课时分层检测(43) 事件的相互独立性-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

班级 姓名 课时分层检测（四十三 …0 基础达标练 0… 1.抛掷一枚硬币出现正面或反面，记事件A表 示“出现正面”，事件B表示“出现反面”，则 ( A.A与B相互独立 B.P(AB)=P(A)·P(B) C.A与B不相互独立 D.P(AB)= 4 2.甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，分别译 出的概率为日·号，子·则比密码能被译出的 概率是 ( A品 号 C.3 D. 60 3.(多选)分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事 件A是“第一枚为正面”，事件B是“第二枚 为正面”，事件C是“两枚结果相同”，则下列 事件具有相互独立性的是 ( A.A与B B.A与C C.B与C D.都不具有独立性 4.如图所示，在两个圆盘中，指针落在每个数 所在区域的机会均等，则两个指针同时落在 奇数所在区域的概率是 A C.3 0. 5.(多选)如图所示的电 路中，5只箱子表示保 面 险匣，设5个盒子分 别被断开为事件A, E B,C,D,E.箱中所示 数值表示通电时保险丝被切断的概率，下列 结论正确的是 ( ) A.A,B两个盒子串联后畅通的概率为3 B.D,E两个盒子并联后畅通的概率为品 2 得分 事件的相互独立性 C.A,B,C三个盒了混联后畅通的概率为 D当开关合上时，整个电路畅通的概率为器 6.甲、乙两人独立地求解同一问题，甲解出这 个问题的概率是1，乙解出这个问题的概率 是p2,那么恰好有1人解出这个问题的概率 是 7.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相 同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为 碧则该队员每次罚球的命中率为 8.某单位有两辆车参加某种事故保险，对在一 年内发生此种事故的每辆车，单位均可获赔 (每辆车最多只获一次赔偿).设这两辆车在 一年内发生此种事故的餐率分别为六和宁 且各车是否发生事故相互独立，则一年内该 单位在此种保险中获赔的概率为 (结果用最简分数表示) 9.设某人有5发子弹，他向某一目标射击时， 每发子弹命中日标的概率为子若他连续两 发命中或连续两发不中则停止射击，否则将 子弹打完. (1)求他前两发子弹只命中一发的概率； (2)求他耗用的子弹数X=4的概率. 班级 姓名 10.在某校运动会中，甲、乙、丙三支足球队进 行单循环赛（即每两队比赛一场），共赛三 场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，没有 平局。在每一场比赛中，甲胜乙的概率为了， 甲胜丙的概率为子，乙胜丙的概率为了 (1)求甲队获第一名且丙队获第二名的 概率； (2)求在该次比赛中甲队至少得3分的： 概率. …0能力提升练0… 1 1.某学校10位同学组成的志愿者组织分别由 李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需 该组织4位同学参加.假设李老师和张老师 分别将各自活动通知的信息独立，随机地发 给4位同学，且所发信息都能收到.则甲同学 收到李老师或张老师所发活动通知的信息： 的概率为 ( ) A.号 R号 C. D. 2.国际羽毛球比赛规则从2006年5月开始，正式 ! 决定实行21分的比赛规则和每球得分制，并且 每次得分者发球，所有单项的每局获胜分至少 是21分，最高不超过30分，即先到21分的获 胜一方赢得该局比赛，如果双方比分为20：20 时，获胜的一方需超过对方2分才算取胜，直至 双方比分打成29：29时，那么先到第30分的 一方获胜.在一局比赛中，甲发球赢球的概率为 2,甲接发球赢球的概率为号，则在比分为20 ：20,且甲发球的情况下，甲以23：21赢下比 赛的概率为 ( ) 1 A.8 B.20 3 c品 7 D.20 3.两人打靶，甲击中的概率为0.8，乙击中的概 率为0.7，若两人同时射击一目标，则他们都 中靶的概率是 ,他们都不中靶的概 率为 23 得分 4.国产杀毒软件进行比赛，每个软件进行四轮考 核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进 入下一轮考核，否则被淘汰.已知某个软件在 四轮考核中能够准确杀寄的概率张次是号，号， 是日且各轮考核能否道过互不影响求该软 件至多进入第三轮考核的概率. 5.小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当 天从重庆到上海的三列火车正点到达的概 率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之 间是否正点到达互不影响.求： (1)这三列火车恰好有两列正点到达的 概率； (2)这三列火车至少有一列正点到达的 概率. 0创新拓展练0 1.已知A,B是相互独立事件，若P(A)=0.2, P(AB+AB+AB)=0.44,则P(B)等于 () A.0.3B.0.4 C.0.5 D.0.6 2.已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机 的概率为0.2. (1)假定有5门这种高炮控制某个区域，求 敌机进入这个区域后未被击中的概率； (2)要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以 上的概率被击中，需至少布置几门高炮？ (1g2≈0.301)课时分层检测（四十二） 7 基础达标练 1.D2.C3.C4.D5.D 8 6是[由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺 9 得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互 斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女 5 7 9 10 由表可知，此试验的样本空间共有36个样本点，其中和为7的有4： 子乒乓球单打冠军的概率为号十大品] 个样本点，所以所求事件的概率为需=日] :72C只有当事件A,B为两个互斥事件时，才有P(AUBD=P(A)中 P(B),故①错误；只有事件A,B,C两两互斥，且AUBUC=2时 9.解(1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不 才有P(A)十P(B)十P(C)=1,故②错误；当A,B为互斥事件时， 同的摸法，又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相· P(A)十P(B)=P(AUB)1,故③正确.1 等，故以球的编号为样本点的概率模型为古典概型. 8.0.55记这个商店月收入在1000,1500)，1500,2000)， (2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个样本点，分别记为A:1 厂2000,2500)，「2500,3000)内分别为事件A,B,C,D,因为事件 “摸到白球”，B:“摸到黑球”，C:“摸到红球”.因为所有球大小相同， A,B,C,D互斥，且P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=0.67,所以P(B +C+D)=0.67-P(A)=0.67-0.12=0.55. 所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为，因为白球有5个，所！9.解、记事件A=“抽取的为女职工”，记事件B=“抽取的为第 三分厂的职工”，则A∩B表示“抽取的为第三分厂的女职工” 以一次摸球摸中白球的可能性为品，同理可知，摸中黑球，红球的 AUB表示“抽取的为女职工或第三分厂的职工”，则有P(A)= 1600+1400+500 35 可能性均为品显然这三个样本点出现的可能性不相等，所以以颜 4000+1600+3000+1400+800+5001131 色为样本，点的概率模型不是古典概型， 800+500 13 10.解(1)这个试验的样本点，列举如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,1 P(B)=4000+1600+3000+1400+800+500113 500 4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3, 1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4, P(AnB)=4000+1600+3000+1400+800+50013' 5 43 4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6, BP(AUB)=P(AD+PB)-PAnB)部是3@ 1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36个 (2)“出现点数之和大于8”包含以下10个样本点：(3,6)，(4,5)，： 10.解(1)：每1000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖 (4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6). 50个PA-dP(B)-00PO=0 (3)“出现点数相等”包含以下6个样本点：(1,1)，(2,2)，(3,3)， (2)设“抽取1张奖券中奖”为事件D,由题意知，D=AUBUC,且 (4,4),(5,5),(6,6) (4)“出现点数之和等于7”包含以下6个样本点：(1,6)，(2,5)，(3,1 事件A,B,C两两互斥，则P(D)=P(A)+P(B)+P(C)=1O00 4),(4,3),(5,2),(6,1). 1 61 能力提升练 00+20=1000 1.C 2.AC (3)设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E,由题意知，E 3.号[从五个点中任取三个点，样本空间0=(A,B,C),(A,C, =AUB,且事件A,B互斥，则P(E)=1一P(A)一P(B)=1 D),(B,C,D),(A,D,E),(B,D,E),(A,C,E),(A,B,D),(A,B, doa8品 E),(B,C,E),(C,D,E)},共10个样本点，而A,C,E三点共线，B, 能力提升练 C,D三点共线，所以这五个点可构成三角形的个数为10-2=8.设！1.BC “从五个，点中任取三个点，这三点能构成三角形”为事件A,则A所 8 4 .] [由题意得PA)十P(B)=1-号=是，周为P(A 包含的样本点个数为8，故所求概率为P(A)=0= 4.解将A,B,C,D四位贵宾就座情况用如图所示的图形表示出来 2P(B),所以P(A)=2 ,P(B)= 号，所以P①=1-PA)=是， D P(B-1-P(B)=] C D !3.120[可设参加联欢会的教师共有n人，由于从这些教师中选一 A CHR D ® c D 人，“选中男教师”和“选中女教师”两个事件是对立事件，所以选中 B D A Lo B C 女能师的概率为1一品-0由题意，如0一易”=12，解得 B 回 A 1=120. a席位b席位c席位d席位 a席位b席位c席位d席位 馨9准出2人及以干B3人C心0 “5人”，E=“6人及以上” a8 「® c 则“有4人或5人外出家访”的事件为事件C或事件D,且C,D为互 B 斥事件， @叶@8 根据互斥事件概率的加法 A A P(C+D)=P(C)+P(D)=0.3+0.1=0.4. ® a哈 (2)“至少有3人外出家访”的对立事件为“2人及以下”， 所以由对立事件的概率，p=1-P(A)=1一0.1=0.9. a席位b席位c席位d席位a席位b席位c席位d席位 !5.解(1)易知样本，点总数一25，且每个样本点出现的可能性相等 事件A包含的样本点共5个：(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，所 由图可知，所有的等可能样本点共有24个 (1)设事件M为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件M只包： 以P(A)= 25= 含1个样本点， (2)B与C不是互斥事件.理由：因为事件B与C可以同时发生，如 1 所以P(M0=2 甲赢一次，乙赢两次 (3)这种游戏规则不公平.理由如下： (2)设事件N为“这四人恰好都没坐在自己的席位上”，则事件N只 和为偶数的样本点有：(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)， 9 包含9个样本点，所以P(N)= 3 (3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5),共13个，所以甲 24-8 (3)设事件S为“这四人恰有一位坐在自己的席位上”，则事件S只： 的抵率为是乙嘉的概率为1一号-号，所以这种辩戏规则不 包含8个样本点，所以P(S)= 公平 24=3 5,解为了决出胜负，最多再赛两局，用“甲”表示甲胜，“乙”表示乙 课时分层检测（四十三） 胜，于是这两局有四种可能：（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲），（乙，乙）. 基础达标练 其中甲获胜有3种情况，而乙获胜只有1种情况，所以甲获胜的概1.C2.C3.ABC4,A5.ACD 率是子，乙获胜的概率是子因此，合理的分法为甲得30元，乙得6.电出P】拾好有人解出可分为甲解出乙没解 出、甲没解出乙解出，这两个事件显然是互斥的，所以恰好有1人解 100元. : 出这个问题的概率为p1(1一2)十p2(1一1).」 300 [设此队员每次罚球的命中率为，则1一分-芳，所以D=号 课时分层检测（四十四） (舍负).] 基础达标练 8.21 [因为达两柄车在一年内发生此种事故的概车分别为元和6：北2B聚就质众 16.0.25[袋装食盐质量在497.5~501.5g之间的共有5袋，所以其 ,且各车是否发生事故相互独立，所以一年内该单位在此种保险；概率约为 =0.25.] 中获的燕率P1（1-元)×（-)=品] :7.0.6[3次中至少两次投中8环以上的有101,111,011,101,011， 111,110,011,111,011,101,101,共12个，因此所求概率约为p 9.解设“第k发子弹命中目标”为事件A,则A1,A,Ag,A,A相 互独立，且PA)-号，P)=分k-1,23.4,5 12=0.6.] 20 18.50[设该厂所生产的2500套座椅中大约有n套次品，由概率的统 (1)他前两发子弹只命中一发的概率为 P(A A:)+P(AA:)=P(A)P(A:)+P(A)P(A )=2x1 计定义，知200100，解得m=50,所以孩厂所生产的2500套座 3 3 椅中大约有50套次品.] ×号-÷ 19.解(1)由试加工产品等级的颜数分布表知， 40 (2)P(X=4)=P(AA2AA,)+ 甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为00.4： P(A AAA) 之分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为 =()×g+(信)'×号-品 =0.28. 10.解(1)设甲队获第一名且丙队获第二名为事件A,则P(A)= (2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的颜数分布表为 子×十×(1-专)= 1 利润 65 25 -5 -75 (2)甲队至少得3分有两种情况：两场只胜一场；两场都胜.设事件 颜数 10 20 0 20 B为“甲两场只胜一场”，事件C为“甲两场都胜”，则事件“甲队至！ 因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为 少得3分”为B+C,则P(B+C)=P(B)+P(C)=3 65×40+25×20-5×20-75×20=15(元). 