1.2 空间向量基本定理-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

X1X1·c0s60°=1 :对点训练 3.AB[对于A,由向量加法得AA+AD 证明因为OB=(OC,AB=AC,OA=OA,： 所以E萨.- 所以△OAC≌△OAB,所以∠A(OC= +AB AC,AC2=3A Bi, ∠AOB.又OA·BC=OA·(OC-OB)= ∴(A1C2=3(AB)2,A正确；对于B, 2)萨，励-励·励-之励 OA.OC-OA OB=OA OC A1B-AA=AB,AB1⊥AC,∴.A1C dos(励，d》=X1X1·os0 cos∠AOC-OA1OB1cos∠AOB=0,所： ·AB1=0,.B正确：对于C,易得 以OA⊥BC,即OA⊥BC. △AD1C是等边三角形，.∠ADC=60°， 题点三 又A1B∥DC,∴异面直线AD与AB [典例]解析、(1)因为BA,-BA+BB, 所成的夹角为60°，但是向量AD,与向量 所以E或，励-之 AC-AB+BC,所以BA,·AC=(BA+ A1B的夹角是120°，故C不正确；对于D, 3萨.元-励.D心 BB)·(AB+BC)-BA·AB+BA·BC AB⊥AA1,.AB.AA=0,故AB. +BB,.AB+BB,·BC.因为AB⊥BC, AA·AD=0,因此D不正确.故选A,B] =号Bi.D心·osBi,Dd BB:⊥AB,BB,⊥BC,所以AB·B武-0,4A[由于DC-DA+AB+BC,所以DC: =×1X1os120=-子， BB1·AB-O,BB·BC=0且BA·AB=I =(DA+AB+BC)2=DA+AB+ a.所以BA·AC=-a2.又BA,·AC BC:+2(DA·AB+AB·BC+DA· 所以E京.D元=- =BA:||AC|cos(BA,AC),所以 BC)=302+(20√5)2+402+2×(0十0+ 4 4.=励+·成+ cos(BA,AC)= -a2 一又因 30×40×cos60)=4900.所以|DC 2a·2a 70,故甲、乙两人相距70m.故选A.] ch) 为赋AC∈[0，，所欧，Ad=5【-专0】[设D市-xDA+DG -丽.(-而+扇(-ò+ 2π，又因为异面直线所成的角是锐角或直 (0≤x≤1,0≤v≤1)，则PA-DA-D,P .CA+BA.CA] 角，所以异面直线BA1与AC所成的角{ =DD+DA-D A-yDC=DD+ =[-励.武-BA.武+(C市 为 (1-x)D A-y DC,PC=D C CB).CA+AB.AC] (2)因为∠ACD=90,所以AC.CD=0, DP-D C-xDA-yDC=(1-x) 同理可得AC·BA=0.因为AB与CD成 D:CI-DA,..PA.PC=[DD+(1 -片×（-+ 2 60°角，所以(BA,CD)=60°或(BA,CD)= -x)DA-y D C][(1-)DC 1 120°.又BD=BA+AC+CD,所以BD2 xDA]=-x(1-x)-y(1-y)=x 8 =BA+AC+CD+2BA.AC 所以，花=一言 +2BA·CD+2AC.CD=3+2×1X1 对点训练 ×cos(BA,CD).所以当(BA,CD》=60° 1.B[由题意得，a·(b 时，BD?=4,此时B,D间的距离为2；当 号时，pi.P心取得最小值，为-；当 c)=a·b+a·c=0.] 2.A[如图，可知CE-CA (BA,CD=120°时，BD2=2,此时B,D: x=0或1，且y=0或1时，PA.PC取得 +AE,∴BA·CE=BA 间的距离为√2 最大值，为0，PA·PC的取值范国 ·(CA+A正)=BA.CA 答案(1)号 (2)W2或2 +BA·AE-2×2×cos60°+2×1× 对点训练 cos120°=1.故选A.] 1.A[设AB=a,AD=b,AA=c,以点A 1.2空间向量基本定理 题点二 为端点的三条棱长为t,则a=b=c!必备知识·自主梳理 [典例]证明设A1B1-a,A1D-b,A1A =t,(a,b)=(b,c)=(a,c〉=60°，由A1C- 1.(1)p=xa+vb+xc(2)基底基向量 2.(1)两两垂直1 AA+(AB+AD)=a+b-c,A C= 单位正交基底{i,j, 则a·b=0,b·c=0,a·c=0,a=b1 k}(2)正交分解 =cl. a+b-c2=a2+b十c2+2a·b-2a·c,即时小练 -2c·b=32-=22,所以A1C=√2.1，(1)× (2)/(3)/(4)×2.C :A0=Ai+Aò=A1+号（店+ 故m=√2.故选A.] :3.A AD) 关键能力·合作探究 2.T[设正方体的棱长为1，AB=a,AD=:题点- =c++2b, 3 b,AA=c,则a-b-c-L,(a,b)=[典例]解假设di,O成，元共面，则存在 BD-AD-AB=b-a, 花=元+=号+)+号d (0:e〉=(a,c》=受，所以a…b=b·c= 实数a,u使得OA=λOB十uOC,e+ 2e-e3-λ(-3e1+e2十2e3）+u(e1+ee a·c=0. -e3)=(-3λ十4)e1+(λ十4)e2+(2λ -to+3 由BC=b+c,AC=a+b, )eg..e1,e2,e3不共面， 2c, 得BC·AC-(b+c)·(a+b)=b=1. -3λ十4=1， 此方程组无解， ∴Ad.筋=(c+a+b）(b-a 又IBC1=AC=√2. .{十4=2， =-1, =eca十ab-+ 所以cOs〈BC,AC)= BC.AC .OAOi,0元不共面，.{OA,OB,心可 以作为空间的一个基底. IBC IAC thea 对点训练 1 1.(1)D.(2)②③④[(1)由AB,AC,AD与 =(w-a) 2X2 2 而(BC,AC)∈[0，r],故(BC,AC) AB,AC,AE均不能构成空间的一个基底 -2(b1:-a) 及A,B,C不共线，可知AB,AC,AD,AE =] 为共面向量，即A,B,C,D,E五点共面，故 D不正确， =0. 素养演练·提升技能 于是AOLBD,即A1OLBD. (2)如图，所设a :1.D[①②③正确；④不正确，因为等式左 AB,b=AA,c=AD, 同理可证A1O⊥OG,即A1OL0G. 边表示与b共线的向量，右边表示与a共！ 又.OG∩BD=O,OGC平面GBD,BDC 线的向量，两者方向不一定相同.] 则x=AB1,y=AD, ·2.A[由题意知a=b, ic/D 平面GBD, z=AC,a+b+c .A1OL平面GBD .(a+b)·(a-b)=|a2-b2=0. .(a+b)⊥(a-b).] =ACI. 186 由A,B1,D1,C四点不共面可知向量x,y,!∴BD⊥EG,BD⊥FG,又EG∩FG=G,: y1的点P在这两个三棱柱的公共部 z也不共面， ,B1D⊥平面EFG,又BD⊥平面ABD,! 分（如图），即三棱锥A-A,CD内，其体 同理可知b,c,z和r,y,a十b十c也不共： 平面ABD与平面EFG不重合，∴，平面 面，可以作为空间的基底.因x=a十b,故 EFG∥平面ABD 积是号×号×1X1×1=] a,b,x共面，故不能作为基底.] 对点训练 5.证明连接AG并延长交BC于点H(图 2.0m与n共线，设n=m(入∈R),则 解(1)取空间中的一个基底：AB=a,AD=! 略)，由题意，可令{PA,PB,PC为空间的 I=A xa十b十c=a-b十c,即 b,AA=c若BD⊥AN,则BD·AN=0. -个基底，i=子心=号Pi+)- A=1 .BD-AD-AB-6-a,AN-AA+A N- x=1,y=-1,则x十y=0. 是+是×号府=是成+合× 题点 「典例] 解 连接 应+花=是成+(-)+ BO,则B萨-2成 -含=0∴a=5-1 2 (2)当M为棱DD1的中点，BM∥平面： 十元-pi)=i+p+P元 -+0 ABN时，Bi=-a+b+之c,A=办+ 连接DM,因为点D,E,F,M共面，所以存 =(-b-a+ c,AB,=a+c.BM∥平面ABN,向i 在实数入，以使得DM=AD正+：DF,即 含a-b+7c, 量BM,AN,AB共面，∴了x,y∈R,使得 PM-PD=X(PE-PD)+(PF-PD), 成-心+C=-a+前 BM=xAN+yAB,R-a+b+2c=xa 所以PM=(1一X-)PD+PE+uPF- (1-A-)mPA十PB+世PC,由空间 -1=y, --a+之d+0) 1=x入， 向量基本定理，知子=(1-入-0m,子 +xb十(x+y)c 解得 ,=,所以+1+1 1 =4(1-λ ab+c. n )十4十44=4，为定值 A正=AP+P =A0+O+之(Pi+dC) 素养演练·提升技能 1.3.1 空间直角坐标系 1.A「如图所示，连接 必备知识·自主梳理 =-a+c+2(-c+b) AG,并延长，交BC于 1.坐标向量每两条坐标轴八 点E,则点E为BC的 2.唯一确定OA=i十十冰 =-a+be 中点，A正=号（店+ 3.a=(x,y,z)4.(4)B(x,y,0) (5)A'(x,0,x)(6)C(0,y,z) 亦=号=0i=2a 0=之O成-2 即时小练 :1.