第03讲：空间向量基本定理【五大题型】-2025-2026学年新高二数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019）

第03讲：空间向量基本定理 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一　空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 知识点二　空间向量的正交分解 1．单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． 2．向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 知识点三　证明平行、共线、共面问题 (1) 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2) 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 知识点四　求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 知识点五　求距离(长度)问题 ＝( ＝ )． 【例题详解】 题型一、空间的基底 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】由空间向量的基底的定义建立方程，可得答案. 【详解】对于A，设，无解， 所以，，不共面，能构成空间的一组基底，故A正确； 对于B，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故B错误； 对于C，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故C错误； 对于D，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故D错误. 故选：A. 2．（24-25高二上·北京·期末）已知为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】D 【分析】根据空间向量基底的概念逐项判断即可. 【详解】对于A选项，因为，则、、共面， 所以，、、不能构成空间的一组基底； 对于B选项，因为，则、、共面， 所以，、、不能作为空间的一组基底； 对于C选项，因为，则、、共面， 所以，、、不能作为空间的一组基底； 对于D选项，假设、、共面， 则存在、使得， 由于为空间的一组基底，则，该方程组无解， 故假设不成立，即、、不共面， 所以，、、可以作为空间的一组基底. 故选：D. 3．（24-25高二上·广东东莞·期末）已知为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】A 【分析】利用空间向量基底的概念逐项判断即可. 【详解】对于A选项，假设、、共面， 则存在、使得 ，所以，，无解， 所以，、、不共面，可以作为空间的一组基底； 对于B选项，因为，则、、共面， 则、、不能作为空间的一组基底； 对于C，因为，所以，、、共面， 则、、不能作为空间的一组基底； 对于D，，则、、共面， 则、、不能作为空间的一组基底. 故选：A. 题型二：用空间基底表示向量 4．（24-25高二上·河北唐山·期中）在四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，为的中点，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用空间向量对应线段的位置及数量关系，结合向量加减、数乘的几何意义用表示即可. 【详解】. 故选：A 5．（24-25高二上·新疆昌吉·期末）已知四面体，M、N分别是的中点，且，用表示（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算，结合图形可得. 【详解】因为M、N分别是的中点，所以， 所以. 故选：D 6．（24-25高二上·广东清远·期末）如图，在三棱锥中，．若点分别在棱上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的基本定理及利用向量的加法表示出即可求解． 【详解】由， 得， 所以， 故选：C． 题型三、空间向量基本定理 7．（24-25高二上·广东湛江·期末）在平行六面体中，点，分别在棱，上，且，．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量线性运算、空间向量基本定理求解即得. 【详解】在平行六面体中，，， 则， 而，因此， 所以. 故选：B 8．（24-25高二上·广西钦州·阶段练习）在四面体中，点为线段靠近A的四等分点，为的中点，若，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由向量运算法则结合空间向量基本定理即可计算求解. 【详解】由题 又由题，故. 故选：C. 9．（24-25高二上·广东肇庆·阶段练习）四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】结合图形，利用向量的线性运算，即可求解. 【详解】 在四棱锥P-ABCD中，有， 再由点E为棱PC的中点，，所以， ， 由底面ABCD是平行四边形，得， 所以， 又因为，所以，即， 故选：A. 题型四、求距离(长度)问题 10．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）如图，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记，根据空间向量的运算表示出，根据向量模的计算即可得答案； 【详解】记，则， 所以， 由于，故 ， 故. 故选：D. 11．（24-25高二上·河南三门峡·期末）在平行六面体中，，，则的长为（   ） A．12 B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行六面体的几何性质，利用空间向量的线性运算以及数量积的定义，结合向量模长公式，可得答案. 【详解】由题意可得，由，则， 由， 则，， 所以 . 故选：B. 12．（24-25高二上·安徽宣城·期末）在平行六面体中，若，，，则的长度为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量线性运算及数量积的运算律求出长. 【详解】在平行六面体中，，，， ，而， 所以 . 