2 章末综合提升-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

3.B[设圆C的半径为r1,圆C2的半径为： 11-2×(-5)+4=35, √4十32一3=2.所以选项B正确，A不 r,依题意得C(-1,1),r1=2:C(3,4), √/1+(-2)2 正确：两个圆的圆心所在的直线斜率为 r2=5, .公共弦长1=2√/r-d=2√50-45i 3-03 ,所以选项C正确，D不正确.故 .CCg=42+32=5..r2-r1=3 4-04 =25. <CCgr十r2=7,.两圆C1,C2相 交，从而两圆有2条公切线，故选B.] 法设两圆相交于点A,B,则A,B两，点3D菠动圆圆心为（红，，若动圆与已知 选B、C. 的坐标满足方程组 4.D[由C(0,0),1=2,C2(3,4),r2= 5z2+y2-2x+10y-24=0, 圆外切，则√(x-5)+(y+7)产=4十1， √25一，由于两圆外切，.CC2=r1十 x2+y+2x+2y-8=0, .(x一5)2十(y十7)2=25；若动圆与已知 r2.即√(0-3)+(0-4)产=2+√5-m, 解得。4，或{-9： 圆内切，则√/(x一5)2+(y十7)2=4一1， .m-16.故选D. {y=0, y-2, ∴.(x一5)2+(y十7)2=9.故选D.] 关键能力·合作探究 即A(-4,0),B(0,2), 4√23[由题意将两圆的方程相减，可得 题点一 所以AB=W/(-4-0)2十(0-2)2= 角度1 圆C和圆C公共弦所在的直线l的方程 25, [典例]解析 （1)圆心距d= 为x十y-1=0.又圆C3的圆心坐标为(1， 即公共弦长为2√5. W/(-2-2)2+(0-1)2=√/17.由于3-2 (3)解所求圆经过两圆的交，点，则可设1 1),共到直线1的距离为d=1十1一1 d2+3.故远B 所求圆的方程为x2十y2一2x十10y一24十 √/12+12 (2)由圆C:x2十y2-2x十4y十4=0，即 λ(x2+y2+2x十2y-8)=0, (x-1)+(y+2)2=1,圆C2:4x2+4y2- 整理得(1+λ)x2+(1十A)y2+(2λ-2)x ，设圆C的半径为，由条件知，广- 2 16x十8y十19=0，即(x-2)2十(y+1)= +(10+2λ)y-24-8=0, 此圆经过点(1,0)，代入上述方程，并解得 、25一工三空，所以弦长为2×√23 4 2 2 4,得C(1,-2),C2(2,-1)m1=1,r2= λ=-5. =√23.] 1 CC=√2=1)+(-1+2)对点训练 所以该圆方程为x2十v十3.x-一4=0. !5.解将两圆的方程写成标准方程为 C1:(x-a)2十(y十2)2-9， =√2 1.C[由圆x2+y一2.x十F=0和圆x2+ C2:(x+1)2+(y-a)2=4. 则r1一r2<C1C2<r1十r2, y2+2x十Ey-4=0作差，得-4x-Ey+ F十4=0.所以E=-4,F=一8.故选C.]· 所以两圆的圆心和半径分别为 ∴.圆C与圆C,相交 故这两个圆的公切线共2条 12.解由圆x2+y=4与圆x2+y+2ay C1(a,-2),r1=3,C2(-1,a),r2=2 答案(1)B(2)D 6=0(a>0),可得公共弦的方程为y= 设两圆的圆心距为d, 角度2 则d=(a+1)2+(-2-a)”=2a2+6a ,又x2十y2=4的圆心坐标为(0,0)，半1 典例们 解圆C1,C2的方程，经配方后· +5. 可得 径为r=2,由圆的弦长公式可得1= (1)当d=5,即2a2+6a十5=25时，两圆 C1:(x-a)2+(y-1)2-16, 外切，此时a=一5或a=2. C2:(x-2a)2+(y-1)2=1, =2√3，解得 (2)当a=1时，d=√2a2+6a+5=/13, .圆心C(a,1),C(2a,1),半径r1=4,r2 a=1 r1=3,2=2, =1. 题点三 因为n一r1<d<n2十r1,所以两圆 ∴.C1C2=√(a-2a)+(1-1)=a. 1[典例]解设所求圆的方程为（x一a)十 相交。 (1)当C1C=r1十r2=5,即a=5时，两 (y一b)2=r2(r>0),由题知所求圆与圆x2 圆外切： 十y2一2x=0即(x一1)2+y2-1外切.