1.1.1 空间向量及其线性运算-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册五维课堂Word课时作业（人教A版2019）

[基础达标练] 1．(多选)判断下列各命题的真假，其中假命题为(　　 ) A．若向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反 B．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 C．两个有公共终点的向量，一定是共线向量 D．有向线段就是向量，向量就是有向线段 解析：ACD　[A.假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；B.真命题；C.假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；D.假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．] 2．已知向量，，满足||＝||＋||，则(　　) A.＝＋ B.＝－－ C.与同向 D.与同向 解析：D　[由||＝||＋||＝||＋||，知C点在线段AB上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以与同向．] 3．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则(　　) A．x＝1，y＝ B．x＝，y＝1 C．x＝1，y＝ D．x＝1，y＝ 解析：D　[因为＝＋＝＋＝＋(＋)，所以x＝1，y＝.] 4．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任意一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件是(　　) A.＝2－－ B.＝＋－ C.＝＋－ D.＝＋＋ 解析：B　[设＝x＋y＋z，若x＋y＋z＝1，则点M与点A，B，C共面．对于A：x＋y＋z＝2－1－1＝0≠1，不满足题意；对于B：x＋y＋z＝1＋1－1＝1，满足题意；对于C：x＋y＋z＝1＋－＝≠1，不满足题意；对于D：x＋y＋z＝＋＋＝≠1，不满足题意．] 5．(多选)已知平行六面体ABCD­A′B′C′D′，则下列选项中正确的有(　　) A.－＝ B.＝＋＋ C.＝ D.＋＋＋＝ 解析：ABC　[作出平行六面体ABCD ­A′B′C′D′的图象如图， 可得－＝＋＝，则A正确；＋＋＝＋＋＝，则B正确；C显然正确；＋＋＋＝＋＝，则D不正确．综上，正确的有ABC.] 6．已知不共线向量e1，e2，e3，＝e1－2e2＋e3，＝－5e1－6e2＋4e3，＝7e1＋2e2－2e3，则一定共线的三个点是(　　) A．O，P，Q B．P，Q，R C．O，Q，R D．O，P，R 解析：D　[若∥，则存在唯一实数λ1，使得＝λ1，即e1－2e2＋e3＝λ1(－5e1－6e2＋4e3)， 所以无解，所以，不共线，则O，P，Q三点不共线； 若∥，则存在唯一实数λ2使得＝λ2，即7e1＋2e2－2e3＝λ2(－5e1－6e2＋4e3)， 所以无解，所以，不共线，则P，Q，R三点不共线； ＝＋＝－4e1－8e2＋5e3，若∥，则存在唯一实数λ3使得＝λ3，即－4e1－8e2＋5e3＝λ3(7e1＋2e2－2e3)，所以无解，所以，不共线，则O，Q，R三点不共线；＝＋＝2e1－4e2＋2e3＝2，所以∥，又点P为两向量的公共端点，所以O，P，R三点共线．] 7．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，若＝x·＋2y·＋3z·，则x＋y＋z＝　____________　. 解析：如图所示，有＝＋＋＝＋＋(－1)·. 又因为＝x·＋2y·＋3z·， 所以解得 所以x＋y＋z＝1＋－＝. 答案： 8．已知点G是△ABC的重心，O是空间任意一点，若＋＋＝λ，求λ的值． 解：如图，连接CG并延长交AB于D， 则D为AB中点，且CG＝2GD， 所以＋＋＝＋＋＋＋＋＝3＋＋＋＝3＋2＋＝3－＋＝3. 所以λ＝3. [能力提升练] 9．(多选)已知正方体ABCD ­A1B1C1D1的中心为O，则下列结论正确的是(　　) A.＋与＋是一对相反向量 B.－与－是一对相反向量 C.＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量 D.－与－是一对相反向量 解析：ACD　[∵O为正方体的中心，∴＝－，＝－，故＋＝－(1＋1)，同理可得＋＝－(1＋1)，故＋＋＋＝－(1＋1＋1＋1)，∴AC正确；∵－＝，1－1＝，∴－与1－1是两个相等的向量，∴B不正确；∵1－＝1，－1＝＝－1，∴1－＝－(－1)，∴D正确．] 10．若a，b是平面α内的两个向量，则(　　) A．α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R) B．若存在λ，μ∈R使λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0 C．若a，b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R) D．若a，b不共线，则α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R) 解析：D　[当a与b共线时，A项不正确；当a与b是相反向量，λ＝μ≠0时，λa＋μb＝0，故B项不正确；若a与b不共线，则与a，b共面的任意向量可以用a，b表示，对空间向量则不一定，故C项不正确，D项正确．] 11．在空间四边形OABC中，若E，F分别是AB，BC的中点，H是EF上一点，且EH＝EF，记＝x ＋y ＋z ，则(x，y，z)＝　_________　. 解析：如图，因为EH＝EF，E，F分别是AB，BC的中点，所以＝＋＝＋＝＋(－) ＝＋＝×(＋)＋×(＋)＝＋＋，所以(x，y，z)＝ 答案： 12．已知M，G分别是空间四边形ABCD的两边BC，CD的中点，化简下列各式： (1)＋＋； (2)＋(＋)； (3)－(＋)． 解：(1)如图所示，＋＋＝＋＝. (2)取BD的中点H，连接MG，GH. 因为M，G分别为BC，CD的中点，所以MG＝BH，MG∥BH， 所以BMGH为平行四边形，所以(＋)＝＋＝， 从而＋(＋)＝＋＝. (3)分别取AB，AC的中点S，N，连接SM，AM，MN，则易证得ASMN为平行四边形，所以(＋)＝＋＝， 所以－(＋)＝－＝. [素养培优练] 13．(多选)若a，b，c不共面，则(　　) A．b＋c，b－c，a共面 B．b＋c，b－c,2b共面 C．b＋c，a，a＋b＋c共面 D．a＋c，a－2c，c共面 解析：BCD　[∵2b＝(b＋c)＋(b－c)，∴b＋c，b－c,2b共面，故B正确； ∵a＋b＋c＝(b＋c)＋a，∴b＋c，a，a＋b＋c共面，故C正确； ∵a＋c＝(a－2c)＋3c，∴a＋c，a－2c，c共面，故D正确． 对于A选项，若设b＋c＝λ(b－c)＋μa，则b＋c＝λb－λc＋μa，得故无解，因此b＋c，b－c，a不共面．] 14.如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，点H为PC上的点，且＝，点G在AH上，且＝m，若G，B，P，D四点共面，则m的值为　______　. 解析：连接BD，BG(图略)．∵＝－，＝， ∴＝－， ∵＝＋，∴＝＋－＝－＋＋. ∵＝，∴＝，∴＝(－＋＋)＝－＋＋. 又∵＝－，∴＝－＋＋， ∵＝m，∴＝m·＝－＋＋， ∵＝－＋＝－＋， ∴＝＋＋. 又∵G，B，P，D四点共面，∴1－＝0，m＝. 即m的值是. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $$