1.3.2 空间向量运算的坐标表示 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 空间向量运算的坐标表示同步练习（高二上学期数学人教A版选择性必修第一册），以基础巩固-综合应用-拓展提升为梯度，覆盖全知识点，通过分层设计培养数学运算与空间观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|坐标运算、垂直平行判断|直接考查定义（如选择1向量垂直判断）| |中档|共线、模长、夹角计算|含参数与多选（如选择5向量夹角与模长）| |提升|空间几何与向量结合|四棱锥情境应用（解答12线面垂直与比例计算）|

1.3.2 空间向量运算的坐标表示 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 一、选择题 1.已知空间向量a＝（0，1，－1），b＝（a，2，2），则a，b的位置关系是（　 　） A.垂直 B.平行 C.异面 D.根据a的取值而定 2.已知A（3，4，5），B（0，2，1），O（0，0，0），若＝，则C的坐标是（　 　） A.（－，－，－） B.（，－，－） C.（－，－，） D.（，，） 3.若A（m＋1，n－1，3），B（2m，n，m－2n），C（m＋3，n－3，9）三点共线，则m＋n的值为（　 　） A.0 B.－1 C.1 D.－2 4.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D（0，0，0），A（4，0，0），B（4，2，0），A1（4，0，3），则体对角线AC1的长为（　 　） A.9 B. C.5 D.2 5.（多选）若a＝（1，2，0），b＝（－2，0，1），则下列结论正确的是（　 　） A.cos＜a，b＞＝－ B.a⊥b C.a∥b D.｜a｜＝｜b｜ 6.已知O为坐标原点，A（1，0，0），B（0，－1，1），＋λ与的夹角为60°，则λ的值为（　 　） A.± B. C.－ D. 二、填空题 7.已知M1（2，5，－3），M2（3，－2，－5），O为坐标原点，设在线段M1M2上的一点M满足＝4，则向量的坐标为 . 8.已知a＝（1，2，3），b＝（x，x2＋y－2，y），并且a，b同向，则x，y的值分别为 . 9.已知a＝（－2，1，1），A（－3，－1，4），B（－2，－2，2）.在直线AB上，存在一点E，使得⊥a，其中O为坐标原点，则点E的坐标为 . 10.已知e1，e2是空间中的两个单位向量，且e1·e2＝，若空间向量b满足｜b｜＝2，b·e1＝2，b·e2＝，则对于任意的x，y∈R，f（x，y）＝｜b－（xe1＋ye2）｜的最小值为　 　，f（x，y）取得最小值时，x＋y＝　 　. 三、解答题 11．若a＝(1，2，－1)，b＝(－2，3，4). (1)若(ka＋b)∥(a－2b)，求实数k的值； (2)若(ka＋b)⊥(a－2b)，求实数k的值． 12.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且PG＝4，AG＝GD，GB⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中点. （1）求与夹角的余弦值； （2）若F是棱PC上一点（异于端点），且DF⊥GC，求的值. 解析版 一、选择题 1.已知空间向量a＝（0，1，－1），b＝（a，2，2），则a，b的位置关系是（　A　） A.垂直 B.平行 C.异面 D.根据a的取值而定 解析：∵a＝（0，1，－1），b＝（a，2，2）， ∴a·b＝0×a＋1×2＋（－1）×2＝0， ∴a⊥b，故选A. 2.已知A（3，4，5），B（0，2，1），O（0，0，0），若＝，则C的坐标是（　A　） A.（－，－，－） B.（，－，－） C.（－，－，） D.（，，） 3.若A（m＋1，n－1，3），B（2m，n，m－2n），C（m＋3，n－3，9）三点共线，则m＋n的值为（　A　） A.0 B.－1 C.1 D.－2 解析：＝（m－1，1，m－2n－3），＝（2，－2，6），由题意得∥，所以＝＝， 所以m＝0，n＝0，所以m＋n＝0. 4.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D（0，0，0），A（4，0，0），B（4，2，0），A1（4，0，3），则体对角线AC1的长为（　B　） A.9 B. C.5 D.2 5.（多选）若a＝（1，2，0），b＝（－2，0，1），则下列结论正确的是（　AD　） A.cos＜a，b＞＝－ B.a⊥b C.a∥b D.