故选：B 题型五、求夹角、证明垂直问题 13．（24-25高二上·浙江台州·期末）如图，在直三棱柱中，，，. (1)用表示； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用空间向量基本定理得到； （2）两边平方，求出，得到，并求出，，利用异面直线向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】（1）， 故 ； （2）由（1）知，，两边平方得 因为三棱柱为直三棱柱，， 所以，故， ， 所以， 故. 因为，故， 设直线与直线所成角为， ， 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 14．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． (1)用为基底表示向量，并求的长； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求出，两边平方得到，求出的长； （2），平方，进而求出，，利用空间向量夹角公式得到. 【详解】（1）记，，， 则，， ∴，， ， ∴，即的长为； （2），故， 故， 由（1）知，， 故 ， ∴． 15．（24-25高二上·浙江·期中）如图，在三棱柱中，，，，、分别是、的中点. (1)求的长； (2)求与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别用表示出，即可求得结果； （2）用表示出，根据题意求得的长度，然后根据夹角的余弦值公式可求得结果. 【详解】（1）由题可得， 因为是三棱锥，是的中点， 所以， 因为，，， 所以则 所以； （2）因为分别是的中点，，， 所以， 由图可得， 由（1）可得， 设与所成角为， 则， 所以与所成角的余弦值为. 【专项训练】 一、单选题 1．（24-25高二上·北京密云·期末）如图，在三棱锥中，点是棱的中点，若，，，则与向量相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的基本定理结合线性运算求解. 【详解】, 故选：C. 2．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知P是所在平面外一点，，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用平面向量的线性运算可得，可求值. 【详解】由，得， 即，所以，，， 故. 故选：A. 3．（24-25高二上·辽宁大连·期末）如图，空间四边形中，，，，点M，N分别在，上，且满足，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的几何图形，利用空间向量的基底表示. 【详解】依题意，. 故选：D 4．（24-25高二上·四川乐山·期末）已知正四面体的所有棱长都等于，，分别是，的中点.则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的基本定理，表示，，然后结合数量积，直接求解即可. 【详解】由题知，，， 所以 . 故选：B 5．（24-25高二上·浙江杭州·期中）如图，在平行六面体中，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以向量为基底向量，表示出，由模长公式求出向量模长即可. 【详解】， ∴， ∴. 故选：A. 6．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）如图所示，在正方体中，为的中点，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的运算及投影向量的定义求解即可. 【详解】 设正方体的棱长为1，，，，则，， ∵，， ∴， ∴向量在向量上的投影向量是. 故选：D． 7．（24-25高二上·江西南昌·期末）在四棱锥中，底面是菱形，，，E是上一点，且，，，，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算可得，再结合数量积运算求解即可. 【详解】因为，则， 又因为，，，则， 且，，则， 可得， 则 ， 所以，即. 故选：B. 二、多选题 8．（24-25高二上·广东中山·期中）如图，在三棱柱中，（ ） A． B． C． D．－ 【答案】CD 【分析】利用空间向量的线性运算计算即可. 【详解】由题意可得：， 故选：CD. 9．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知是空间的一个基底，则下列说法正确的是（    ） A．两两共面 B．若，则 C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使 D．不一定能构成空间的一个基底 【答案】AC 【分析】AC选项，根据基底的定义以及空间向量基本定理可得；B选项，，不一定垂直；D选项，判断出，，一定不共面，所以一定能构成空间的一个基底. 【详解】A选项，由基底的定义可知，不能共面，两两共面，A正确； B选项，，但，不一定垂直，B错误； C选项，根据空间向量基本定理，对空间任一向量，总存在有序实数组， 使，C正确； D选项，设，故，无解， 故，，一定不共面，所以一定能构成空间的一个基底，D错误. 故选：AC 10．（24-25高二上·河南驻马店·期末）如图，点，分别是棱长为2的正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（   ） A． B． C． D．向量在方向上的投影数量为 【答案】AC 【分析】利用空间向量线性运算判断A；利用空间向量数量积的运算性质求解判断B，C；根据投影的定义求解判断D； 【详解】对A：由题意，所以， ，故A正确； 对B：因为 ， 所以，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：向量在方向上的投影数量为，故D错误； 故选：AC. 11．（24-25高二上·河南新乡·期末）如图，在平行六面体中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据空间向量线性运算判断A、B，根据数量积的定义及运算律判断C、D. 【详解】依题意可得， 同理，，故C正确； 连接， 则，故A正确； ，故B错误； ，故D正确. 故选：ACD. 12．