6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

3.(2-sin2,1-cos2)[设A(2,0),B(2,1),由题 意知劣孤PA长为2，∠ABP=2.设P(x,y),则 是尚向0函=6，-4.0丽=0，-3.0元=行-，-9 x=21os(2-)=2-in2,y=1+1X 可得AB=O市-OA=(-3,1),C=O-OC=(m-5,m).若点A, sim(2-） =1-cos2,∴.OP的坐标为(2-sin2, B,C不能构成三角形，则A,B,C三点共线，可得AB∥CB,所以 1-cos2).] -3m=m-5,解得m=号.] 4.(-3,-5AC-AB+Ai,A市=A花-A店=(-1，-1)，2.解：a=1,2,b=(-3,2), .BD=AD-AB=(-3,-5).] ∴.ka+b=(k-3,2k+2),a-3b=(10,-4). 580[由6128-（50，可释g8:解得 由题意得(k一3)（一4）一10(2k十2)=0， 1q=-2, .(1,2)十m=(1,2)+(1,-2)=(2,0).] 解得k=一3 6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示 必备知识·自主梳理 此时a+b=-专a+b=-子（a-30, 1（xAv)2.x1y2-xey1=0 即时小练 当k=一号时，(a十b)/(a一3b),并且它们的方向相反 1.A[图为a=(2,4),b-(-1,1),所以2a-b=(2×2-(-1),2X:题点三 4-1)=(5,7).] 典例解设点P的坐标为(x,y),AP=2P. 2.D[A,B,C中各对向量都不共线，D中b=√2a,两个向量共线.] 当P在线段AB上时，AP=2PB, 3.A[:a=Ai=(号2）-（合4）=(-是，-2∴a=a .(x-3,y+4)=2(-1-x,2-y), {3222解得红=3 {y+4=4-2y, (y=0, 4.9[.a=(-6,2),b=(n,-3),且a∥b,.-6X(-3)-2m=0, 则m=9.] “点P的坐标为(30） 关键能力·合作探究 题点一 当P在线段AB延长线上时，AP=一2PB, 典例解法一：待定系数法 ∴.(x-3,y+4)=-2(-1-x,2-y), 由A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4), ∫x一3=2+2x,解得二8， y+4=-4+2y, 可得CA=(-2,4)-(-3,-4)=(1,8), ∴点P的坐标为(-5,8). CB=(3,-1)-(-3,-4)=(6,3), 所以CM=3CA=3(1,8)=(3,24), 综上所选，点P的坐标为（号0）或(-5,8）. CV-2CB-2(6,3)=(12,6). :拓展 设Mx1,y1),N(x22), 解因为AP-3PB, 则CM=(x1+3,y1十4)=(3,24)， 所以(x-3,y十4)=3(-1-x,2-y), 解得x1=0,y1一20： CV=(x2十3，y2+4)=(12,6), 所以二633解得人二0： 1y+4=6-3y, y=2 解得x2=9,=2, 所以M(0,20),N(9,2), 所以点P的坐标为(0，) MN=(9,2)-(0,20)=(9,-18). :对点训练 法二：几何意义法 解，由题设知，A,B,P三点共线，且AB=3A巾， 设点O为坐标原，点 设A(x,0),B(0,y), 则由CM-3CA,C-2CB ①点P在A,B之间，则有AB=3AP, 可得OM-OC=3(OA一OC), (一x,y)=3(-2-x,3),解得x=一3，y=9, ON-OC=2(0B-0C), 点A,B的坐标分别为（一3,0），(0,9). 从而OM=3OA-2(OC, ②，点P不在A,B之间，则有AB=一3AP, ON=2 OB-OC. 同理可求得点A,B的坐标分别为(-号，0），0，-9). 所以OM=3(-2,4)-2(-3,-4)=(0,20), OV=2(3,-1)-(-3,-4)=(9,2), 综上所选，点A,B的坐标分别为(-3,0，(0,9)或（号，0） 即点M(0,20),N(9,2), (0,-9) 故MN=(9,2)-(0,20)=(9,-18). 素养演练·提升技能 对点训练 L.C[因为a∥b,所以cosa+2sina=0,所以tana= 1.A[.a=(5,2),b=(-4,-3),且c满足3a-2b十c=0,∴.c= ,则2 sin ac0sa 2b-3a=2(-4,-3)-3(5,2)=(-8-15,-6-6)=(-23,-12).] 2(-1,-) [设P(x,y),∴MP=(x-3,y+2),M-(-8,1),由 2sin acos a 2tan a sin a+cos a tan'a1 字门 应-号本得一3 (-)+1 2.B[由a/,得5cosa-3se=0,即1ma=号] 题点二 ,3.一3[依题意可知2n十n=9,m一2n=一8，解得n=2,n=5,所以 典例证明设E(x1y),F(x2,). m-n=-3.】 由题意知AC=(2,2),BC=(-23),AB=(4,-1), 号) 4. [设OA=(m,n),则OB=(-n,m),所以2OA+ 恋-流-（号号） 23 亦心-（号小 2 可成=(2m一，2十m）=（1,9,即21n二：解得 (m= 因此 1n十2n=9, 5 5.解图为x=a十(2+1)b=(1,2)+(+1)(-2,1) =(-22-1,t2+3), ∴E萨=(y)-(1)=(3,-专）小 8 y=-a+b=-1,2)+(-2,0 k 4×(号）-(-Dx令-0萨/成 假设存在正实数k,t使x∥y, 245 则(-2r-D(冬+）-(2+3（←右-2）-0 所以点C的坐标为(0,5)， 从而AC-(-2,4),BD=(-4,2), 化简得1+1=0，即P+4十6=0. 设AC与BD的夹角为0， 因为k,是正实数， AC·BD 故满足上式的，上不存在， 则cos0= 所以不存在这样的正实数k,,使x∥y ACI BDI 4 6.3.5平面向量数量积的坐标表示 (-2)×(-4)+4×2 √(-2)2+4F×√（-4)2+2 5 必备知识·自主梳理 T12十V12 √/x+vx+y明 V(2-x1)+(w-y) 所以矩形的两对角线所夹锐角的余弦值为号 1xg十y1y2 x2十y1y2=0 对点训练 √xi十y√十喝 [依题意，得c=a十kb-(3十k,1),又a⊥c,所以a·c=0,即 即时小练 1.A[a·b=(1,1)·(-1,2)=1×(-1)+1×2=1.] 303+0+1-0,解得k=-号.] 2D[由题意得cos0-=。-号又周为E[0,1所以2.解已却#ab,2》,)-1+2以 2×2 因为a与b的夹角为锐角，所以cos>0,且cos0≠1，所以a·b0 且a,b不同向. 3.号[因为ab,所以a:b=1X(-2)+3m=0,解得m=号] 2 由a·b>0,得≥-7，由a与b同向得入=2 关键能力·合作探究 题点 所以实数入的取值范国为(-之2）U(2,十∞)， 典例解析(1)：a=(1,一2)，b=(一3,4)，c=(3,2),a十2b=素养演练·提升技能 (-5,6),.(a十2b)·c=(-5)×3十6×2=-3. !1.CD[.a=(4,3),.2a=(8,6).又2a十b=（3,18),.b=(-5,12), (2)建立平面直角坐标系如图所示，则A(0,2), E(2,1),D(2,2),B(0,0),C(2,0), 0b=-20+30=16又a=5b=18ms0=写6-需 国为正=2i所以F(号，2） a协上的投影句量为-。故连B.CD] 所以B正=(2,1)， O(B)1 2.C由题意，得c=ah=（3+,4,所以a·c=3(3+0+4x4=25+ 2 3t,b·c=(3十t)+0×4=3十t.因为(a,c)=(b,c〉，所以cos(a,c〉= -(2）-(2,0)=(-2） 4 0se,即日台-合名25言2=3，解得1=5故造C] 5 所以壶.市=(2,1)×（←号2） :3,之[建立如图所示的平面直角坐标系，则C(3 =2×（号)+1x2=号 2),D(0,2),E(1,0).设F(0,y),则DE=(1,-2), 蓄案IC(2)号 CF=(-3,y-2).DE⊥CF,D2⊥CF,.-3 O(A)E 对点训练 2+4=0,解得y=2心F(02)∴AF=2.] 1.B[a+2b=(4,-3),a-3b=(-1,2),所以(a+2b)·(a-3b)=!4.2√5[：u=(2,0),u-v=(1,-5),∴v=(1,3)..u+v= 4×(-1)+(-3)×2=-10.] 2.解(1)设a=b=(入，2λ)（λ>0），则有a·b=λ十4=10，解得A=: (3,W3).∴u(u+)=6,u=2,u+v=2√5.设向量u和u+y 2,.a=(2,4). 的夹角为a,则cosa一 u·(u十v) 6 (2).b·c=1×2十2×(-1)=0，a·b=10, uu+v2×2W3 5.sina=2 2 .a(b·c)=0a=0,(a·b)c=10(2,-1)=(20,-10) 题点二 uX(u+w=uu中sina=2X2X号=2.] 典例(1)C(2)5[(1)AB=√4-1)+(1-2)-√0，AC1=5.11,[以点A为坐标原点，建立如图所示的平面 √(0-1)2+(-1-2)产=√10.又|BC1=√0-402+(-1-1)产= 直角坐标系，则A(0,0),B(4,1),C(6,4),根据 四边形ABCD为平行四边形，可以得到D(2, √20，∴.AB=AC,且AB2+AC2=BC2,因此△ABC为等腰直！ 角三角形 3),所以AB·AD=(4,1)·(2,3)=8+3=11.] 2):a+b=(x-1,y十2)=(1,3，则x=2,且y-1,a=(2,1),6.4.1&6.4.2平面几何中的向量方法 则a一2b=(4,-3),故a一2b=4+(-3)2=5.] 对点训练 向量在物理中的应用举例 ·必备知识·自主梳理 1.C[因为a=(2,1),所以a=√22+1卫=√5，所以a十2b2= a+2b)=a+46+4a·b=a2+4b2+4abc0s受=5+ 1.(1)平面几何问题(2)向量运算2.(2)x1x2十yy=0 (3) x1x?十y1y2 3.(4)数量积 16=21,故a十2b=√2I.故选C.] √xi+yiW/+y :即时小练 2.一5 ,[a=(1,2),b=(-3,4),∴c=a+b=(1-3入，2+4)，1.(1)×(2)×(3)√ c=c1-30+2+=25+10以+5=25(+号)+42.B[Bc中点为D(受，6）i-（-吾，5），所以市-5] 当=吉时，cm=2】 !3.C[(CA+CB)·(CA-CB)-CA2-CB=0,即CA1=CB1, ,.CA=CB,则△ABC是等腰三角形.] 题点 典例(1)D[因为a=(1,1),b=(1,-1),所以a+b=(1+A,1-λ)，a+ :4.120°[作OA=F,Oi=F2,O元=-G(图略)，则O元-OA+Oi,当 b=(1十4,1一4)，由(a十b)⊥(a十b)可得，(a十b)· F1=F2|=G引时，△OAC为正三角形，所以∠A(C=60°.从而 (a十b)=0,即(1+入)(1+)+(1-A)(1-a)=0,整理得：4= ∠A0B=120°，即0=120°.] 一1.故选D. !关键能力·合作探究 (2)①证明因为A(2,1,B(3,2),D(-1,4), :题点一 AB=(1,1),AD=(-3,3), !典例证明法一：设AD=a,AB-b, 所以AB·AD=1×(-3)+1×3=0, 则a=b,a·b=0. 所以AB⊥AD,即AB⊥AD. 又D成-Di+A正=-a+b,A亦=A店+B萨=b+2a,所以， ②解因为AB⊥AD,四边形ABCD为矩形， 所以AB=DC,设点C的坐标为(x,y), D庞-(b+）·(（-a+)=-合心-子a·b+号6 则由AB=(1,1),DC=(x+1,y-4), -号a3+号b2=0 得行解得8： 故AF⊥DE,即AF⊥DE 246第六章平面向量及其应用 /方法技巧/ (2)若B(4,5),P(1+3t,2十31)，则四边形OABP 坐标形式下向量相等的条件及其应用 能为平行四边形吗？若能，求t值；若不能，说明 (1)条件：相等向量的对应坐标相等」 理由. (2)应用：利用坐标形式下向量相等的条件，可 以建立相等关系，由此可以求出某些参数的值. 对点训练 已知点O(0,0),A(1,2) (1)若点B(3,31),OP=OA+OB,则t为何值时，点 P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？ 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.设向量0A=(1,-2),OB=(2m,-1),O元= 心位于(2,1)时，则OP的坐标为 (-2",0),m,n∈R,O为坐标原点，若A,B,C三 点共线，则m十n的最大值为 ( A.-3B.-2C.2 D.3 2.已知两个力F1=(1,2),F2=(-2,3)作用于平 面内某静止物体的同一点上，为使该物体仍保持：4.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线.若 静止，还需给该物体同一点上再加一个力F3,则： AB=(2,4),AC=(1,3),则BD= F3= ( )5.对于任意的两个向量m=(a,b),n=(c,d),规定 A.(1,-5) B.(-1,5) 运算“☒”为m☒n=(ac-bd,bc十ad).设m= C.(5,-1) D.(-5,1) (p,q),若(1,2)☒m=(5,0),则(1,2)+m= 3.如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆 心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置 温馨提示 请做课时分层检测（七） 在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆： 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 明学习目标 知结构体系 课标 掌握数乘向量的坐标运算法则，理解用坐标表示平面向 数乘运算 要求 量共线的条件，掌握三点共线的判断方法. 向量共线的判定与证明 平面向量数乘 运算的坐标表示 由平面向量共线求参数 素养 通过数乘向量的坐标运算，理解平面向量共线的坐标表 要求 示形式，发展数学运算及数学抽象素养. 向量共线的综合应用 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 1.平面向量数乘运算的坐标表示 ,即实数与向 即时小练 已知a=(x,y),那么a= 量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相：1.已知向量a=(2,4),b=（-1,1),则2a-b= 应坐标. 2.平面向量共线的坐标表示 A.(5,7)B.(5,9) C.(3,7)D.(3,9) 设a=(x1y1),b=(x2y2),其中b≠0，a,b共线2.下列各对向量中，共线的是 ( 的充要条件是 A.a=(2,3),b=(3,-2) 23 数学必修第二册 B.a=(2,3),b=(4,-6) (日- B.(3) C.a=(√2，-1)，b=(1,√2) D.a=(1,w2),b=(2,2) c. n.(--3 3.已知A店=a:且AG4,B任2小若入=2则4.