6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示（分层练习）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 该同步练习通过基础到综合的分层设计，覆盖平面向量坐标表示的概念理解、运算应用及拓展，实现从单一知识点到跨情境综合的巩固路径，培养数学运算与几何直观素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|坐标表示、单位向量、概念辨析|选择为主，直接考查定义与运算，如已知向量求坐标| |提升层|旋转坐标、向量关系、三角形应用|情境化问题，需推理运算结合，如三角形角平分线向量| |综合层|正六边形分解、最值问题|填空题型，构建模型解决问题，发展创新意识|

6.3.2平面向量的正交分解 及坐标表示 题型一 用坐标表示平面向量 1．（25-26高一下·河南·期中）已知，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设为坐标原点， ， 所以点的坐标为. 2．（2026·广东佛山·二模）已知平面上两点，若，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点的坐标，再应用向量的坐标运算求解. 【详解】设的坐标为 且平面上两点，又， 则，且， 所以，即得 则的坐标为. 3．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）已知，，则与方向相同的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据坐标求出，再求出，最后利用单位向量的公式求解． 【详解】， ， , 的单位向量为，故C正确． 故选：C． 4．（25-26高一下·上海·期中）已知角的终边经过点A，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB，若点B的坐标为，则点的横坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角函数的定义设出的坐标，通过旋转得到的坐标，结合列方程组求解. 【详解】由题知，，可设， 由题知，向量绕点逆时针旋转得到， 则，展开得， 解得，则的横坐标为. 5．（19-20高一下·湖南衡阳·阶段检测）若向量，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用待定系数法计算出，代入即可． 【详解】设，则 ，解得 故选：C 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，考查向量的坐标运算，属于基础题． 题型二 平面向量有关概念的坐标表示 6．（24-25高一下·全国·课后作业）已知为一组标准正交基，，，则在基下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】代入进行线性运算即可. 【详解】， 则在基下的坐标为. 故选：A. 7．（2024高一下·全国·专题练习）下列说法正确的有（    ） ①向量的坐标即此向量终点的坐标； ②位置不同的向量其坐标可能相同； ③一个向量的坐标等于它的终点坐标减去它的起点坐标； ④相等向量的坐标一定相同． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据向量的坐标表示相关概念和性质得到答案. 【详解】向量的坐标是其终点坐标减去起点坐标，故①错误， 根据向量的坐标表示方法得到②③④正确． 故选：C 8．（20-21高一·全国·课后作业）设向量，，则与一定不是（    ） A．平行向量 B．垂直向量 C．相等向量 D．相反向量 【答案】C 【分析】根据已知向量的坐标，结合、、、的坐标表示判断参数是否存在，即可确定正确选项. 【详解】假设，即，， 假设，即，， 假设，即，无解， 假设，即，， 故选：C． 9．（2021·全国·模拟预测）已知中，，，，与的平分线交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，以为原点建立平面直角坐标系，由求得内切圆的半径，进而得到O，B，C的坐标，再利用平面向量的基本定理求解. 【详解】由已知得，则． 以为原点建立如图所示的平面直角坐标系， 则内切圆半径， 所以，，． 设， 则， 解得，， 故， 故选：B． 10．（2020高三·山东·专题练习）在平面直角坐标系中，点，将向量绕点按逆时针方向旋转后得到向量，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】化为，然后利用两角和的正弦与余弦公式，求得点坐标，即可得解. 【详解】由，得， 将向量绕点按逆时针方向旋转后得到向量， ， 又，， . 故选：D. 【点睛】本题考查了平面向量中的应用问题以及坐标与图形变换的关系，考查了三角函数的定义，属于基础题. 11．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，向量，，正六边形的顶点位于坐标原点，，若，则__________，__________. 【答案】 【分析】设点为正六边形的中心，连接，，，根据题意可知，进而用向量，表示，即可求解. 【详解】    设点为正六边形的中心，连接，，， 由题意得，为直角三角形，，因为，所以， 所以， 又，因此， 即，. 故答案为：；. 12．（2019·贵州遵义·三模）已知向量，若，则实数__________． 【答案】或 【分析】求解出，根据构造方程，求解得到结果. 【详解】因为 所以 又，所以 解得或 本题正确结果：或 【点睛】本题考查向量的坐标运算、已知模长求参数值问题，属于基础题. 13．（23-24高一下·浙江温州·期中）已知平面向量，，满足，，且，则的最大值为______. 【答案】 【分析】设，分析可知点C在以为直径的圆上，根据数量积的几何意义结合圆的性质分析求解. 【详解】由题意可设：， 则， 若，即，则， 可知点C在以为直径的圆上，即圆心为，半径， 则在方向上的投影数量的最大值为， 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题根据向量运算的几何意义把题意转化为图形，结合图形分析求解. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3.2平面向量的正交分解 及坐标表示 题型一 用坐标表示平面向量 1．（25-26高一下·河南·期中）已知，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广东佛山·二模）已知平面上两点，若，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·辽宁沈阳·期末）已知，，则与方向相同的单位向量是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·上海·期中）已知角的终边经过点A，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB，若点B的坐标为，则点的横坐标为（ ） A． B． C． D． 5．（19-20高一下·湖南衡阳·阶段检测）若向量，，，则（    ） A． B． C． D． 题型二 平面向量有关概念的坐标表示 6．（24-25高一下·全国·课后作业）已知为一组标准正交基，，，则在基下的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（2024高一下·全国·专题练习）下列说法正确的有（    ） ①向量的坐标即此向量终点的坐标； ②位置不同的向量其坐标可能相同； ③一个向量的坐标等于它的终点坐标减去它的起点坐标； ④相等向量的坐标一定相同． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（20-21高一·全国·课后作业）设向量，，则与一定不是（    ） A．平行向量 B．垂直向量 C．相等向量 D．相反向量 9．（2021·全国·模拟预测）已知中，，，，与的平分线交于点，则（    ） A． B． C． D． 10．（2020高三·山东·专题练习）在平面直角坐标系中，点，将向量绕点按逆时针方向旋转后得到向量，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·湖南衡阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，向量，，正六边形的顶点位于坐标原点，，若，则__________，__________. 12．（2019·贵州遵义·三模）已知向量，若，则实数___． 13．（23-24高一下·浙江温州·期中）已知平面向量，，满足，，且，则的最大值为______. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $