1.1.1 空间向量及其线性运算-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

学习讲义参考答案与解析 第一章 空间向量与立体几何： 应=花+萨=亦，所以AG+号证-：②点M在年面AC内 由(1)知MA,MB,MC共面且过同一点M, 1.1.1 空间向量及其线性运算 号A心-A 所以M,A,B,C四点共面，从而点M在平 面ABC内. 必备知识·自主梳理 (2)因为E,F,H分别为边CD,AD和BC:素养演练·提升技能 () 1.C[BM=2MC,点N是棱AD的中点， 1.大小方向大小长度a,b 的中点，所以号(A店+A花一市)= 名(2Ai-AD)=Ai-号A=Ai- ∴i=-号B就=Ai. AB2.零向量模为1相等相反 相同相等同向等长互相平行 流+赢+=-号（配-商）- 共线向量 AF-FH. 即时小练 (3)号A店+A花+号Ai=是(AB+ +亦-号成-号花+茄.又 1.(1)/ (2)X提示两个向量的终点重合，起： 点不知如何，则其方向的关系不能确定， 花+市)=A+专（花-店）+： M=xi+yA花+：市x=-号， (3)/ 2.C 专亦-商-峦+合（武+动）- (二) AB+子×2=AB+号B脏=AB+BG;（-号）×-日.] OiCA0a十aa+b -AG. 即时小练 :2.B[由已知可得AB=DC,由相等向量的 定义可知，四边形ABCD的一组对边平行 2.B[:MC-流花+G,流-含花衣aA可A二-Ad-- 1.0 :对点训练 且相等，所以四边形ABCD是平行四边 形，无法判断其是不是矩形.故选B.门] BD:BC+BB,-DC=BC+CD,=:3.ABCC作出平行六面体ABCD-AB'C =+Ad,“MC=(A店+A)+ BD,;AD-AB-DD=BD-DD-BD:D'如图： -BB B DBD:B D-AA+DD 可得AB-CB D' d-i+名市+矿-a+之b =BD+AA+DD=BD +AABD. AB+BC=AC. 十c.故远B.] 故A正确； 2.A[连接OM,ON(图略)，M不=ON- A- (三) AB+B'C+ 相同相反共线平面a=bp=· OM=号(oi+Oi)-(0元+C= CC-AB+BC xavb +CC-AC,故 R 即时小练 分i+成-成-号=i+ B正确；C显然正确：AB+BB+BC+C它 ④ 0)-0d-号0-心)=号0i+ =AB+BC-AC,故D不正确.综上，正确 关键能力·合作探究 的有ABC.] 题点一 [典例]解析(1)A中，向量a,b平行，则！ 合O亦-导元-a十吉b-号c故4以R使得为m表线具故香盔 A∈R,使得m=n,即a-b十c=λxa十入b a,b所在的直线平行或重合：B中，a= 选A.] +c, b只能说明a,b的长度相等而方向不确1题点三 1=λx, A=1, 定：C中，向量不能比较大小，故远D. [典例]证明因为M在BD上，且BM=: 所以)一1=入y,解得 x=1, (2)A为假命题，根据向量相等的定义知， 11=λ， y=-1 两向量相等，不仅模要相等，而且还要方 合BD,所以M应=号D市=号成+5.如周，延长E 0 向相同，而A中向量a与b的方向不一定 号A成.同理，=号市+号应.所以 FB,GC,HD相交于一 相同；B为真命题，AC与AC的方向相同，： 模也相等，故AC-AC;C为真命题，向量 瓜=成+成+成-（号成+ 点0则需品 的相等满足传递性；D为假命题，空间中任 -品酝+成中 意两个单位向量的模均为1，但方向不一定 A)+威+日心+日成=号 相同，故不一定相等，所以选C 成-成+前 A序 答案(1)D(2)BC 对点训练 成=号动+成又市成不 心-+d 1.C[对于A,零向量与它的相反向量相 共线，根据向量共面的充要条件可知M,! 等，故说法错误；对于B,将空间中所有的 萨-成+成-+-成.] CDDE共面 单位向量平移到同一起点，则它们的终点！对点训练 1.1.2空间向量的数量积运算 构成一个球面，故说法错误；对于C,空间1，证明：连接GB,GD 向量与平面向量一样，既有模又有方向，不· 必备知识·自主梳理 GCL, 能比较大小，故说法正确：对于D,一个非零 向量的空间向量与它的相反向量不相等， CA CB +BA+ ∠AOB(a,b>a⊥b 即时小练 但它们的模相等，故说法错误.