在？ 斜率和在y轴上的截距，代入方程即可. 否 (2)当斜率和截距未知时，可结合已知条件，先 求出斜率飞 方程为x=x 求出斜率和载距，再写出直线的斜截式方程 由点斜式写方程 对点训练 对点训练 1.直线l的方程y=kx十b的图象 如图所示，则，b满足( 1.经过点(-1,1)，斜率是直线y= 之x-2的斜 A.k>0,b>0 率的2倍的直线方程是 B.k<0,b<0 A.x=-1 C.k<0,b>0 B.y=1 D.k>0,b<0 C.y-1=2√2(x+1) :2.(多选)关于直线1：y=√3x一1，下列说法正确 D.y-1=√2(x+1) 的是 ( 2.已知直线1过点P(2,1),且直线1的倾斜角为 A.过点（√3，-2） 直线)=子十子的倾斜角的2倍，则直线1方 1 B.斜率为√3 C.倾斜角为60 程的点斜式为 D.在y轴上的截距为1 41 数学选择性必修第一册 3.经过点(1,1)，且与直线y=2x十7平行的直线的： /方法技巧/ 斜截式方程为 :与直线y=x-1垂 利用直线的方程可以表示直线与坐标轴围成 直的直线的点斜式方程为 的三角形的面积或周长，需要注意的是边长与 截距的区别，截距是直线与坐标轴交点的坐 题点三直线的点斜式、斜截式方程的应用 标，可正、可负、可为0，三角形的边长可以看 [典例]已知直线1：k.x-y+2+4k=0(k∈R). 作截距不为0时的绝对值 (1)若直线1不经过第四象限，求k的取值范围； (2)若直线1交x轴的负半轴于点A,交y轴的 对点训练 正半轴于点B,O为坐标原点，设△AOB的面： 积为S,求S的最小值及此时直线1的方程. 已知直线l1:y=-3mx 92+10二32和l2:62y= 8 [听课记录] 一x十4，问m为何值时，l1与l2平行或垂直？ 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.如果平面直角坐标系内的两点A(a一1，a十1)，：3.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外 B(a,a)关于直线1对称，那么直线1的方程为 心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到 ( 外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直 A.x-y+1=0 B.x+y+1=0 线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC的 C.x-y-1=0 D.x+y-1=0 2.直线1的倾斜角为45°，且过点(0，一1)，则直线 顶点A(4,0),B(0,2),且|AC|=|BC|,则 1的方程是 ( △ABC的欧拉线方程为 () A.y=x+1 B.y=x-1 A.x-2y+3=0 B.2x+y-3=0 C.y=-x+1 D.y=-x-1 C.x-2y-3=0 D.2x-y-3=0 42 第二章直线和圆的方程 4.已知直线I与直线I1:y=2x+6在y轴上有相： 课堂小结 同的截距，且1的斜率与11的斜率互为相反数， 则直线1的方程为 重要思想与方法 5.写出下列直线的斜截式方程： (1)应用点斜式方程表示直线的前提条件是该直线的斜率 (1)直线的倾斜角为45°且在y轴上的截距： 存在，且过已知点，那么该直线的方程可为：y一yo=k(x 是2； Io). (2)直线过点A(3,1)且在y轴上的截距是一1. (2)把直线的点斜式方程化为y=kx十y0一k.x0.令y0一k.x0 b,则y=kx十b,即为直线的斜截式方程. 直线的 y-yo=k(x-xo) 点斜式方程 不能表示斜率不存在的直线 直线 的 直线的 y=kx+b 式 方 斜截式方程不能表示斜率不存在的直线 平行与垂直问题 温馨提示 请做课时分层检测（十一） 2.2.2 直线的两点式方程 【课标要求】1.根据确定直线位置的几何要素，探素并掌握直线的两点式方程.2.了解直线的截距式 方程的形式特征及适用范围. 【素养要求】通过学习直线的两点式及截距式方程，提升数学抽象及逻辑推理素养 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)两点式方程 (2)方程一1=一4和方程(y一y)· 名称 两点式方程 y2一y1x2-x1 (x2一x1)=(x-x1)(y2-y1)适用的范围 经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠ 已知条件 相同 ( x2y1≠y2) (3)过点(1,3)和(1,5)的直线也可以用两点式 方程来表示。 ( 示意图 (4)所有的直线都可以用两点式方程来表示. () 方程形式 2.经过两点(-1,2)，(-3，-2)的直线的方程是 适用条件 斜率存在且不为零 () A.x-2y+5=0 B.x-2y-5=0 即时小练 C.2.x-y-4=0 D.2x-y+4=0 1.判断正误 3,已知直线1的两点式方程为y。0 -3-0 (1)能用两点式方程表示的直线也可用点斜式 方程表示 专（二》则1的斜率为 43