1.3.2 空间向量运算的坐标表示-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

数学 选择性必修第一册 课堂小结 右手系 空间直角 坐标系 点的坐标表示 重要思想与方法 向量的坐标表示 (1)和平面直角坐标系一样，建立空间直角坐标系也要借助 于具体的几何图形的特征，体现了数形结合的思想方法 点的对称性 (2)求空间直角坐标系中点的坐标和向量的坐标，要观察该 点在坐标轴的正方向或负方向上离开原点的距离： 温馨提示 请做课时分层检测（四） 1.3.2 空间向量运算的坐标表示 【课标要求】1.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.2.掌握空间向量的数量积及其坐标表示. 3.能利用空间两点间的距离公式解决有关问题 【素养要求】通过学习空间向量坐标运算的公式及方法，提升学生数学运算素养和数学抽象素养. 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 1.与空间向量运算有关的坐标表示 :2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3). 设A(x1,y1,21),B(x2,y2,22),O(0,0,0),AB 名称 坐标表示 =OB-OA= .即一个空间 向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点 加法 a+b= 坐标减去起点坐标 3.空间两点间的距离公式 减法 6 己知A(x1y1之1)，B(x2y2,2),则A,B两点间 的距离dAB=AB|= 数乘 λa=(λa1,Aa2,λa3)(入∈R) 数量积 a·b 即时小练 当b≠0时，a∥b台a=Ab台a1=入b1,a2=Ab2, 1.已知向量a=(3,-2,1),b=(-2,4,0),则4a 共线 a3=λb3(入∈R) 十2b等于 A.(16,0,4) B.(8,-16,4) C.(8,16,4) D.(8,0,4) 垂直 a⊥b台a·b=0台 2.下列向量中，与向量a=(0,0,1)平行的向量为 向量长 会 a=√a·a=√a+a+a A.b=(1,0,0) B.c=(0,1,0) C.d=(-1,-1,-1)D.e=(0,0,-1) cosa,b)=a·b 3.已知A(1,2,一1)关于Oxy平面的对称点为B, 向量夹 lab 而B关于x轴的对称点为C,则BC=() 角公式 ab+azb2+a3b3 √a+a+a√b+b+b A.(0,4,2) B.(0,4,0) C.(0,-4,-2) D.(2,0,-2) 16 第一章空间向量与立体几何 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 题点一空间向量的坐标运算 题点二用向量运算解决平行与垂直 [典例]已知O是坐标原点，且A,B,C三点的坐：[典例]已知空间三点A(一2,0,2)，B(一1,1,2)， 标分别是(2，-1,2)，(4,5，一1)，(-2,2,3)，求 C(-3,0,4),设AB=a,AC=b. 满足下列条件的点P的坐标： 1)O币=2(A店-AC): (1)设向量c=(-多.-1.1)试判断2a-b与c 是否平行？ 2)ai=(A店-AC. (2)若ka十b与ka-2b互相垂直，求k. [听课记录] [听课记录] /方法技巧/ 关于空间向量坐标运算的两类问题 (1)直接计算问题 首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运 用空间向量坐标运算公式计算， (2)由条件求向量或点的坐标 /方法技巧/ 首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方 判断空间向量垂直或平行的步骤 程组，解方程组求出其坐标， (1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向 量的垂直与平行， 对点训练 (2)向量关系代数化：写出向量的坐标， 1.若向量a=(4,2,-4),b=(2,1,-1),则2a- (3)对于a=(x1,y1,1),b=(x2y2,2),根 3b= ( 据x1x2十y1y2十之12是否为0判断两向量是 A.(6,3,-7) B.(-2,-1,-1) 否垂直；根据x1=入x2,y1=入y2,之1=入22（入∈ C.(2,1,-5) D.(14,7,-11) R)或=出=(x22,22都不为0)判断两 2.若a=(2,3,-1),b=(2,0,3),c=(0,2,2),则 x2y222 a·(b十c)的值为 ( 向量是否平行 A.