（24-25高二上·浙江杭州·期中）如图，在平行六面体中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】设，根据空间向量的线性运算和数量积的定义计算，依次判断选项即可. 【详解】设. A：， 所以不成立，故A错误； B：， 又， 所以，故B错误； C：， 所以，故C正确； D： ，故D正确. 故选：CD 三、填空题 13．（24-25高二上·陕西西安·期末）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数 ． 【答案】 【分析】根据题意，可知存在，使得，结合空间向量基本定理运算求解. 【详解】由不能构成空间的一个基底，则存在，使得， 即， 所以，解得. 故答案为：. 14．（24-25高二上·湖南邵阳·期末）平行六面体中，，，，则 ． 【答案】 【分析】由，平方即可求解； 【详解】    因为六面体是平行六面体，所以，所以 ，所以． 故答案为：5 15．（24-25高二上·云南楚雄·期末）在平行六面体中，，，M为的中点，则 . 【答案】/ 【分析】由向量的加减运算及数量积的运算可得的值． 【详解】在平行六面体中，，， ，M为的中点， ， 所以. 故答案为： 16．（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）在正四面体中，，则 （用，，表示）．若，则 ． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算，化简得到 ，再根据向量的模的计算，结合向量数量积的定义与向量数量积的运算律即可求出答案. 【详解】 ， ， ， 且正四面体为正四面体， 所以，且之间的夹角都是， 则，      故答案为：；. 四、解答题 17．（24-25高二上·上海金山·期末）如图，在空间四边形中，点为的中点，，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平行四边形法则与三角形法则即可求得结果. （2）利用三角形法则得，又由（1）的结论，两个向量求数列积即可. 【详解】（1）， . （2）因为， 所以， 所以， ， 所以 18．（24-25高二上·广西河池·期末）如图，在正四面体OABC中，点D为BC的中点，，设，， (1)试用向量，，表示向量 (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由得，进而有，又因为代入即可； （2）由得，，在正四面体中有，，所以即可计算. 【详解】（1）因为点D为BC的中点， 所以， 因为，所以， 所以，， 所以； （2）由得， ， 由正四面体OABC可知，， 所以 19．（24-25高二上·广东江门·期中）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形， .设．    (1)试用 表示向量，， (2)求； (3)求证： 【答案】(1)，； (2)； (3)证明见解析 【分析】（1）根据向量的加法、减法运算即可求解； （2）根据向量的数量积运算及模长公式即可求解； （3）根据向量的减法、数量积运算性质及垂直的向量表示即可证明. 【详解】（1）， . （2）因为，所以， ， ， 所以. （3）因为． 所以. 20．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是为与的交点.若. (1)用表示； (2)求对角线的长； (3)求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算计算即可； （2）先将用表示，再根据空间向量数量积的运算律求出，即可得解； （3）根据夹角公式结合数量积的运算律求解即可. 【详解】（1）如图，连接， 因为， 在中，根据向量减法法则可得， 因为底面是平行四边形， 所以， 因为且， 所以， 又因为为线段的中点， 所以， 在中，； （2）因为顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是， 所以， ， ， 由（1）可知， 所以在平行四边形中，， ， 所以，故对角线的长为； （3）因为， 所以 . 21．（24-25高二上·山东·阶段练习）如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点为的中点． (1)用向量，，表示； (2)求线段的长及直线与所成角的余弦值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解； （2）根据数量积的定义可得，，，即可根据模长公式以及夹角公式求解. 【详解】（1）方法一：由题意知 ． 方法二：因为为的中点，所以． （2）因为四边形是正方形，，， 所以，，． 所以 ， 即线段的长为． 因为， 所以 ， 又 ， 所以， 即直线与所成角的余弦值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲：空间向量基本定理 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一　空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 知识点二　空间向量的正交分解 1．单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． 2．向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 知识点三　证明平行、共线、共面问题 (1) 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2) 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 知识点四　求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 知识点五　求距离(长度)问题 ＝( ＝ )． 【例题详解】 题型一、空间的基底 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25高二上·北京·期末）已知为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 3．（24-25高二上·广东东莞·期末）已知为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 题型二：用空间基底表示向量 4．