课时分层检测(7) 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加，减运算的坐标表示&(8) 平面向量数乘运算的坐标表示-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

能力提升练 1.C 2.CD 3.C 4.BCD 则Dò=Aò-A市=xAi-市=x(a+子）-b 5.(1)证明因为a=b=c=1, 且a,b,c之间夹角均为120°， =a+(号x-1)6 所以(a-b)·c=a·c-b·c 因为D,O,N三点共线， =a1ccos120°-bc·cos120°=0， 所以DO∥DN,存在实数红使D=DN, 所以(a一b)⊥c. (2)解因为k知十b十c>1, 则a+（ 号-1）b=(a-b) 所以(ka+b十c)·(ka十b十c)>1, 即k2a2+6+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1. 因为a·h=a·c=b·c=c0s120=-2, 由于向量a,b不共线，则】 2 (31-1=-4, 所以k一2k>0,解得k<0或k>2, 即k的取值范图是（一∞，0）U(2,十∞). λ= 3 解得 14' 创新拓展练 6 ACD 4= 课时分层检测（六） 所以0-=是成.a成-i, 基础达标练 1.D2.A3.A4.A5.B 所以A0:OM=是 6.(-∞，4)U(4,十∞)[若{a,b}能作为平面内一组基底，则a与b 创新拓展练 品压 解(1)设d0-入C正，因为A正-AB, 4 a+之b之×2di=a+之b-(a-b=a+h.] 所以C克-+A范-i+A店=Ci+(C-C)=Ci+ 8.a一2b[易知a,b不共线，所以设c=am十b(x,y∈R),则a十b! 成=+片×2市-+市. =x(3e1-2e2)+y(-2e1+e)=(3.x-2y)e1+(-2x+y)eg=7e1 一6.又因为60不共绕，所以22，”4，解得{2.所 所以ò-成-i+动列） 因为A,O,D三点共线， 以c=a-2b.] 9.(1)证明若a,b共线，则存在A∈R,使a=b,则e1-2e=A(e1十 所以(+）=1，解得=号 3e2). 由ee不共线，得1，。 1, 所以d-号正.所以是-4 13以=-2，即 (2)由题意知，A店·AC-AB·AC1cos∠BAC=2×√T× 所以入不存在，故Q与b不共线，可以作为一组基底 5=5 (2)解由4e1一3ee=a十b， 22 得4e1-3e-λ(e1-2e)+(e+3e,) =(a+)e1+(-2λ+3r)e. 设A0=市=号(A+A高=台（在+AC): 最士=-3，所以=3， 所以士4=4， 因为C,0E三点共线，所以台(+1）-1， 1=1. 故所求A,4的值分别为3和1. 解得一气 10.证明图为AD=AB+BC+CD=a+5b+(-2a+8b)+3(a-b): =2a+10b=2(a十5b)=2AB,所以AD与AB共线. 所以A亦=台酒+0=千与市+0 又因为AD与AB有公共点A, 所以A,B,D三点共线. 所以Ad.C=(店+Aò.(C+xA) 能力提升练 1.C 2.AD 千xA+(-1)A.A-C] 3号ab[设e1+e=m十b(mn∈R因为a=6+2eb= 4x+50x-1)-1]=9-16 x+1 一e1+e2,所以e1+e2=m(e1十2e2)十n(-e1十e2)=(m-n)e1十 =9(z+1)2-34(x+1)+25 (2n+n)e, x+1 因为e1,e2不共线， 25 2 =9(x+1)+3-34≥2V9x25-3M=-4, 所以n一n=1；解得 m=3 2m十n=1, 当且仅当9（中1》=马即=号时，等号成立 n=31 所以AO.C正的最小值为一4. 课时分层检测（七） 4.等腰[OA.O=Oi.G,OA.(Oi-心)=OA.C=0, 础达标练 1.C2.A3.D4.A5.A 上BC.AO=AAB+AC,点0在∠BAC的平分线6.1，-2》[易知i=（1,0,J=(0,1),则a=(1,-2).门 上A0既是BC边的高，地是∠BAC的平分线△ABC是等展：7.1AB2,4)=1,3)=(1,D,且AB=a,÷2 三角形.门 解得x=1.] 5.