故选C.] AA CB+CD+ 1.(1)/ (2)×提示不一定，可能是a, 2.B[对于①AB与C1D1,③AD与C1B中的1 也可能是元-a.(3)√ 两向量，长度相等，方向相反，均互为相反： 因为G为△BC1D的A 2. 重心，所以GB+GD+GC=0, (二) 向量：对于②AC与BD,长度相等，方向不· 1.ab cos(a,b〉ab cos(a,b〉0 相反；对于④AD与BC长度相等，方向相： 又CG-CB+BC,CG-CD+D心， acos(a,b)b·aa·c+b,c2.0 同.故互为相反向量的有2对.] CG=CC+CG, 3.lal cos(a,b)bAB 题点二 所以3d花-CB+CD+CC, b [典例]解(1)因为G为△BCD的重心， ·即时小练 :1.(1)×(2)/(3)×(4)X E,F为边CD,AD的中点，所以AG+! 即元=号+i+=, 眩-令A花=A店+成+号B- 所以C亡∥CA,即A1,G,C三点共线. 关祖能力·合作银究 2.解(1)共面：由已知得OA+O+O元=！题点一 心-A店+号成+子-花=3成.所以-成=（O-O+O成[典例]解1萨.扇=号亦.前 店+硫-合花-花-合花-花- -OC),RMA=BM+CM--MB-MC, 所以MA,MB,M花共面. =号成·BA·cos(成，B 185第一章 a P=2+2w 空间向量与立体几何 1.1.1 空间向量及其线性运算 【课标要求】1.了解空间向量的概念.2.掌握空间向量的加减运算.3.掌握空间向量的数乘运算. 【素养要求】1向量的加减、数乘运算2.共线向量、共面向量的掌握及运用. 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)空间向量的有关概念 即时小练 1.空间向量的定义及表示 在空间，我们把具有 和 的量叫做空 1.判断正误 定义 间向量 (1)若a=-b,则a=|b. 长度 (2)若两个向量的终点重合，则这两个向量的方 空间向量的 叫做空间向量的长度或模 或模 向相同。 与平面向量一样，空间向量也用有向线段 几何 (3)零向量与任意向量平行. ( 表示，有向线段的 表示空间向量 表示 的模 : 2.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1顶点连接的 空间向量常用一个小写字母表示.如：向量 向量中，与向量AD相等的向量共有 表示 a,b,其模分别记为 方法 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 .B 符号 空间向量可用有向线段表示。 a 表示 A (二)空间向量的线性运算 如图，向量a的起点是A,终 点是B,则向量a可记作 加法 a+b-OA+AB- ,其模记为a或AB a-b 2.几类特殊的空间向量 减法 a-b=0A-0元 名称 定义及表示 当x>0时，a=QP 零向量 长度为0的向量叫做 ,记为0 AOA,当入=0时，a= /M 单位向量 的向量叫做单位向量 ri" 数乘 a a ,当A<0时，Aa=MN 01>0 与向量a长度 而方向 的向 Q 相反向量 量，叫做a的相反向量，记为一a -AOA 方向 且模 的向量叫做相等向 且 (1)交换律：a十b=b十a: 相等向量 量 的有向线段表示同一 向量或相等向量 线性运(2)结合律：(a十b)十c=a十(b十c),A(ua) 算的运()a: 如果表示若干空间向量的有向线段所在的 共线向量 算律 (3)分配律：（入十H)a= ,入(a+b)= 直线 或重合，那么这些向量叫做 (平行向量) .(A∈R) 或平行向量 数学 选择性必修第一册 即时小练 共面向量定理： 向量p与两个不 充 1.化简：(AB-CD)-(AC-BD)= 要 共线向量定理：对任意两个空间向共线向量α，b共 量a,b(b≠0)，a∥b的充要条件是面的充要条件是 2.如图，平行六面体ABCD- D 条 B 存在唯一的实数入，使 存在唯一的有序 A1B1C1D1中，AC与BD的 件 实数对(x,y), 交点为M,设AB=a,AD= b,AA1=c,则选项中与向量 即时小练 MC1相等的是 给出下列命题： A.