(1)×(2)×(3)/ 对点训练 解1)B成=心+CM-元+号C市- +d.G=号应 2.C「依据空间中点的坐标的定义，点A的 坐标是(1，一1，一1). BC+号（成+i+Ap)=号成- =号(O成-2Oi+心).：0心=2GG,3B点P(2,2,)运动的轨连是过点(2， 2,0)且与x轴平行的一条直线，] 号i+号币--3a+号b+号。 花=号G=号（成+AG)=关键能力，合作探究 :题点一 (2)成-成-i-劢-号元- 号0i+号成-号i+号d)=典例1)00,00.0,11)@11， 控在 2)③3,0,2) (2)解，正四棱锥P-ABCD的底面边 多市号迹+动+号市-号峦：丽成 长为4，侧棱长为10， ,正四棱锥的高 为2√23. 得A店.=Ai·(D丽-号D心) 以正四棱锥的底 以x=一2 面中心为原，点，平 名又应=写，故s,应= 行于BC,AB所在 题点三 2 的直线分别为x 典例]证明(1)易得BD-B,C+CD: ,则直线AB和CE所成角的余弦值 轴、y轴，垂直于平 面ABCD的直线 B =BC+Bi,d=B元+C苏=BC! 为 为x轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则正四 合B或.：B立·-(B亡+aC设成=a,D西-c,以abc 棱锥各顶，点的坐标分别为A(2,-一2,0)， B(2,2,0),C(-2,2,0),D(-2,-2, 2·BA=0,马i.励=(BC! 为基底，则AD=AD+DD=一a+c,DB 0),P(0,0,2√23). -DA+DC+BB=a+b+c.又AD,=2,对点训练 +2B·(BC-B)-BC DB|=√5，所以cos(AD1,DB1〉= 1.C PQ⊥平面Ozx,Q为垂足，在平面 Ozx内，所以纵坐标为0，即点Q的坐标为 (a+b+c)·(-a十c)=-a+c= 2 -十B房=0，∴B.DLBA,BDLBD, (1,0,3).] 2√5 2√5 25!2.解取BC的中点O,连接 又BA∩BD=B,∴.BD⊥平面ABD. 即异面直线AD与DB,所成角的 OA,过O作OD⊥BC交 (2)连接BG(图略).D元=B1C-B主= 5 BC于点D,则OAL BC 余孩值为5，] ODL平面ABC,所以OA (BC+BA)-B= 5 OB,OD两两垂直，以点O 4.D厂根据向量加法 为坐标原点，OA,OB,OD所 号BABD.元=(BC+号BB) 的几何意义和空间 在直线分别为x轴、y轴、z 向量基本定理，知满 轴建立空间直角坐标系，如图所示 ·(2BC+分B-)= 足0x≤y≤1的点 P在三棱柱ACD 由题意，得40=×2=尽，从而可知 2BC-gB=0,BD.元= A1C1D内，满足 各顶点的坐标分别为A(√，0,0)，B(0,1, 0y2≤1的，点P (Bd+国)·(2B)-0 在三棱柱AA,D 0),C(0,-1,0),A(W3,0,4),B(0,1, BB1C1内，故同时满足0≤x≤y≤1和0≤ 4),C(0,-1,4). 187第一章空间向量与立体几何 1.2 空间向量基本定理 【课标要求】1.了解空间向量基本定理及其意义.2.掌握空间向量的正交分解. 【素养要求】1.空间向量基本定理.2.选择恰当的基底表示向量. 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 1.空间向量基本定理 (2)若{a,b,c}为空间的一个基底，则a,b,c全 (1)定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对 不是零向量， ( 任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组 (3)如果向量a,b与任何向量都不能构成空间 (x,y,),使得 的一个基底，则一定有a与b共线.() (2)基底与基向量：把{a,b,c冫叫做空间的一个 (4)任何三个不共线的向量都可构成空间的一 ,a,b,c都叫做 空间任意三个 个基底， ( 不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 2.单位正交基底与正交分解 :2.若{a,b,c}是空间的一个基底，且向量m=a十 (1)单位正交基底 b,n=a-b,则可以与m,n构成空间的另一个 如果空间的一个基底中的三个基向量 基底的向量是 ,且长度都为 ,那么这个基底叫做 A.a B.b C.c D.2a ,常用 表示 3.