｜a｜＝｜b｜ 解析：∵a＝（1，2，0），b＝（－2，0，1）， ∴｜a｜＝，｜b｜＝， a·b＝1×（－2）＋2×0＋0×1＝－2， cos＜a，b＞＝＝＝－. 故A，D正确，B，C不正确. 6.已知O为坐标原点，A（1，0，0），B（0，－1，1），＋λ与的夹角为60°，则λ的值为（　B　） A.± B. C.－ D. 解析：因为＝（1，0，0），（0，－1，1）， 所以＋λ＝（1，0，0）＋λ（0，－1，1）＝（1，－λ，λ）. 所以由夹角公式得cos＜＋λ，＞＝＝cos 60°＝，（*） 解得λ＝±. 又由（*）式可知λ＞0，所以λ＝.故选B. 二、填空题 7.已知M1（2，5，－3），M2（3，－2，－5），O为坐标原点，设在线段M1M2上的一点M满足＝4，则向量的坐标为　（，－，－）　. 解析：设M（x，y，z），易得＝（1，－7，－2），＝（3－x，－2－y，－5－z）. 又∵＝4， ∴∴ 则＝（，－，－）. 8.已知a＝（1，2，3），b＝（x，x2＋y－2，y），并且a，b同向，则x，y的值分别为　1，3　. 解析：由题意知a∥b，所以＝＝，即解得或 当时，b＝（－2，－4，－6）＝－2a， 此时a，b反向，不符合题意，舍去. 当时，b＝（1，2，3）＝a，此时a与b同向，所以 9.已知a＝（－2，1，1），A（－3，－1，4），B（－2，－2，2）.在直线AB上，存在一点E，使得⊥a，其中O为坐标原点，则点E的坐标为　（－，－，）　. 解析：设＝λ， 因为A（－3，－1， 4），B（－2，－2，2）， 所以＝（1，－1，－2）， ＝（λ，－λ，－2λ）， ＝（3，1，－4）， ＝－＝（λ－3，－λ－1，－2λ＋4）， 又因为⊥a， 所以－2（λ－3）＋（－λ－1）＋（－2λ＋4）＝0， 解得λ＝，又A（－3，－1，4）， ＝（，－，－）， 所以点E的坐标为（－，－，）. 10.已知e1，e2是空间中的两个单位向量，且e1·e2＝，若空间向量b满足｜b｜＝2，b·e1＝2，b·e2＝，则对于任意的x，y∈R，f（x，y）＝｜b－（xe1＋ye2）｜的最小值为　1　，f（x，y）取得最小值时，x＋y＝　3　. 解析：∵e1·e2＝｜e1｜｜e2｜cos＜e1，e2＞＝cos＜e1，e2＞＝，0≤＜e1，e2＞≤π， ∴＜e1，e2＞＝.不妨令e1＝（，，0），e2＝（1，0，0），b＝（m，n，t），则由题意可得b·e1＝m＋n＝2，b·e2＝m＝，解得n＝，∴b＝（，，t）.又｜b｜＝＝2，∴t2＝1.∵b－（xe1＋ye2）＝（－x－y，－x，t）， ∴[f（x，y）]2＝｜b－（xe1＋ye2）｜2＝（－x－y）2＋（1－x）2＋t2＝ （－x－y）2＋（1－x）2＋1， ∴当x＝1，y＝2时，[f（x，y）]2取得最小值1，故f（x，y）的最小值为1，此时x＋y＝3. 三、解答题 11．若a＝(1，2，－1)，b＝(－2，3，4). (1)若(ka＋b)∥(a－2b)，求实数k的值； (2)若(ka＋b)⊥(a－2b)，求实数k的值． 解：∵a＝(1，2，－1)，b＝(－2，3，4)， ∴ka＋b＝(k－2，2k＋3，－k＋4)， a－2b＝(5，－4，－9). (1)∵(ka＋b)∥(a－2b)， ∴＝＝，解得k＝－. (2)∵(ka＋b)⊥(a－2b)， ∴(ka＋b)·(a－2b)＝0， 即5(k－2)－4(2k＋3)－9(－k＋4)＝0，解得k＝. 12.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且PG＝4，AG＝GD，GB⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中点. （1）求与夹角的余弦值； （2）若F是棱PC上一点（异于端点），且DF⊥GC，求的值. 解：（1）由题意，得GB，GC，GP两两垂直.以点G为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示， 则G（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，4），E（1，1，0）， ∴＝（1，1，0），＝（0，2，－4）， cos＜，＞＝＝＝， ∴与夹角的余弦值为. （2）∵＝（－2，2，0）， ∴＝＝（－，，0）， ∴D（－，，0）. 设F（0，y，z），则＝（，y－，z）. 由题意得⊥，＝（0，2，0）， ∴＝0， 即（，y－，z）·（0，2，0）＝2y－3＝0， ∴y＝. 又点F在棱PC上（异于端点）， ∴存在实数λ，使得＝λ（0＜λ＜1）， 即（0，，z－4）＝λ（0，2，－4），解得λ＝， ∴＝， ∴＝3，∴＝3. 页 学科网（北京）股份有限公司 $