则！ 章末综合提升 当CC=r-rn=3,即a=3时，两圆 √(a一l)+=r十1①.又所求圆过点：要点聚焦·类型突破 内切 M的切线为直线x+5y=0,故5- 题型一 (2)当3<CC,5,即3a<5时，两圆： a-3 1.ABD [对于A,若ab>0,则直线l的斜率 相交」 gg.a+%=r@. a (3)当C1C,>5,即a>5时，两圆外离. 0,A正确：对于B,若b一0，a≠0， b (4)当CC3,即0<a3时，两圆 解由①②③组成的方程组得a=4,b=0,1 内含 则直线1的方程为工=二，其倾斜角为 对点训练 r=2或a=0,b=-4√3，r=6.故所求圆} 的方程为(x一4)2十y2=4或x2十(y十 90°，B正确；对于C,将(0,0)代入ax十by 解把圆C1,圆C,的方程化为标准方程， 4√5)2=36. 一2=0中，显然不成立，C错误：对于D, 得圆C:(x-m)2十(y十2)2=9，圆C2:(x 对点训练 若a=0,b≠0，则直线1的方程为y= 2 十1)2十（y一m)2=4.两圆圆心的坐标分 别为(m,一2)，（一1，n),半径分别为3,2. :1.AC[圆C:(x-1)+=1的圆心为 其倾斜角为0°，D正确.故选A、B、D.] (1)若圆C与圆C。外切，则· (1,0),半径为1.圆C2:x2+y-8x十8y2.D[当x=0时，y=a十3，当y=0时，x= /(n+1)2+(-2-m)2=3+2,即n2+ 十m=0化为(x-4)+(y+4)2=32-n, 3m-10-0,解得m--5或n-2. 圆心为(4，一4)，半径为√32-m(m< 9月令1=a+3+=5+(a-1) a十3 0一 (2)若圆C1与圆C2内含，则 32).两圆圆心距d=CC=5.依题意， 4 √(m十1)2+(-2-m)2<3-2,即m2+ 两圆相内切时，5=√32一m一1，解得n a-1 3n十2<0，解得-2<m<-1. =一4.两圆相外切时，5=√32-m十1. a>1,所以a-1>0..t≥5十 题点二 解得n-16.故远A、C.] [典例](1)证明将两圆方程配方化为标2.121或1[：x十y2=a表示一个圆，∴a 2√a-1)·。=9.当且仅当a-1 准方程，得 >0.x2+v2+6.x-8y-11=0化为(x+ 4 C1:(x-1)2+(y+5)2=50, 3)2+(y-4)=36.两圆的圆心、半径长分 a-,即a=3时，等号成立.故选D.] C2:(x+1)2+(y+1)2-10, 别为(0,0)wa与(-3,4)，6.由于两圆内3.解(1)A(0,1),B(3,2), 则圆C的圆心为(1，-5)，半径=5V反. 切，则√/(0十3)2+(0-4)2=√a-6,解1 圆C。的圆心为(-1，一1)，半径r2 得a=121或a=1.] 由垂直关系可得AB边上的高所在的直线 =10. 素养演练·提升技能 的斜率为k=一3， 又.C1C=2√5，r+r2=5√2+W10, 1.C L由已知，得C1(-2,-4),r1-5,1 ∴AB边上的高所在直线方程为 n-n2=52-√10， C。(-2,-2),r2=3,则圆心距d=C1C2日 v-0=-3(x-1), =2,所以d=r1一r2,所以两圆内切.] ∴.r1-r2<C1Cer1+r2, 化为一殷式可得3x十y一3=0. ,两圆相交， 12.BC[圆C:x2十y2=1的圆心为(0,0)， (2).M(1,1)为AC的中点，A(0,1), (2)解将两圆方程相减 半径为1：圆C%的标准方程为(x一4)2+ 2-1 得公共弦所在直线方程为x一2y十4=0. (y一3)2=4，圆心为(4,3)，半径为2.当 C2,1心kx=321, 法一圆C1的圆心为(1，一5)，其到公共 C1,P,Q和C,按照该顺序四点共线时， ,∴.边BC所在直线方程为y一1=x一2， 弦所在直线x一2y十4=0的距离d=1 PQ取得最小值，为CCg|一2一1- 化为一殷式可得x一y一1=0. 205 题型二 r2,所以圆C与圆C2相切. 4 0 4.C[由{x2y+3=0, .=1 a=4, {2.x+3y-8=0, 得∫x1, 1y=2, 由士+4红二4y-5二0得12z-8v 所以 {x2+y2-8x+4y+7=0, 0 即直线1过点(1,2).设点Q1,2),:PQ =1,{-1, -12=0, =√/(1一0)2+(2-4)2=5>2，∴.满足 即3x一2y一3=0，就是过切，点的两圆公 故所求椭圆的标准方程为二十x2=1. 条件的直线1有2条.故远C] 切线的方程， 5.B[直线x+2y+1=0与x+2y+3=0: (2)由圆系方程，可设所求圆的方程为x2: (3)由题意可设所求椭圆的标准方程为 间的距离d= 13-1L=25 +y2+4x-4y-5+λ(3.x-2y-3)=0. √V12+22 5 点(2,3)在此圆上，将点坐标代入方程解 25+a十g+-1a>-9). 直线3.x-4y十c1=0与3x-4y十c2=0间： .所以所求圆的方程为x十y 又椭圆过点(3，√1⑤)，将x=3,y=√15代 的距离d2= le-c2 c一c由 得λ=3 入方程得 9 15 √/32十(-4) +4r-4-5+亭(3x-2y-3)=0,即 25++g+入=1， 菱形的性质，知d1=d2, x2+y+8x- 2 3v-9=0. 解得λ=11或λ=-21（舍去）. 所以9二6=25，所以G1-6= 5 51 25,故选B.] 第三章 圆锥曲线的方程 故所求桶国的标准方程为需+六-1 对点训练 6B[设PP2的中点为P(x,y),则x= 3.1.1 椭圆及其标准方程 解(1)由于椭圆的焦点在y轴上， 型，y=兰.西一y-5=0,西必备知识·自主梳理 2 2 “设椭圆的标准方程为 --15=0.∴(x1十x2)-(y十2)= (一) 20,即x-y=10..y=x-10,.P(x,x- 1.和等于常数（大于FF2)焦点 焦 由椭圆的定义知， 10),∴.P到原点的距离d= 距半焦距 √x+(x-10)=√2(x-5)+50≥即时小练 )+(+2)+ 1.(1)/ √/50=5√2.故远B.] (2)× 提示因为PF,+PF, 7.(1)-3(2)-2 [(1)直线4：ax- FF2,所以点P的轨迹是线段F,F2, 号)+（号-2）=2， 3y+1=0, (3)×提示因为PF,+PF, 即a=10,又c=2,∴.b=a2-c2=6, l2:2x+(a+1)y+1-0,且l1⊥l2, FF2,所以点P的轨迹不存在， ∴.2a-3(a+1)=0, (4)/ ∴所求椭圆的标准方程为品+看-1 a=-3. 2.C (2)设椭圆的方程为Ax2十By=1(A>0, (2)kc=3L (二) -2-1 x B>0,A≠B),故{A士BL；S =1(a>b>0) +若 =1(a> 3A+2B=1, 1-y. ∠C=90°，∴.AC⊥BC, b>0)F1(-c,0),F2(c,0) F(0, A- 9 -号1-)=-1，y=- -c),F2(0,c）a2-b 2 中所求精圈的标准方程是号 即时小练 B=3 题型三 1.A[由椭圆的焦，点为（一1,0）和(1,0)可 8.AD[:直线OP的斜率为名，直线1 知，椭圆的焦点在x轴上，且c=1.又点P 3 =1. a (2,0)在椭圆上，∴.a=2.由b=a2-c2,得！ (3)由题意，椭圆9.x2十5y2=45化为标准 的斜率为一号直线1的方程为ar十w b=22-12=3,椭圆的标准方程为 方程苦+号 =1,知焦点F(0,2),F,(0, =a2+.又点P(a,b)在圆外，.a2+b! -2), >2,故n∥L.圆心(0,0)到直线ax十by= =1.故选A.] 3 2的距离d= 设所求椭国方程为十4十无=1A>0), √a+b <行r,故m2-1或- [原方程可化为 1 8 与圆相交.故选A、D.] 因 将=2y=6代入，得十是=1，解得 9.B「圆C的圆心坐标为（一1,1），半径为· =1.依题意， A=8或λ=一2（舍去）. 1,设圆C的圆心坐标为(a,b), 不所求椭國的标准方程为？+1 a-1 2 b+1-1=0, 2 >0, k<0, 题点二 由题意得 b-1 =-1 a+1 > k”” 即< 8 [典例]解析(1)由椭圆方程 号+=1 解得∫a2, 8 k=一1或k= 可得a=5, 1b=-2, k 2 7, 故由椭圆定义有AF,|+|AF,=2a= 所以圆C,的圆心坐标为（2，一2)，又两圆· 1 10,BF+BF,=2a=10, 的半径相等，故圆C,的方程为(x一2)2十· 所以k的值为-1或-7，] 又AF,+BF,=AB, (y十2)2=1.故远B.] 