课时练习10.2　事件的相互独立性-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦事件的相互独立性，通过基础概念辨析、中档运算应用到综合情境分析的三层设计，实现从单一知识点到实际问题解决的递进，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|相互独立事件概念、简单概率计算|选择1-3判断事件关系，填空8-11基础运算，强化概念理解| |中档|多事件独立概率、对立事件应用|填空12-13涉及3个独立事件，选择7多选题辨析，提升推理能力| |综合|实际情境中的概率综合应用|解答16-17结合闯关游戏、项目成功等情境，培养数学应用意识|

10.2　事件的相互独立性 一．选择题 1.已知袋内有除颜色外其他完全相同的3个白球和2个黑球,从中有放回地随机摸球,用A表示“第一次摸得白球”,用B表示“第二次摸得白球”,则A与B是(　　) A.互斥事件 B.相互独立事件 C.对立事件 D.无法确定 2.如图,在两个圆盘中,指针落在圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是 (　　) A. B. C. D. 3.甲和乙两人各投篮一次,已知甲投中的概率是0.8,乙投中的概率是0.6,则恰有一人投中的概率为(　　) A.0.44 B.0.48 C.0.88 D.0.98 4.已知从甲袋内随机摸出1个白球的概率为,从乙袋内随机摸出1个白球的概率为,若从两个袋内各随机摸出1个球,则概率为的事件是(　　) A.2个球都是白球 B.2个球都不是白球 C.2个球不都是白球 D.2个球中恰好有1个白球 5.某闯关游戏规则是:在主办方预设的6个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,闯关成功,假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.6,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就闯关成功的概率等于(　　) A.0.064 B.0.144 C.0.216 D.0.432 6.如图,某种开关在电路中闭合的概率为p,现将4只这种开关并联在某电路中,若该电路为通路的概率为,则p=(　　) A. B. C. D. 7.(多选题)抛掷一枚质地均匀的骰子一次,则下列各组事件是相互独立事件的是(　　) A.E=“向上的点数为偶数”,F=“向上的点数为奇数” B.E=“向上的点数为奇数”,F=“向上的点数为3” C.E=“向上的点数为偶数”,F=“向上的点数为3的倍数” D.E=“向上的点数为奇数”,F=“向上的点数大于4” 二．填空题 8.有甲、乙两批种子,发芽率分别为0.8和0.9,在两批种子中各取一粒,则恰有一粒种子能发芽的概率是　　　　.  9.某自助银行设有两台ATM机.在某一时刻这两台ATM机被占用的概率分别为,则客户此刻到达需要等待的概率为　　　　　.  10.一道数学竞赛试题,甲解出它的概率为,乙解出它的概率为,丙解出它的概率为.由甲、乙、丙三人独立解答此题,只有一人解出的概率为　　　　.  11.已知两名实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为　　　　.  12.在某道路A,B,C三处设有交通灯,这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒,某辆车在这条道路上匀速行驶,假设三盏灯相互独立,则三处都不停车的概率为　　　　　.  13.一袋中有除颜色外其他完全相同的3个红球、2个白球,另一袋中有除颜色外完全相同的2个红球、1个白球,从每袋中任取1个球,则至少取到1个白球的概率为　　　　.  三．解答题 14.在同一时间内,甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为.在同一时间内,求: (1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率; (2)至少有一个气象台预报准确的概率. 15.已知甲运动员的投篮命中率为0.7,乙运动员的投篮命中率为0.8. (1)若甲、乙各投篮一次,则都投中的概率为多少? (2)若甲投篮两次,则恰好投中一次的概率为多少? 16.某同学在参加一次考试时,有三道单项选择题不会,每道单项选择题他都随机选了一个答案,且每道题他猜对的概率均为. (1)求该同学三道题都猜对的概率; (2)求该同学至少猜对一道题的概率. 17.