-2a-2b-c 11 1 B.2a+2b+c ①若空间向量满足a∥b,b∥c,则a∥c; C. 1 D.je+zb-c 1 ②用分别在两条异面直线上的两条有向线段表 示两个向量，则这两个向量一定不共面： (三)共线向量与共面向量 ③已知空间四边形ABCD,则由四条线段AB, 共线（平行）向量 共面向量 BC,CD,DA分别确定的四个向量之和为零 向量； 表示空间向量的有向线段 位置 所在的直线的位置关系：互 ④若存在实数x,y,使得OP=xOA+yOB,则 关系 定 相平行或重合 平行于同一个 OP与OA,OB共面； 义 ⑤共面的三个向量的起点和终点一定共面； 特征 方向 或 的向量 ⑥若向量a,b共线，则a与b所在直线平行； 特例 零向量与任意向量 ⑦向量a,b,c共面就是它们所在的直线共面. 其中正确命题的序号是 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 [听课记录] 题点一 空间向量的概念辨析 [典例] (1)下列关于空间向量的说法中正确 的是 ( A.若向量a,b平行，则a,b所在的直线平行 B.若a=|b|,则a,b的长度相等而方向相同 或相反 C.若向量AB,CD满足|AB1>|CD|,则AB >CD D.相等向量其方向必相同 (2)(多选)下列命题为真命题的是 A.若空间向量a,b满足a=|b,则a=b B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有AC …/方法技巧/ =A1C1 空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平 C.若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则 面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向 m=p 量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓 D.空间中任意两个单位向量必相等 展为空间向量的相关概念， 2 第一章空间向量与立体几何 对点训练 /方法技巧/ 进行线性运算时应注意的4个法则 1.下列说法正确的是 ( ) A.任一空间向量与它的相反向量都不相等 (1)向量加法的三角形法则：“首尾相接，指向 B.将空间中所有的单位向量平移到同一起点， 终点”； 则它们的终点构成一个圆 (2)向量减法的三角形法则：“起点重合，指向 C.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能 被减向量”； 比较大小 D.不相等的两个空间向量的模必不相等 (3)平行四边形法则：“起点重合”； 2.如图，在平行六面体ABCD- D (4)多边形法则：“首尾相接，指向终点” AB1C1D1中，下列四对向量： ①AB与C1D1;②AC1与BD1； 对点训练 ③AD1与C1B;④A1D与B1C 1.（多选)如图，在长方体 其中互为相反向量的有n对，则n等于( ABCD-A1B1C1D1中，下列 A.1 B.2 C.3 D.4 各式运算结果为BD1的是 题点二 空间向量的线性运算 ( [典例]如图，在空间四边形 A.AD-AA-AB ABCD中，已知G为△BCD 的重心，E,F,H分别为边 B.BC+BB1-D1CI CD,AD和BC的中点，化简 H C.AD-AB-DD 下列各式： )AG+3B证-aC: D.BD1-AA+DD1 2.如图，在三棱锥O-ABC (2)2(A店+AC-AD): 中，设OA=a,O店=b,0C 0 (3)3A店+号AC+号Ad, =c,若AN=NB,BM= [听课记录] 2MC,则MN= A.a+ 1 2 B.- 1 2 2a- -b+ 6 D.- 2b十 6 2a+ 题点三 空间向量的共线、共面问题 [典例们 如图所示，己知矩形 ABCD和矩形ADEF所在的 平面互相垂直，点M,N分别 B 在对角线BD,AE上，且BM=号BD,AN 号AE,求证：向量M,Cd.D°共面。 数学选择性必修第一册 [听课记录] 对点训练 1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，G为△BC1D 的重心，证明：A1,G,C三点共线 2.已知A,B,C三点不共线，O为平面ABC外一 点，且点M满足Oi=号(OA+O店+OC)., …/方法技巧/ (1)判断MA,MB,MC三个向量是否共面； 1.证明三点共线的方法 (2)判断点M是否在平面ABC内. (1)若PA=入PB,则P,A,B三点共线. (2)对空间任意-点O,若OP=xOA+yOB 且x十y=1,则P,A,B三点共线： 2.证明空间向量共面的方法 (1)设法证明其中一个向量可以表示成另两 个向量的线性组合，即若p=0十b,则向 量p,a,b共面. (2)若存在有序实数组(x,y,之)，使得对于空间 任-点O,有OP=xOA+yOB十之OC,且x十 y十之=1成立，则P,A,B,C四点共面. 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.如图，在四面体ABCD中，点M 2.已知四边形ABCD,O为空间任意一点，且AO十 是棱BC上的点，且BM=2MC, OB=DO+OC,则四边形ABCD是 () 点N是棱AD的中点.若MN= A.空间四边形 B.平行四边形 xAB+yAC+之AD,其中x,y, C.等腰梯形 D.矩形 之为实数，则xy之的值是 )3.(多选)已知平行六面体ABCD-A'B'C'D',则 c D.5 下列四式中正确的有 A.AB-CB=AC 第一章空间向量与立体几何 B.AC-AB+BC+CC 课堂小结 C.AA-CC" D.AB+BB+BC+C'元=AC 重要思想与方法 4.设a,b,c是空间三个不共面的向量，m=a一b十 (1)空间向量的运算法则为三角形法则与平行四边形法则. c,n=xa十b十c,若m,n共线，则x= (2)应用向量共线的充要条件可解决三点共线问题，利用向 ,y= 量共面的充要条件可证明四点共面、线面平行等. 5.光岳楼，亦称“余木楼”“鼓 (3)本节应用的数学思想为类比、转化与化归. 楼”“东昌楼”，位于山东省聊 城市，始建于公元1374年， 空间向量的有关概念 空间 在《中国名楼》站台票纪念册 向量 三角形法则 中，光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、 及其 加减运算 平行四边形法则 线性 滕王阁、蓬莱阁、镇江楼、甲秀楼、大观楼共同组 运算 共线向量 成中国十大名楼.其墩台为砖石砌成的正四棱 数乘运算 共面向量 台，直观图如图所示，其上缘边长与底边边长之： 比约为，则H+F店+DC- 温馨提示 请做课时分层检测（一） 1.1.2 空间向量的数量积运算 【课标要求】1.掌握空间向量的数量积.2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.3.能初步 运用数量积解决空间中的垂直、夹角及距离问题， 【素养要求】在理解并应用空间向量数量积的过程中，掌握相关概念和方法，培养学生的数学抽象和 数学运算素养. 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)空间两个向量的夹角 (3)对空间任意两个非零向量a,b,都有（一a,b) 如图，已知两个非零向量a,b,在 B =(a,-b〉=元(a,b〉. ( b : 空间中任取一点O,作OA=a, 2.如图，在正方体ABCD D 定义 OB=b,则 叫做向量a, 0 a A A1B1C1D1中，下列各对向量 ( b的夹角 的夹角为135°的是 记法 A.(AB,A C1) 范围 0≤a,b)≤元，当(a,b)=受时， B.〈AB,C1A1〉 C.(AB,A1D1〉 即时小练 D.(AB,BA) 1.判断正误 (二)空间向量的数量积 :1.空间向量的数量积的定义 (1)向量AB与CD的夹角不一定等于向量AB与 DC的夹角 已知两个非零向量a,b,则 叫做a,b (2)若向量AB与CD的夹角为a,则直线AB与： 定义 的数量积，记作a·b,即a·b= 零向 量与任意向量的数量积为0，即0·a= CD所成的角也为a. (