关键能力·合作探究 所以AB=(AF,I+AF,+BF+ 10.解x2+y2+2x-4y十1=0化为标准方 题点一 BF2)-(FA+F1B)=20-14=6. 程为(.x十1)2十(y一2)2=4，圆心坐标为[典例] 解 (1)因为椭圆的焦点在x· (-1,2),带入直线方程，得a十b=1,所 轴上， (2)由描圆方程苦+号=1可得a=后， 5 以+÷-（日+合）(+ 6 所以设它的标准方程为 =1(a>b1 b=2,c=√/a2-b2=1. 在△PFF2中，由余弦定理，得 +5≥2√×号+5=9，当里仅 >0). FF:=PF+PF:3-2PF 因为2a=12,所以a=6. PF2·cos∠F1PF 当a=号b=子时取等号 又因为c=4,所以=a2一c2=62一421 =(PF+PF )2-2 PF PF- =20. 2PF·PF2·cos30°， 11.解(1)证明：把圆C与圆C都化为标 1. .4=(25)2-(2+√)PF1·PF2, 准方程形式，得(x十2)2十(y一2)2=13， 故所求椭圆的标准方程为6十20 (x-4)2+(y+2)2=13.圆心与半径长1 (2)因为椭圆的焦，点在y轴上， .PF|·PF=16(2-3). 分别为C1(-2,2),r1=√13：C2(4,1 所以设它的标准方程为兰 =1(a>bi 六SAE,m,=zPF1·PF:·sin30 2),n=W3.因为CC2=: >0). =8-4√3 /(-2-4)2+(2+2)2=2√13-r1十1 因为椭圆经过点(0,2)和(1,0)， 答案(1)6(2)8一4√3 206第二章 直线和圆的方程 5.已知两圆C1:x2+y2-2a.x+4y十a2-5=0和 课堂小结 C2:x2+y2+2x-2ay十a2-3=0. (1)当a为何值时，两圆外切？ 重要思想与方法 (2)当a=1时，试判断两圆的位置关系 (1)判断两圆位置关系的方法 ①（代数法）由两圆的方程组成的方程组的实数解的组数确 定，这种方法计算量比较大，一般不用。 ②（几何法）依据圆心距与两圆半径长的和或两半径的差大 小关系 (2)处理圆与圆的位置关系相关问题时应用圆系方程更加 快捷. 外切 相切 圆与圆的 内切 位置关系 相交 外离 相离 内含 温馨提示 请做课时分层检测（二十） 章末综合提升 知识网络构建 直线的倾斜角 范围0°≤a<180 直线的倾斜角、斜率 定义≠g0°时，k=tana 直线的斜率 公式=密任司 相交 两直线垂直的条件 两条直线的位置关系 平行 两直线平行的条件 直线与方程 重合 点斜式 斜截式 直线的方程 两点式 截距式 适用条件及 相互转化 一般式 两条直线的交点坐标 直线和圆的方程 交点坐标与距离公式 两点间的距离公式 点到直线的距离公式 两条平行直线间的距离公式 直线与圆相离 圆的标淮方程 直线与圆 直线与圆相交 位置关系 直线与圆相切 的方程 坐标法 圆的一般方程 圆与圆的位置关系 圆与圆外离或内含 圆与圆相交 圆与圆相切 75 数学 选择性必修第一册 ◆要点聚焦·类型突破◆ 题型一 直线方程的综合问题 (2)求解与直线方程有关的最值问题.先设出 直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式 1.(多选)已知直线l的方程为a.x十by-2=0,则 求解最值。 下列判断正确的是 ( (3)求参数的值或范围，注意点在直线上，即点 A.若ab>0,则直线l的斜率小于0 的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性 B.若b=0,a≠0，则直线1的倾斜角为90° 或基本不等式求解. C.直线l可能经过坐标原点 题型二两直线位置关系 D.若a=0,b≠0，则直线l的倾斜角为0 2.已知直线(a-1)x十y-a-3=0(a>1),当此4.已知直线1过直线l1:x-2y十3=0与直线12： 2x十3y一8=0的交点，且点P(0,4)到直线1的 直线在x轴、y轴上的截距之和最小时，实数a 距离为2，则这样的直线1的条数为( 的值是 )1 A.0 B.1 C.2 D.3 A.1 B.√2 C.2 D.3 5.在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在 3.