解(I)因为AN=子AB, 18.1[由平面向量基本定理，可知①正确：例如，a=(1,0)≠(1,3)，但 1=1,故②错误：因为向量可以平移，所以a=(x,y)与a的起点是不 所以示=成=子， 是原点无关，故③错误：当a的终，点坐标是(x,y)时，a-(x,y)是以 a的起点是原点为前提的，故④错误，] 所以D成=A-A市=a-b, 9.解设a=(a1,ae),b=(b,b), c=(c1,cg), 因为BM=号BC,所以成=号武-号A市-号0， 别a=acos45=2x号-E. 所以A成i=A店+B成=a+号b, a=asim45°=2X9=2, 2 (2)图为A,O,M三点共线，所以AO∥AM, 设AO=AAM, 4=bos120=8×()- 283 b,=bsim120=-3×5_3E 能力提升练 2 2 1.D2.D G=1cos(-30)=4x5=25. 3.(号9) [由题意知Di-(5,4,CA=(-3,6),DC=(4,0).由 1 =csim(-30)=4×(-2）--2, B,P,D三点共线可得DP-λDB=(5入，4).又因为C产-D-D记 =(5入-4,4)，由CP与CA共线得，(5入-4)×6+12入=0.解得A= 因此a=(√2，√2)，b= 33√3\ 22 ,c=(23,-2) 子，所以D币=号D亦=(9,9)所以P的坐标为（号，曾）门 m2+元2=1， 4. (受，-7）[：C=合成，A为BC的中点，C=酥，设 8 10.解 设a=(m,n),b=(p,g),则有 p2+g2=1, n十p=1, C(xcy),则(xe-2,ye十1)=(1，-5)，.C点的坐标为(3，-6)， (n十g=0, 又C正=D,且E在DC的延长线上，应=-十元.设 m=p=2: n=p=, E(x,y),则(x-3,y十6)=一 年(4-，-3-y),得 解得g=- 或 2 q-2 x-3= 4(4-x), 解得 x一 3’故点E的坐标是 2 21 +6=(-8-, =一7 8 3,-7）] 5.解以A为原点，AB,AD所在直线分别为x 轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图. 能力提升练 则B(2,0),D(0,1),E(1,1), 1.D2.C 设P(x,x),0x1, (4) 3.(2,号) [设b=(x,y),由新定义及a十b=a☒b,可得(2十x,y- DB=(2,-1),AD=(0,1),AP=(x,x), 4)=(2x,一4v),所以2+x=2x,y-4=-4y,解得x=2,y=4 ,所 AP=λDi+AD,∴.(x,x)=(2λ-A) 以向量=(2，号)门 x=2, -1. 3x 4,解(1)因为AB=(1,2),AC-(2,1), \=2· 所以OP=(1,2)+(2,1)=(3,3) A十u=2.0≤x≤1，∴A十∈[0,2]， 即点P的坐标为(3,3). 故当x=1,即点P与点E重合时，λ十4取得最大值，为2. (2)设点P的坐标为(x,y), 16.解(1)a=(1,2),b=(2,k),c=(8,7), 因为PA+PB+PC=0, ∴.b+c=(10,k+7), 又a∥(b+c),.1×(k+7)-2×10=0, 又PA+PB+PC-(1-x,1-y)+(2-x,3-)+(3-x,2-y)= 解得k=13,.当k=13时，a∥(b十c). (6-3.x,6-3y), (2)当k=1时，b=(2,1).c=na十b, 所以80：解得： 即(8,7)=(n+21,2m十n), {y=2. 所以，点P的坐标为(2,2)，故OP=(2,2). “”:舞得 {n=3. 课时分层检测（八） 课时分层检测（九） 基础达标练 基础达标练 1.A2.B3.C4.B5.AP 1.AD 2.A 3.A 4.A 5.ABC 6()政（一号）设与a平行的位量为e=(,设4”0] 3 3 x= lx= 因为a⊥(a一b),根据向量垂直的充要条件可得 则v: 5 或 5， 1×(+1)+0×(-m)=0, 4 4 y=-5 所以m=一1.] ,8.8√2[易得a·b=2×(-1)+4×2=6,所以c-(2,4)一6(-1,2) 7.(-4,-8)[a∥b,1×m-(-2)X2=0,.m=-4,∴.a=(1, 2),b=(-2,-4),∴.2a+3b=2(1,2)+3(-2,-4)=(-4,-8).] =(8,-8),所以c=√82十(-8)2=8√2.] 