正方体ABCD-A'B'C'D'中，O1,O2,O3分别是 (2)正交分解 AC,AB,AD的中点，以{AO1,AO2,AO3}为基 把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量， 叫做把空间向量进行 底，AC=xAO1+yAO2+之AO3,则x,y,之的 值是 即时小练 111 A.1,1,1 1.判断正误 B.222 (1)空间的任何一个向量都可用三个给定向量 D.2,2,2 表示 c99号 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 /方法技巧/ 题点一基底的判断 基底的判断思路 [典例]已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底，且 (1)判断一组向量能否作为空间的一个基底， 实质是判断这三个向量是否共面，若不共面， OA=e1+2e2-e3,OB=-3e1+e2+2e3,OC= 则可以作为一个基底. e1十e2-e3,试判断{OA,OB,OC}能否作为空 (2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平 间的一个基底 行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶 [听课记录] 点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基 础上构造其他向量进行相关的判断 6000.... 对点训练 :1.(1)已知A,B,C,D,E是空间五点且A,B,C不 共线，若AB,AC,AD与AB,AC,AE均不能构成 空间的一个基底，则在下列各结论中，不正确 的为 () 数学选择性必修第一册 A.AB,AD,AE不构成空间的一个基底 对点训练 B.AC,AD,AE不构成空间的一个基底 如图，已知四棱锥P-ABCD,四 C.BC,CD,DE不构成空间的一个基底 边形ABCD为平行四边形，M, D.AB,CD,EA构成空间的一个基底 N分别是PC,PD上的点，且 (2)设x=a十b,y=b十c,z=c十a,且{a,b,c}是 空间的一个基底.给出下列向量组： PM-2,PN=ND,设AB=a: M ①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+ AD=b,AP=c. b+c}. (1)以{a,b,c}为基底表示向量BM; 其中可以作为空间的基底的向量组有 (2)若MN=xa+b十c,求实数x,y,之的值. (填序号). 2.已知空间的一个基底{a,b,c},m=a-b十c,n= xa十b十c,若m与n共线，则x十y= 题点二用基底表示向量 [典例门如图，四棱锥P OABC的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC,设OA=a, OC=b,OP=c,E,F分别是 PC和PB的中点，试用a,b,c表示BF,BE, AE.EF. 题点三空间向量基本定理的应用 [听课记录] [典例门]如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠ABC=90°，BC= 2,CC1=4,点E在棱BB1上， EB1=1,D,F,G分别为CC1, B B1C1,A1C1的中点，EF与B1D 相交于点H.求证： (1)B1D⊥平面ABD: (2)平面EFG∥平面ABD. [听课记录] :…/方法技巧/ 用基底表示向量时： (1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的 三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量 的运算律进行； (2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时， 要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向： 量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或 易求. 10 第一章空间向量与立体几何 /方法技巧/… (1)若BDLAN,求入的值； 基向量的选择和使用方法 (2)若M为棱DD1的中点，BM∥平面AB1N, 用已知向量表示未知向量时，选择一个恰当的 求入的值. !