在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点！ 的直线方程分别为x+2y十1=0和x+2y+3 A(0,1),B(3,2) =0,另一组对边所在的直线方程分别为3x (1)若C点坐标为(1,0)，求AB边上的高所在 4y+c1=0和3.x-4y+c2=0,则|c1-c2|= 的直线方程； ( (2)若点M(1,1)为边AC的中点，求边BC所： A.2√3 B.2√5 C.2 D.4 在的直线方程. 6.若动点P1(x1y1),P2(x2,y2)分别在直线l1: x-y-5=0,l2x-y-15=0上移动，则P1P2 的中点P到原点的距离的最小值是() A. B.52 C. D.152 7.(1)已知直线l1:a.x-3y+1=0,l2:2x+(a+1) y十1=0.若l1⊥l2,则实数a的值等于 (2)已知直角三角形ABC的直角顶点C(1,1), 点A(-2,3),B(0,y),则y= …/题型技法/… 距离问题的常见题型及解题策略 (1)求两点间的距离关键是确定两点的坐标， 然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形 状等， /题型技法/ (2)解决与点到直线的距离有关的问题应熟记 解与直线方程有关问题的注意点 点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离 (1)选择直线方程时，应注意分类讨论思想的 求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须 应用，选用点斜式或斜截式时，先分类讨论直 讨论斜率是否存在， 线的斜率是否存在；选用截距式时，先分类讨 (3)求两条平行线间的距离要先将直线方程中 论在两坐标轴上的截距是否存在或是否为0. x,y的对应项系数转化成相等的形式，再利用 如果没有特别要求，求出的直线方程应化为 距离公式求解，也可以转化成点到直线的距离 般式Ax+By+C=0,且A≥0： 问题求解： 76 第二章直线和圆的方程 :11.已知圆C1:x2+y2十4x-4y-5=0与圆C2:x2+ 题型三直线与圆、圆与圆的位置关系的判断 y2-8x十4y+7=0. 8.（多选)已知ab≠0，O为坐标原点，点P(a,b)是 (1)证明圆C1与圆C2相切，并求过切点的两 圆x2十y2=r2外一点，过点P作直线1⊥OP, 圆公切线的方程； 直线m的方程是ax十by=r2,则下列结论正确 (2)求过点(2,3)且与两圆相切于(1)中切点 的是 的圆的方程. A.m∥1 B.m⊥l C.m与圆相离 D.m与圆相交 9.已知圆C1:(x十1)2十(y-1)2=1,圆C2与圆： C1关于直线x一y一1=0对称，则圆C2的方 程为 ( A.(x+2)2+(y-2)2=1 B.(x-2)2+(y+2)2=1 C.(.x+2)2+(y+2)2=1 D.(.x-2)2+(y-2)2=1 10.若直线2a.x-by十2=0(a>0,b>0）经过圆 x2+y2+2x-4十1=0的圆心，求+号的 a 最小值： /题型技法/ 1.判断直线与圆的位置关系的一般方法 (1)几何法：圆心到直线的距离与圆半径比 较大小，即可判断直线与圆的位置关系.这 种方法的特点是计算量较小； (2)将直线方程与圆方程联立方程组，再将 二次方程组转化为一元二次方程，该方程解 的情况即对应直线与圆的位置关系.这种方 法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线 的位置关系. 2.圆与圆位置关系问题的解题策略 (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即 利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间 的关系，一般不采用代数法。 (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的 方程可由两圆的方程作差消去x2,y2项 得到 温馨提示 古人学问无遗力，少壮工夫老始成。纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。 清做章未检测卷（二） 77