(4,6,-5) B.5 [提醒]由空间向量垂直或平行求值只需根 C.7 D.36 据垂直或平行的条件建立方程（组）求解即可， 17 数学选择性必修第一册 对点训练 (1)求BP的长； (2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值. 1.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka十b [听课记录] 与2a-b互相垂直，则k= ( ) A号 1 B.1 c D.5 2.如图，正方形ABCD和四边 形ACEF所在的平面互相垂 直，CE⊥AC,EF∥AC,AB =√2，CE=EF=1. (1)求证：AF∥平面BDE; (2)求证：CF⊥平面BDE. …/方法技巧/ 通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标 系，使尽可能多的点在坐标轴上，以方便写出 点的坐标.建立坐标系后，写出相关点的坐标， 然后再写出相应向量的坐标表示，然后再利用 向量的坐标运算求解夹角和距离问题， 对点训练 题点三求空间向量的长度与夹角 1.己知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=1,AB1 [典例]在四棱锥P-ABCD ⊥BC1,则AA1= 中，PD⊥平面ABCD,PA与 平面ABCD所成的角为60°， A.√2 A号 C.3 在四边形ABCD中，∠ADC C 2.已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6), =∠DAB=90°，AB=4,CD B |c=√14，若(a+b)·c=7,则a与c的夹角为 =1,AD=2. 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.给定三个向量y1=(1,0,1),v2=(1,1,0),3=2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AA1 (1,1,2十k一1)，其中k是一个实数.若存在非： 的中点，F是棱A1B1上的点，且A1F:FB1= 零向量同时垂直于这三个向量，则k的值为 1：3,则异面直线EF与BC1所成角的正弦 ( 值为 ( A.1±⑤ B.-1±5 2 2 四 .C. D.5 C.5±1 :3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的 2 n废6 2 中点，则直线PB与AD1所成的角为() 18 第一章空间向量与立体几何 A. B.3 c.4 D. 6 课堂小结 4.如图该几何体由半圆柱体与 直三棱柱构成，半圆柱体底面 重要思想与方法 直径BC=4,AB=AC, (1)向量a的坐标实质是向量a的正交分解的系数 ∠BAC=90°，D为半圆弧的 (2)两向量相等等价于它们对应的坐标相等，即：设a=(x1, 中点，若异面直线BD和AB1 y1,之1)，b=(x2y2,z2),则a=b分x1=x2y1=y2,21=2 所成角的余弦值为号，则该几何体的体积为 (3)空间中的垂直与平行关系转化为向量的垂直与平行 关系。 A.16+8π B.32+16π C.32+8π D.16+16π 空间 平行、垂直问题 5.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P 向量 运算 求向量之间的夹角 是底面ABCD(含边界)上一动点，满足A1P⊥ 的坐 标表 求向量的长度 AC1,则线段A1P长度的取值范围是 示 线性运算 A. B. 温馨提示 请做课时分层检测（五） C.[1,W] D.[√2，w3] 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 【课标要求】1.理解直线的方向向量和平面的法向量的概念与求法.2.理解用向量法判定空间直线 与平面的位置关系 【素养要求】1.空间中直线、平面的平行和垂直.2.理解直线、平面的向量表示. 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)空间中点、直线、平面的向量表示 ①式和②式都称为空间直线的向量表示式 1.点的位置向量 P 3.平面的向量表示式 如图，在空间中，我们取一定 取定空间任意一点O,可以得到，空间一点P位 点O作为 ,那么空间中任意一点P就可 于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使 以用向量OP来表示，向量OP称为点P的 OP= 把上式称为空间平面ABC的向量表示式. 