100 由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的颜数分布表为 能力提升练 利润 70 30 0 -70 1.C2.B 频数 28 17 34 21 3.0.560.06[利用P(AB)=P(A)P(B)得两人都中靶的概率P! (AB)-P(A)P(B)=0.8×0.7-0.56,两人都不中靶的概率P(A 因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为 B)=P(A)P(B)=(1-0.8)×(1-0.7)=0.06.] 70×28+30×17+0×34-70X21=10(元). 100 4.解设事件A(i=1,2,3,4)表示“该软件在第i轮能准确杀毒”，由 比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，厂家应选甲分厂承接加 已知得PA)=名，PA)=号，P(A)=,P(A)=号，设事 工业务 件C表示“该软件至多进入第三轮”，则P(C)-P(A十AA:十1.BC2.A 能力提升练 A1A2A3)=P(A1)十P(A1A2)十P(A1A2A3)= 。十5X名十3.1000[由表中数据知：抽查5次，产品合格的频率依次为0 0.92,0.96,0.95,0.956,可见颜率在0.95附近摆动，故可估计该厂 ×号×= 生产的此种产品合格的概率约为0.95.设大约调查n件产品，则 6 5.解用A,B,C分别表示这三列火车正点到达的事件，则P(A)- 950≈0.95，所以n>1000.] 0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9, :4.解(1)由题意，样本车辆数为1000，设A表示事件“赔付金额为 所以P(A)=0.2,P(B)=0.3,P(C)=0.1. 3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，由颜率估计概率得 (1)由已知，A,B,C之间相互独立，所以拾好有两列火车正，点到达的！ 概率为 PAW=8-0.15,PB=8=a12 P=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=P(A)P(B).P(C)+ 由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金颜对应的情形是赔 P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=0.2×0.7×0.9+0.8× 付金额为3000元和4000元，且事件A与B为互斥事件，所以所求 0.3×0.9+0.8×0.7×0.1=0.398. 概率为P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27. (2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P,=1一P(ABC)= (2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，可得 1-P(A)P(B)P(C)=1-0.2×0.3×0.1=0.994. 样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000一100（辆），而赔付金额 创新拓展练 为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120一24（辆），所以 1.A 2.解(1)设“敌机被第k门高炮击中”的事件为A(k=1,2,3,4,5), 样本车锅中新司机车主获避会领为400元的颜率为器-0.24，由 那么“5门高炮都未击中敌机”的事件为 颜率估计概率得P(C)一0.24. A1A2AAA· 创新拓展练 事件A,A,A,A,A相互独立， 解(1)答案一：能.理由如下： .事件A1,A2,Ag,A,A相互独立， 假设购买一袋该零食，获得玩具A,B,C的概率相同，此时购买一袋 ∴敌机未被击中的概率为 该零食获得每一款玩具的概率均为了，对统计数据整理，可得购买 P(A A2AAA) =P(A)P(A)P(A)P(A)P(A) 一袋该零食，获得玩具A,B,C的颜率分别是32%，35%，33%，与假 设中的概率非常接近，故可以认为假设成立，即能够认为购买一袋 =1-0.2)=（5） 41 该零食，获得玩具A,B,C的概率相同. 答案二：不能.理由如下： 心敌机未被击中的概率为（号）， 对统计数据整理，可得购买一袋该零食，获得玩具A,B,C的颜率分 别是32%，35%，33%，其中35%一32%=3%，差别较大，故不能够 (2)设至少需要布置n门高炮才能有0.9以上的概率被击中(n∈N“),! 认为购买一袋该零食，获得玩具A,B,C的概率相同. 由①可得，敌机被击中的概率为1一（号)广心令1-（号）广≥09， (2)据题设知，将其购买的第一袋、第二袋、第三袋零食中附赠的玩 具按顺序列出，可知共有27种不同的可能，即AAA,AAB,AAC, (侍)≤品 ABA,ABB,ABC,ACA,ACB,ACC,BAA,BAB,BAC,BBA,BBB, BBC,BCA,BCB,BCC,CAA,CAB,CAC,CBA,CBB,CBC,CCA, 两边取常用对数，得心1-3g2≈10.3， CCB,CCC.其中，可集齐三种玩具的情况共有6种（以下划线形式标 出)，而每种可能出现的机会相等，根据古典概型的概率计算公式知 n∈N",∴.n=11. '.至少需要布置11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机 他能从这3袋零食中集齐玩具A,B,C的概率P=员=子 301