（24-25高二上·河北唐山·期中）在四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，为的中点，，则（    ）    A． B． C． D． 5．（24-25高二上·新疆昌吉·期末）已知四面体，M、N分别是的中点，且，用表示（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·广东清远·期末）如图，在三棱锥中，．若点分别在棱上，且，则（    ） A． B． C． D． 题型三、空间向量基本定理 7．（24-25高二上·广东湛江·期末）在平行六面体中，点，分别在棱，上，且，．若，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·广西钦州·阶段练习）在四面体中，点为线段靠近A的四等分点，为的中点，若，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 9．（24-25高二上·广东肇庆·阶段练习）四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（    ） A． B．1 C． D．2 题型四、求距离(长度)问题 10．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）如图，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，则的值为（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·河南三门峡·期末）在平行六面体中，，，则的长为（   ） A．12 B． C． D． 12．（24-25高二上·安徽宣城·期末）在平行六面体中，若，，，则的长度为（    ） A． B． C．3 D．5 题型五、求夹角、证明垂直问题 13．（24-25高二上·浙江台州·期末）如图，在直三棱柱中，，，. (1)用表示； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 14．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． (1)用为基底表示向量，并求的长； (2)求的值． 15．（24-25高二上·浙江·期中）如图，在三棱柱中，，，，、分别是、的中点. (1)求的长； (2)求与所成角的余弦值. 【专项训练】 一、单选题 1．（24-25高二上·北京密云·期末）如图，在三棱锥中，点是棱的中点，若，，，则与向量相等的向量是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知P是所在平面外一点，，且，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25高二上·辽宁大连·期末）如图，空间四边形中，，，，点M，N分别在，上，且满足，，，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·四川乐山·期末）已知正四面体的所有棱长都等于，，分别是，的中点.则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·浙江杭州·期中）如图，在平行六面体中，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）如图所示，在正方体中，为的中点，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·江西南昌·期末）在四棱锥中，底面是菱形，，，E是上一点，且，，，，则（   ） A． B． C． D．2 二、多选题 8．（24-25高二上·广东中山·期中）如图，在三棱柱中，（ ） A． B． C． D．－ 9．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知是空间的一个基底，则下列说法正确的是（    ） A．两两共面 B．若，则 C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使 D．不一定能构成空间的一个基底 10．（24-25高二上·河南驻马店·期末）如图，点，分别是棱长为2的正四面体的边和的中点，点在线段上，且.则（   ） A． B． C． D．向量在方向上的投影数量为 11．（24-25高二上·河南新乡·期末）如图，在平行六面体中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高二上·浙江杭州·期中）如图，在平行六面体中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13．（24-25高二上·陕西西安·期末）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数 ． 14．（24-25高二上·湖南邵阳·期末）平行六面体中，，，，则 ． 15．（24-25高二上·云南楚雄·期末）在平行六面体中，，，M为的中点，则 . 16．（24-25高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）在正四面体中，，则 （用，，表示）．若，则 ． 四、解答题 17．（24-25高二上·上海金山·期末）如图，在空间四边形中，点为的中点，，设. (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 18．（24-25高二上·广西河池·期末）如图，在正四面体OABC中，点D为BC的中点，，设，， (1)试用向量，，表示向量 (2)若，求的值. 19．（24-25高二上·广东江门·期中）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形， .设．    (1)试用 表示向量，， (2)求； (3)求证： 20．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是为与的交点.若. (1)用表示； (2)求对角线的长； (3)求. 21．（24-25高二上·山东·阶段练习）如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点为的中点． (1)用向量，，表示； (2)求线段的长及直线与所成角的余弦值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$