2.空间直线的向量表示式 4.平面的法向量 如图，取定空间中的任意一点O, 如图，直线1⊥a,取直线l的 可以得到点P在直线l上的充要 方向向量a,称向量a为平 条件是存在实数1，使 面a的 OP= 给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以 取AB=a,代入①式，得 向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为 OP- ② 集合 19题点二 以a十b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2, [典例]解(1)由于点P关于x轴对称 一2)，又因为a十b与2a一b互相垂直，所 后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的 以(a+b)·(2a一b)=0,即3k-3+2k- 分量变为原来的相反数，所以对称点坐标 √6 ,∴AB的中点M的坐标为 为P(一2，-1，一4). 4 4=0,解得k=子.] (2)由点P关于Oxy平面对称后，它在x1 √3.√6 2.证明(1)设AC与BD交于，点G,连 轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原 12a,6a 接EG. 来的相反数，所以对称点坐标为P,(-2,5.解记x,y,:轴正方向上的单位向量分 1,-4). 因为EF∥AC,且EF=1,AG=号AC- (3)设对称点为P(x,y,),则点M为线 别为i,j,k,则DA=3i,DC=5j,DD= 4k,所以DB=DA+AB+BB,=DA+DCI 1,AF-AG+GE+EF-GE, 段PP?的中点，由中点坐标公式，可得x AF∥GE,∴AF∥EG. =2×2-(-2)=6, +DD1=3i+5j+4k=(3,5,4),即B,的 因为EGC平面BDE,AF寸平面BDE,所 y=2×(-1)-1=-3,z=2×(-4)-41 坐标为(3,5,4).AC=AB+BC+CC= 以AF∥平面BDE. 一12， (2)因为正方形ABCD和四边形ACEF 所以P3的坐标为(6，一3，一12). DC-DA+DD=5j-3i+4k=-3i+5j +4k=(-3,5,4). 所在的平面相互垂直，AC为交线且CE」 对点训练 1D[因为关于平面Ozx对称的两点其纵1.3.2 AC,CEC平面ACEF,所以CE⊥平面 空间向量运算的坐标表示· ABCD. 坐标互为相反数，故答案为(2,1,3).] 2.AD[根据题意，点B,的坐标为(4,5，必备知识·自主梳理 如图，以C为原点，建 3),选项A正确：点B的坐标为(4,5,0)，！ 1.(a1+b,a2+be,a3+b)(a1-h, 立空间直角坐标系 a2-b3,a3-bs ab+a2b2+asbs Cxvz.则C(0,0,0), C1坐标为(0,5,3)，故点C关于点B对称 的点为(8,5，一3)，选项B错误：，点B关于 a1b+a2b十agb3=0 A(2,2,0),B(0, x轴的对称点为(4，一5,0)，远项C错误： 2.(x-x1,y-M,22-a1) √2,0)，D(2,0,0),E 点C1关于平面xDx对称的点为(0，一5， 3.√/(x2-x1)2+(y2-y1)+(x2-z1) 3),远项D正确.故选A、D.] 即时小练 005号，9， 题点三 1.D[4a+2b=4(3,-2,1)+2(-2,4,0) [典例]解设DA=e, =(12,-8,4)+(-4,8,0)=(8,0,4).」 AB=e2,AP=e,则DC 2.D3.C 关键能力·合作探究 BE=(0,-√2,1)，DE-(-2,0,1). =AB=e2,以{e1,e2 题点一 所以C亦.B正=0-1+1=0， e}为单位正交基底建 ,典例] 解AB=(2,6,-3),AC=(-4, CF·DE--1+0+1=0, 立空间直角坐标系，如 3,1). 所以C正⊥B正，C市⊥D正 图所示.则M-MA+AP+P=MA+ (1)0=(店-0=6,3，-40= 即CF⊥BE,CF⊥DE. +心-Mi+市+名i+市+ 又BE∩DE=E,且BEC平面BDE, =-e+6+(-6-e)= (3,号，-2)，则点P的坐标为(3，号 3 DEC平面BDE,所以CF⊥平面BDE !题点三 -2) :[典例]解(1)如 (2)设P(x,y,z) 图，建立空间直角 坐标系」 D元-(0,1,0). 则AP=(x-2,y十1,2-2). 