基底可以使解题过程简便易行，选择和使用向 量应注意： (1)所选向量必须不共面，可以利用共面向量 定理或常见的几何图形的几何性质帮助判断；： (2)所选基向量与要表示的向量一般应在同一 封闭图形内，能用基向量的线性运算表示未知 向量； (3)尽可能选择具有垂直关系的、从同一起点 出发的三个向量作为基底， 对点训练 如图所示的平行六面体 D N ABCD-A1B1C1D1中， M 己知AB=AA1=AD, ∠BAD=∠DAA1= 60°，∠BAA1=30°，N为 A1D1上一点，且A1N=A1D1: 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 L.已知四面体OABC,G是△ABC的重心，G是 1 0G1上一点，且OG=2GG1,若OG=xOA+y: A. R号 OB十之OC,则x,y,之分别为 ( 222 C 号 111 A.99'9 B.22'2 :4.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为 方同 号号号 : 正方体内一动点（包括表面），若AP=xAB十yAD 十之AA1,且0≤x≤y≤≤1，则点P所有可能的位 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是C1D1的 置所构成的几何体的体积是 ) 中点，则直线AB和CE所成角的余弦值为 ( A.1 A c号 1 D.6 c :5.如图，三棱锥P-ABC中，点G为 3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1, △ABC的重心，点M在PG上， D AA1=√3，则异面直线AD1与DB1所成角的 且PM=3MG,过点M任意作一 A6---- 余弦值为 个平面分别交线段PA,PB,PC 11 数学选择性必修第一册 于点D,E,F,若PD=mPA,PE=nPB,PF= 课堂小结 :元，求证：十十为定值，并求出该定值。 重要思想与方法 (1)空间向量基本定理表明空间的任意一个向量都可以用 空间的一组基底来表示，并且这种表示是唯一的，体现了转 化与化归的思想方法， (2)证明空间中的直线、平面的垂直和平行，要分别结合相 关的判定定理，转化为向量的运算；求空间两点间的距离或 线段的长度一般转化为求对应向量的模；求两直线的夹角 则转化为求向量的夹角（或其补角）.体现了转化与化归的 思想方法。 定理 空间向量 基本定理 单位正交基底与正交分解 基底、基向量 温馨提示 请做课时分层检测（三） 1.3.1 珍空间直角坐标系 【课标要求】1.了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性.2.会用空间直角坐标系刻 画点的坐标，会用坐标表示空间向量 【素养要求】1.点和向量的坐标表示.2.空间直角坐标系理解及运用. 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 1.空间直角坐标系 A的位置由向量OA ,由空间向量基本 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,: 定理，存在唯一的有序实数组(x,y,之)，使 k},以点O为原点，分别以i,j,k的方向为正方 在单位正交基底{i,j,k}下与向量OA 向，以它们的长为单位长度建立三条数轴： 对应的有序实数组(x,y,之)，叫做点A在空间 x轴、y轴、之轴，它们都叫做坐标轴.这时我们 直角坐标系中的坐标，记作A(x,y,之)，其中x 就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原： 叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，之叫 点，i,j,k都叫做 ,通过 做点A的竖坐标. 的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oy之：3.空间向量的坐标表示 平面，Ox平面，它们把空间分成 个 在空间直角坐标系Oxy之中，给定向量a.作OA 部分， =a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实 2.空间点的坐标表示 数组(x,y,),使a=i+y以j十冰.有序实数组 在空间直角坐标系Oxyz中，i,j,k为坐标向！ (x,y,之)叫做a在空间直角坐标系Oxy之中的 量，对空间任意一点A,对应一个向量OA,且点： 坐标，上式可简记作 —12