已知a=(-6,2.b=(m,-3,且a/6,则m λa等于 关键能力·合作探究 讲练设计探究重，点 题点一平面向量数乘运算的坐标表示 题点二向量共线的判定及应用 [典例]已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),:[典例]已知A,B,C三点的坐标分别为(-1,0) 且CM=3CA,CV=2CB,求M,N及MN的 (3,-1),1,2),且A它=3AC,B京=号BC,求 坐标. 证：EF∥AB. …/方法技巧/… 利用向量线性运算的坐标表示解题的基本思路 (1)向量的线性运算的坐标表示主要是利用加、 减、数乘运算法则进行的，若已知有向线段两端 点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后再进行 向量的坐标运算. (2)利用向量线性运算的坐标表示解题，主要根 据相等向量的坐标相同这一原则，通过列方程 (组)进行求解. (3)利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求 /方法技巧/ 出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系 向量共线的判定方法 数法求出相应系数.其中体现方程思想的运用. (1)利用向量共线定理，由a=b(b≠0)推出 对点训练 a∥b. (2)利用向量共线的坐标表示，由x1y2一x2y1=0 1.已知向量a=(5,2),b=(-4,-3),若c满足 (a=(x1y1),b=(x2y2)直接判断a与b平行. 3a-2b十c=0,则c= ( A.(-23,-12) B.(23,12) 对点训练 C.(7,0) D.(-7,0) 知M(3,-2)N(-5,-MP=MN.则p.已知向拉OA-(3.-4),0B=(0.-3).0C (5一m,-3一m),若点A,B,C不能构成三角形， 点坐标为 则实数m的值为 24 第六章平面向量及其应用 2.已知a=(1,2),b=(-3,2),当实数k为何值时，[拓展]若将本例条件“1AP1=21PB1”改为“AP= (a+b)∥(a-3b),这两个向量的方向是相同还 3PB”,其他条件不变，求点P的坐标. 是相反 /方法技巧/ 解决向量中的分点问题 题点三求直线上点的坐标 关键是找出分得的两向量的关系，再根据向量 相等建立坐标之间的相等关系，把向量问题实 [典例]已知点A(3,一4)与点B(一1,2)，点P在直 数化，但要注意分点的位置情况. 线AB上，且AP1=2PB,求点P的坐标. 对点训练 已知经过点P(一2,3)的直线分别交x轴、y轴于 点A,B,且|AB=3|AP|,求点A,B的坐标. 25 数学必修第二册 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.已知向量a=(cosa,-2),b=(sina,1),且a∥：5.已知向量a=(1,2),b=(-2,1),k,t为正实数， b,则2 sin acos a等于 ( ) =a十+1b:y=一名a+b,间是否存在实 A.3 B.-3 C.- D. 数k,,使x∥y?若存在，求出的取值范围；若 2.已知向量a=(3,5),b=(cosa,sina),且a∥b, 不存在，请说明理由. 则tana等于 ( A. B号 c. n- 3.已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb= (9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为 4.设向量OA绕点O逆时针旋转得向量OB,且 2OA+OB=(7,9),则向量OB= 温馨提示 请做课时分层检测（八） 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 明学习目标 知结构体系 1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向 课标 量数量积的坐标运算」 平面向量数量积的坐标表示 要求 2.能运用坐标表示两个向量的夹角和模，会利用坐 平面向 平面向量长度（模）的坐标表示 标运算判断向量垂直. 量数量 积的坐 平面向量垂直的坐标表示 标表示 素养 通过推导数量积的坐标运算、求夹角和模及向量垂 平面向量夹角的坐标表示 要求 直的判断，发展逻辑推理素养及数学运算素养. 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 平面向量数量积的坐标表示 即时小练 设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的 夹角为0，则有： 1.若向量a=(1,1),b=(-1,2),则a·b=（) 坐标表示 A.1 B.2 C.3 D.4 数量积 a·b= 2.已知a=(-√3，-1)，b=(1,3),那么a,b的夹 模 lal= 或a2= 角0= 两点间 设P1(x1y1),P2(x2y2) 距离公式 A晋 B 则P1P2= 垂直 a⊥b台a·b=0台 c等 D. a·b 3.已知向量a=(1,3),b=(-2,m),若a⊥b,则 夹角 cos /a11b= m= 26