8.{mm∈R,且m≠6}[A,B,C三，点能构成三角形，.AB,AC不 9.解(1)因为a=(1,2),b=(1,-1), 所以2a十b=(3,3),a-b=(0,3). 共线.又AB=(1,1),AC=(m-2,4),.1×4-1·(m-2)≠0.解 得m≠6.∴n的取值范图是{mn∈R,且m≠6}.] 所以cos0=(2a+b）·(a-b)_92 9.解ma十4b=(2m,3n)十(-4,8)=(2m一4,3n十8)，a-2b=(2, T2a+ba-bTg√22 3)-(-2,4)=(4,-1), 因为ma十4b与a-2b共线， 因为0∈0，]，所以0=元 4 所以4(3n十8)-（一1）×(2m一4)=0，得n=-2. (2)ka-b=(k-1,2k+1), 当n=一2时，a十4b=(一8,2)， 依题意(3,3)·(k一1,2k十1)=0， 所以ma+4b=-2(a-2b), 所以3k-3+6k十3=0. 所以ma十4b与a一2b方向相反， 所以k=0. 10.解(1)设B(x1,y1),D(x2,y2),点M(x0,yo). 10.解(1)由题意知AB=(3,5),AC=(-1,1), 因为AB=(4,3),A(-1,-2), 则AB+AC=(2,6),AB-AC-(4,4). 所以(1+1，y+2)=(4,3), 所以巴士=所以=3： 所以AB+AC=2√0，AB-AC=4N2. 0y1+2=3, y1=1, 故所求的两条对角线的长分别为2√而，4√瓦. 所以B(3,1).同理可得D(-4,-3), (2)由题意知，OC=(-2,-1), 又点M为线段BD的中点， AB-10C=(3+2,5+t). ∴x=1十2=-2，y=122--1. 由(AB-tC)·OC=0, 2 2 得(3+2,5十t)·(-2,-1)=0, 因此中点M的坐标为(-2，-1)） 从而51=-1，所以1=-马 (2)PB=(3,1)-(2,y)=(1,1-y), 能力提升练 BD=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4, 1.C2.A 因为P,B,D三点共线，所以PB∥BD 3.-2或1(-∞，-2)U(-2,0)U(6,十∞)[(1)由向量a=(1, 所以-4+71一0=0，所以y=马 1十k),b=(k,2),所以2a-b=(2-k,2k),又2a-b与b平行，所以 2(2一k)一2k2=0,解得k=一2或k=1. 284班级 姓名 得分 课时分层检测（七） 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量加、减运算的坐标表示 基础达标练。… :9.在平面直角坐标系xOy 0 中，向量a,b,c的方向如 30 1.如果用i,j分别表示x轴和y轴方向上的单 a 图所示，且|a|=2,b|= 6 45 位向量，且A(2,3),B(4,2),则AB可以表示 3,c|=4,分别计算出它 O30 为 ( 们的坐标. A.2i++3j B.4i+2j C.2i-j D.-2i+j 2.己知向量a=(2,4),a十b=(3,2),则b等于 A.(1,-2) B.(1,2) 10.若向量a=b=1,且a十b=(1,0),求a C.(5,6) D.(2,0) 与b的坐标. 3.若{i,j}为正交基底，设a=(.x2十x十1)i- (.x2-x+1)j(其中x∈R),则向量a对应的 坐标位于 ( A.第一、二象限 B.第二、三象限 …0 能力提升练 C.第三象限 D.第四象限 4.已知向量AB与a=(6,一8)的夹角为π，且 1.如果将04=3,1 绕原点O逆时针方向 2’2 |AB1=|a,若点A的坐标为(-1,2)，则点 旋转120°得到OB,则OB的坐标是 B的坐标为 ( ) A.(-7,10) B.(7,10) B. 2-2 C.(5,-6) D.(-5,6) 5.在平行四边形ABCD中，A(1,2),B(3,5), C.(-1,3) 31 2’2 AD=(-1,2),则AC+BD= ( ) A.(-2,4) B.(4,6) 2.已知A(7,2),B(1,4),直线y= 2ax与线段AB C.(-6,-2) D.(-1,9) 交于C,且AC=CB,则实数a的值为 ( 6.设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分 别为i,j,若a=i-2j,则向量a用坐标表示 A.2 B.1 c D号 为 3.对于向量m=(x1y1),n=(x2y2),定义 7.若向量a=(2x-1,x2+3.x-3)与AB相等， m☒n=(x1x2,y1y2).已知a=(2,-4),且 己知A(1,3),B(2,4),则x a十b=a☒b,那么向量b等于 8.已知向量i=(1,0),j=(0,1),关于坐标平4.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,1), 面内的任一向量a,给出下列四个结论： B(2,3),C(3,2). ①存在唯一的一对实数x,y,使得a=(x,y): (1)若OP=AB+AC,求点P的坐标； ②若x1,x2,y1,y2∈R,a=(x1,y1)≠ (2)若PA+PB+PC=0,求OP的坐标. (x2y2),则x1≠x2,且y1≠y2 ③若x,y∈R,a=(x,y),且a≠0，则a的起 点是原点O; ④若x,y∈R,a≠0，且a的终点坐标是 (x,y),则a=(x,y). 其中，正确结论有 个 163 班级 姓名 得分 课时分层检测（八） 平面向量数乘运算的坐标表示 :9.已知向量a=(2,3),b=（-1,2),若ma十4b …0基础达标练 0 与a一2b共线，求m的值，并判断ma十4b与 1.已知向量a=(1,2),2a+b=(3,2),则b= a一2b是同向还是反向. ( A.(1,-2) B.(1,2) C.(5,6) D.(2,0) 2.在△ABC中，点P在BC上，且BP=2PC, 点Q是AC的中点，若PA=(4,3),PQ=(1, 5),则BC等于 ( A.(-2,7) B.(-6,21) C.(2,-7) D.(6,-21) 3.向量PA=(k,12),PB=(4,5),PC=(10,:10.已知向量AB=(4,3),AD=(-3,-1),点 ),若A,B,C三点共线，则的值为( A(-1,-2). A.-2 B.11 (1)求线段BD的中点M的坐标； C.-2或11 D.2或11 (2)若点P(2,y)满足点P,B,D三点共线， 4.已知向量a=(1-sn0,1),b=(21+sin), 求y的值. 若a∥b,则锐角0= ( A君 B. c D.12 5.(多选)已知向量a=（x,3),b=(-3,x),则 下列叙述中，不正确的是 ( A.存在实数x,使a∥b B.存在实数x,使(a十b)∥a C.存在实数x,m,使(ma十b)∥a D.存在实数x,m,使(ma十b)∥b …0 能力提升练。… 6.与向量a=(-3,4)平行的单位向量是 1.设向量a=(1,-3),b=（-2,4),c=(-1, 7.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且 2),若表示向量4a,4b-2c,2(a-c),d的 a∥b,则2a+3b等于 有向线段首尾相连能构成四边形，则向量 8.设0A=(2,-1),OB=(3,0),OC=(m,3), d= ( ) 若A,B,C三点能构成三角形，则实数m的： A.(2,6) B.(-2,6) 取值范围是 C.(2,-6) D.(-2,-6) 164 班级 姓名 得分 2.已知平面直角坐标系内的两个向量a=(3,6.已知向量a=(1,2),b=(2,k),c=(8,7). -2),b=(1,m-2),且平面内的任一向量 (1)当k为何值时，a∥(b+c)? c都可以唯一地表示成c=a+b(入，4为实 (2)当k=1时，求满足条件c=m0十b的实 数)，则实数m的取值范围是 数m,n的值. A.(-∞，2) B.+o C.(-∞，-2)U(-2,+∞) D.(-,g)u(g+ 3.如图所示，在四边形ABCD 中，已知A(2,6),B(6,4),C (5,0),D(1,0),则直线AC OD 与BD交点P的坐标为 4.平面上有A(2,-1),B(1,4),D(4,-3)三 点，点C在直线AB上，且AC-号BC,连接 DC延长至E,使C=}|E方1，则点E的 坐标为 5.在矩形ABCD中，AB=2,AD=1,E为DC 边的中点，P为线段AE上的动点，设向量 AP=入DB十uAD(入，u∈R),求入十u的最 大值 165