3 对点训练 :市=Ai-A=(3,号，-2)， :∠ADC=∠DAB =90°， 解因为D0=-O市=-(0d+OD)= x-2=3, x=5, AB=4,CD=1, -[od+÷(0i+0i]=-0d 1-，解得 AD=2, .A(2,0,0),C(0, 号i-0成=-20，-6-4e,所以Dò （x-2=-2, ! (2=0, 1,0),B(2,4,0) 由PD⊥平面ABCD,得 （-2,一、-0.国为AB二0亦-0对点训练 则点P的坐标为(5,20). ∠PAD为PA与平面ABCD所成的角， =OB-(OA+00)=Oi-0A-00=:1.C[因为a=(4,2,-4),b=(2,1,-1), ∴.∠PAD=60. -4e+2e-4e,所以AB=(-4,2,-4). 所以2a-3b=2(4,2,-4)-3(2,1,-1) 在Rt△PAD中，由AD=2,得PD=25 素养演练·提升技能 =(2,1,-5).] ∴P(0,0,2W3) 1.A[设0为坐标原点，则Oi=8a+6b+2B[b十c=(2,0,3)+(0,2,2)=(2,2, .BP=√/(0-2)2+(0-4)2+(25-0)2= 4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+ 5),a·(b+c)=2×2+2×3+(-1)×5· 4√2 14j+10k,故点A在基底{i,j,k}下的坐 =5. (2)由(1)得，PA=(2,0,-23),BC= 标是(12,14,10). 题点二 2.B[由题意知，点M在平面Oxy的上方，[典例]解(1)因为a=A店=(1,1,0)，b (-2,-3,0) 且距平面Oxy的距离始终为2022，故！ ..cos(PA,BC) =AC=(-1,0,2),所以2a-b=(3,2,1 选B.] -1 -2×(-2)+0×(-3)+(-23)×0 3.AD[对于A,线段OP的中点坐标为1 -2),又c= 4×/13 1 1,）故A正确：对于B点P关 所以2a-b=-2c. 13 所以(2a-b)∥c. 13 于x轴对称的点的坐标为(1，一2，一3)， (2)因为a=AB=(1,1,0), ∴，异面直线PA与BC所成角的余弦值 故B错误：对于C,点P关于坐标原点对 称的，点的坐标为（一1，一2，一3），故C错 b-AC=(-1,0,2), 为3 131 误；对于D,点P关于xOy平面对称的，点 所以ka十b=(k一1，k,2) 的坐标为(1,2，一3)，故D正确.故远！ ka-2b=(k+2,k,-4). 对点训练 1.B[如图，取AB的中 A、D.] 又因为(ka+b)⊥(ka-2b), 点O,连接OC,以)为 4(.-5 所以(ka十b)·(ka-2b)=0, [由正四面体棱· 即(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=2k2+k- 坐标原点，以AB所在 直线为x轴，以OC所 10=0. 长为a,知△BCD的外接图半径为。 在直线为y轴建立空 解得及=2或-号 间直角坐标系. B(一，一0），又正回面体的高：对点训练 设AA=a,则A 1.A[因为a=(1,1,0),b=(-1,0,2),所 188 o0(分0(2oc(o, 为半圆孤的中点，所以AD1⊥BC,A1D⊥！3.a⊥3[山·=0，则a⊥3.] BC1,O,O,分别是下底面、上底面半圆的；关键能力·合作探究 圆心.连接OO,则OO1与上下底面垂直，：题点一 所以OO⊥OB,(OO1⊥OA,OA⊥OB,以[典例]解 因为PA⊥平面ABCD,底面 则AB=(1,0,a),BC= OB,OA,OO所在直线分别为x,y,z轴建 ABCD为矩形，所以AB,AD,AP两两 立空间直角坐标系，设几何体的高为h(h 垂直 如图，以A为坐 4 >0),则B(2,0,0),D(0,-2,h),A(0,2,0), 由AB1⊥BC,得AB·BC=- 标原点， 2 B(2,0,h),所以BD=(-2,-2,h),AB=1 AB所在直线为 -0,解得a-号合复.所以AA=号] (2,一2，h),由异面直线BD和AB1所成角 x轴建立空间直 2.120°[因为a=(1,2,3),b=(-2,-4,1 的余弦值为号，所以c0s(成，A)= 角坐标系Axyz, 则A(0,0,0), -6),所以a十b=(-1,-2,-3),所以a1 BD·AB 2 D(0,√3,0) 十b=√14.因为(a十b)·c=7,所以a十 3 即 BDI AB √8+.√8+ b与c夹角的余弦值为，即夹角为60°， 9） ,B(1,0,0),C(1,5,0),于 8十不一了，所以=4（负值舍去）.所以几 h2 2 又a=(1,2,3)与a十b=(-1,-2,-3)方1 是应-(0号）心-15,0 向相反，所以a与c的夹角为120°] 素养演练·提升技能 何体的体积为2×元×2×4+号×4X2 2 设n=(x,y,z)为平面ACE的法向量，则 B道设非零向量m(红，，)与三个向量 ×4=16+8元.故远A.] u·=0, 5.A「如图，建立空间 n…A=0,即 x+W3y=0, 都垂直，则u·=0, 直角坐标系，则A {n·AE-0, zv+2x=0, (u·5=0, (0,0,0),A1(0,0, 1x十=0①， 1),C(1,1,1),P 所以∫=一3y, 即x十y=0②， 是底面ABCD(含边 (x十y十(k+k-1)x=0③， 界)上一动点，设 令y=一1，则x=x=√5.所以平面ACE 由①②，得x=一，y=,代入③，得一x十 P(x,y,0)(0≤x≤ 的一个法向量为n=(√3，一1，√3) z十(k2+k-1)2=0,即(k2+k-1)x=0. 1,0≤y≤1)，则A,P ·对点训练 若要有解，则必有k2十k一1=0，解得k: =(x,y,-1),AC=(1,1,1),AP⊥ 解(1)设平面ABC的法向量n-(a,b, c) =-15] AC,.A P.AC=+y-1=0,AP 因为AB=(2,4,-1),AC-(2,2,1), 2 2.B[建立如图所示 =x2+y2+1=x2+(1-x)2+1=2.x2 所以m·A店=2a十4h-c=0, 的空间直角坐标 系，令正方体AB 2x+2=2(-号)+号当x= 1 {n·AC-2a+2b+c=0, 2 CD-A1B1C1D1的 时，A产取最小值号，此时线段AP的长 所以∫F一6， 3 棱长为4，则E(4, 6, 0,2),F(4,1,4),B D 令b=2,则a=一3，c=2. (4,4,0),C(0,4, 度为；当=0或=1财，A下取最大 所以平面ABC的一个法向量为n=(一3， 4),所以EF-(0,1, 值2，此时线段AP的长度为√2，∴线段： 2,2). (2)因为点M(x,y,z)是平面ABC内任意 2),BC=(-4,0,4),所以cos(EF,BC) AP长度的取值范国是 故 一点，所以AM⊥n,所以-3(x-1)+2(y EF·BC 四，设异面 5 选A] +1)+2(x-2)=0,即3.x-2y-2x-1= EFBC5X42 0.故x,y,z满足的关系式为3.x一2y一2z 1.4.1 用空间向量研究直线、 直线EF与BC1所成的角为0，则sin0: 1=0. 平面的位置关系 题点二 典例]证明法一： :必备知识·自主梳理 如图，以D为坐标原 3.D[如图所示，建 (一) 点，DA,DC,DD1所 立空间直角坐标系， 1.基点 位置向量2.OA+aOA+tA: 在直线分别为x轴、3 设AB=1,则A(1, 3.0A+xAB+yAC 轴、z轴建立空间直角 0,0),D1(0,0,1),B (1,1,0),B1(1,1, 4.法向量 (Pa·AP-0 坐标系，设正方体的 - 即时小练 棱长为1，则D(0,0, 1,故P( 1.B[:AB=(-1,1,1),而与AB共线的非 0.A1,0.B1.1,0,M0,17） 零向量都可以作为直线1的方向向量，故 少 远B. 12.(1)8 (2)8[(1)直线AB的方向向量 N(21,于是DM=(1,01).成 所以AD1=(-1,0,1), 有：BA,AB,CD,D,BA,AB,CD, 1,1,0M=(20,2） 丽-（小 DC,共8个 设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z), AD.BP (2)平面AA1BB的法向量有：DA,AD, 所以c0s(AD,B驴)= 则·D十0取=1， ADBP 2 CB,BC,D A,A D,C B,BC, 8个.] {n·DB=x+y=0, 则y=一1，x= -1, 所以直线PB与AD所成的角为令.] (二) ∴.平面A1BD的一个法向量为n=(1, 1.1=u2u·n=0n1=n22.a·b} 4.A[设D在底面半 =0 ab+a:b:+asbs=0 a/lu a= -1,-1). 圆上的射影为D, la ()=k(az,b,c) u⊥v 又M.n=含-3-0， 连接AD交BC于 u·v=0a1a2十b1b2+c1c2=0 O,连接A1D交 即时小练 M⊥m.又MNC平面ABD, BC于点O.依题 1.B[图为n=(-2,0,-4)=-2(1,0,2) ,∴.MN∥平面ABD. 意知半圆柱体底面 =-2a,所以n∥a,所以l⊥a.] 法二：M-G-GM=G官 直径BC=4,AB= AC,∠BAC=90°，D 2.11⊥2[AB=(1,-1,1),w1·AB=1×1日 -3×1+2×1=0,因此1⊥12.] d-名D-DD)-成， 189