某市决定在一个乡镇投资农产品加工、绿色蔬菜种植和水果种植三个项目,据预测,三个项目成功的概率分别为,且三个项目是否成功互相独立. (1)求恰有两个项目成功的概率; (2)求至少有一个项目成功的概率. 10.2　事件的相互独立性 一．选择题 1.B 2.左边圆盘指针落在奇数区域的概率为,右边圆盘指针落在奇数区域的概率也为,因为两个圆盘中指针落在圆盘的哪个数所在区域是相互独立的,所以两个指针同时落在奇数区域的概率为. A 3.A 4.2个球都是白球的概率为;2个球都不是白球的概率为(1-)×(1-)=;2个球不都是白球的概率为1-;2个球中恰好有1个白球的概率为×(1-)+×(1-)=. C 5.该选手恰好回答了4个问题就闯关成功,包括两种情况:一是前2个问题回答错误,第3,4个问题回答正确,二是第1个问题回答正确,第2个问题回答错误,第3,4个问题回答正确,则对应的概率P=0.4×0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6×0.6=0.144. B 6.因为该电路为通路的概率为,所以该电路为不通路的概率为1-,只有当并联的4只开关同时不闭合时该电路不通路,所以1-=(1-p)4,解得p=或p=(舍去). B 7.A中,P(E)=,P(F)=,P(EF)=0,所以事件E与事件F不相互独立; B中,P(E)=,P(F)=,P(EF)=,P(E)P(F)≠P(EF),所以事件E与事件F不相互独立; C中,P(E)=,P(F)=,P(EF)=,P(EF)=P(E)P(F),所以事件E与事件F相互独立; D中,P(E)=,P(F)=,P(EF)=,P(E)P(F)=P(EF),所以事件E与事件F相互独立. CD 二．填空题 8.所求概率P=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26. 0.26 9.客户需要等待意味着这两台ATM机同时被占用,故所求概率为P=. 10.甲解出,而乙、丙不能解出为事件A1,则P(A1)=, 乙解出,而甲、丙不能解出为事件A2, 则P(A2)=, 丙解出,而甲、乙不能解出为事件A3, 则P(A3)=. 甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为P(A1+A2+A3)=. 11.所求概率为P=或P=1-. 12.由题意可知,每个交通灯开放绿灯的概率分别为. 在这个道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为. 13.至少取到1个白球的对立事件为从每袋中都取得红球,从第一个袋中取1个球为红球的概率为,从另一个袋中取1个球为红球的概率为,则至少取到1个白球的概率为1-. 三．解答题 14. 记事件A=“甲气象台预报天气准确”,B=“乙气象台预报天气准确”.显然事件A,B相互独立,且P(A)=,P(B)=. (1)P(AB)=P(A)P(B)=. (2)至少有一个气象台预报准确的概率为 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=. 15. (1)记事件A=“甲投中”,B=“乙投中”. 因为A与B相互独立, 所以P(AB)=P(A)P(B)=0.7×0.8=0.56. 即甲、乙各投篮一次,都投中的概率为0.56. (2)记Ai=“甲第i次投中”,其中i=1,2,则P(A1)=P(A2)=0.7. 恰好投中一次,可能是第一次投中且第二次没投中,也可能是第一次没投中且第二次投中,即A1A2,注意到A1与A2相互独立,且A1A2互斥, 因此P(A1A2)=P(A1)+P(A2) =P(A1)P()+P()P(A2) =P(A1)(1-P(A2))+(1-P(A1))P(A2) =0.7×(1-0.7)+(1-0.7)×0.7 =0.42. 故甲投篮两次,恰好投中一次的概率为0.42. 16. 记事件Ai=“第i道题猜对了”,其中i=1,2,3, 则P(A1)=P(A2)=P(A3)=. (1)三道题都猜对可以表示为A1A2A3,因为A1,A2,A3是相互独立的, 所以P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=. (2)“至少猜对一道题”的对立事件是“三道都猜错”,后者可以表示为,所以P()=P()P()P()=, 因此所求概率为1-P()=1-. 17. (1)只有农产品加工和绿色蔬菜种植两个项目成功的概率为, 只有农产品加工和水果种植两个项目成功的概率为, 只有绿色蔬菜种植和水果种植两个项目成功的概率为, 所以恰有两个项目成功的概率为. (2)三个项目全部失败的概率为, 所以至少有一个项目成功的概率为1-. 学科网（北京）股份有限公司 $