课时分层检测(32) 平面与平面垂直-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

∴在Rt△EOA中，sin∠AEO=AO=1 !8.①③→②（或②③→①）[若1La,1Lm,则m∥a,显然①③→②正 EA2 确；若lLm,n∥a,则l∥a,l与a相交但不垂直都可以，故①②→③ 0°∠AE090°」 不正确；若1⊥a,m∥a,则l垂直于a内所有直线，在a内必存在与m ∴.∠AEO=30°，即AE与平面BDE所成的角为30°， 平行的直线，所以可推出1⊥n,故②③>①正确.] 1O,证明(I)由题意知AA1⊥平面ABC,CDC平面ABC,所以CD!9.证明取BC的中点F,连接EF,AF AA (2)因为D是AB的中，点，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB· 则EF∥BB且EF=7BB. =90° 从而EF∥DA且EF=DA, 所以CD⊥AB.又CD⊥AA1,AB∩A1A=A,ABC平面A1BBA, 所以四边形ADEF为平行四边形， A1AC平面AB1BA, 所以AF∥DE. 所以CD⊥平面AB,BA 因为DE⊥平面BCCB1 因为AB1C平面A1B1BA,所以CD⊥AB1 所以AF⊥平面BCCB, 又CE⊥AB,CD∩CE=C,CDC平面CED,CEC平面CED,所以 所以AF⊥BC,即AF为BC的垂直平分线，故AB AB⊥平面CED. =AC. 能力提升练 :10.证明，因为M,N分别是EA与EC的中点，所以MN∥AC, 1.C 2.ABC 又因为ACC平面ABC,MN吐平面ABC, 3. ,SD⊥平面ABCD,ACC平面ABCD,.SD⊥AC.·四边形 所以MN∥平面ABC. ABCD为正方形，∴.BD⊥AC,又SD∩BD=D,.ACL平面SBD,H 因为DB⊥平面ABC,EC⊥平面ABC, 且SBC平面SBD,∴.AC⊥SB,故①正确.AB∥CD,AB庄平面 所以BD∥EC,又BD≠EC SDC,CD二平面SDC,..AB∥平面SCD,故②正确.SD平面 所以四边形BDEC为直角梯形 ABCD,.SA在底面上的射影为AD,∴.SA与底面ABCD所成的 因为N为EC中点，EC-2BD, 角为∠SAD,③正确.AB∥CD,故④也正确. 所以NC LBD, 4.证明(1)取PD的中点E,连接NE,AE, 所以四边形BCVD为矩形 如图. A 又N是PC的中点， 所以DN∥BC, 又因为DN吐平面ABC,BCC平面ABC, NE∥DC且NE=zDC 所以DN∥平面ABC, 又因为MN∩DN=N, 又：DC∥AB且DC=AB,AM=AB, 所以平面DMN∥平面ABC. 能力提升练 ∴AM∥CD且AM=2CD, 1.A ∴.NE∥AM,且NE=AM. 2.(6,十∞)「由题意知PA⊥DE,又PE⊥DE,PA∩PE=P.所以 ,四边形AMNE是平行四边形， DE⊥平面PAE,则DELAE.易证△ABEC△ECD.设BE=x,则 E5APD.MNE辛面PAD. AB BE ，具上三少上，和3—，.2一ax牛9一0，()由题感方程（欢）■ a-x ∴.MN∥平面PAD. 有两个不相等的实根，故△=a一4×1×9>0，则a>6.] (2).PA⊥平面ABCD. 3.②③④[①因为AC∩平面CB,D,=C,所以AC与平面CB,D1不 .∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角， 平行，故①错误；②连接BC1,A1C1(图略).易证AC1⊥BD1,AC1 ∴.∠PDA=45°，∴.AP=AD, BC,因为BD∩BC=B1,BD1C平面CBD1,BCC平面 ,E是PD的中点，.AE⊥PD CBD,所以AC⊥平面CBD,故②正确；③因为CC⊥底面ABCD, 又MN∥AE,∴.MN⊥PD. ,'PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD, 所以∠CAC是AC与底面ABCD所成的角，所以an∠CAC-A CC .PA⊥CD. 又.CD⊥AD,PA∩AD=A,PA,ADC平面PAD, .CD平面PAD. 巨，故③正确：④AD,与BD既无交点也不平行，所以AD与BD为 AEC平面PAD,.CD⊥AE, 异面直线，故④正确.门 .CD⊥MAN 4.证明因为PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,所以PA⊥CD. 又CD∩PD=D,CD,PDC平面PCD, 又四边形ABCD是矩形，所以CD⊥AD. ,.MN⊥平面PCD. 因为PA∩AD=A,PAC平面PAD,ADC平面PAD,所以CD⊥平 创新拓展练 面PAD. AC⊥B,C(答案不唯一)如图所示， 又AEC平面PAD,所以AE⊥CD. 因为AE⊥PD,PD∩CD=D,PDC平面PCD,CDC平面PCD,所 以AE⊥平面PCD. 因为I⊥平面PCD,所以l∥AE 5.证明如图. 因为BB⊥a,CC⊥a, 所以BB∥CC B 因为CCC平面CCD'D, 连接B,C,由BC=CC,可得BC,⊥B,C.因此，要证AB,⊥BC,则i BB'吐平面CCD'D, 只要证明BC1⊥平面AB1C,即只要证AC⊥BC1.由直三棱柱可知， 所以BB'∥平面CCD'D. 只要证ACLBC,因为AC∥AC,B,C∥BC,故只要证AC⊥ 又因为四边形ABCD是矩形， B1C,(或者能推出AC1⊥BC1的条件，如∠A1CB=90等)] 所以AB∥CD, 课时分层检测（三十一） 又CDC平面CCD'D,AB吨平面CCD'D 所以AB∥平面CCD'D. 基础达标练 因为AB,BB是平面ABB'A'内的两条相交直线， 1.D 2.B 3.AB 4.D 5.BCD 所以平面ABB'A'∥平面CCD'D. 6.9[如图，设AB的中点为M,分别过A,M,B向 a作垂线，垂足分别为A1,M1,B1,则由线面垂直 又a∩平面ABB'A'=A'B',a∩平面CCD'D=CD', 所以A'B'∥CD' 的性质可知，AA1∥MM1∥BB1,四边形AA1B1B 同理，BC∥A'D',所以四边形AB'CD'是平行四边形. 为直角梯形，AA1=8,BB1=10,MM1为其中位 线，.MM1-9. 课时分层检测（三十二） 7.30°[如图，作ACLa,BD⊥a,垂足分别为C,D, 基础达标练 则AC∥BD,AC,BD确定的平面与平面a交于CD,且CD与AB相：1.BD2.C3.B4.C5.ABC 交于O,AB=10cm,AC=3cm,BD=2cm,则AO=6cm,B0= 4cm,∴∠AOC-∠BOD=30°，即线段AB与平面a所成的角的大 :6.直角[设P在平面ABC上的射影为O,:平面PAB⊥底面ABC, 小为30°.1 平面PAB∩平面ABC=AB,∴.O∈AB.PA=PB=PC,.OA= OB=OC,,.O是△ABC的外心，且是AB的中，点，.△ABC是直角 三角形. !7.60°正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2√6，则底面边长 为2√3，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，所以侧面与底面所成 的二面角的正切值为√3，故所求的二面角为60°.] :8.DM⊥PC(或BM⊥PC等)「易知BD⊥PC.所以当DM⊥PC(或 295 BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.而PCC平面PCD,所以平面！ ∴.BF⊥CF,又CF⊥EF,BF∩EF=F,BFC平面ABFE,EFC平面 MBD⊥平面PCD.] ABFE. 9.证明由题设可得△ABD≌△CBD,从而 ∴.CF⊥平面ABFE, AD-CD. 4 又△ACD为直角三角形， VCABFE=3·S三方移福FE·CF=子， 所以∠ADC=90 取AC的中点O,连接D),BO, B V#ADB=·SAE·AE=， 则D0⊥AC,DO=AO, 448 又由于△ABC是正三角形，故BO⊥AC, V六面体ABCDEF= 3+3=3 所以∠DOB为二面角D一AC-B的平面角 在Rt△AOB中，B(Y+OA=AB, 课时分层检测（三十三） 又AB=BD,所以BY+DY=BOP+AO=AB=BD,故∠DOB 基础达标练 =90°. ·1.A2.BD3.A4.A 所以平面ACD⊥平面ABC 10.证明(1)由题意知△PAD为正三角形，G是AD的中点，.PG⊥AD. 5.200[由题意可知：400+320十280=0.2，解得n=200.] 又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PGC·6.总体所选30人的会考成绩30[为了强调调查目的，由总体 平面PAD, 样本，样本量的定义知，70人的会考成绩的全体是总体，样本是所选 ∴，PG⊥平面ABCD,又BGC平面ABCD 30人的会考成绮，样本量是30.] .PG⊥BG. :7.031[随机抽样中，随机数法获取个体编号在指定编号范固内，遇 又，四边形ABCD是菱形且∠DAB=60°， 到大于总体编号或者重复号码舍去不要.由给定的数据，从008数 .△ABD是正三角形，BG⊥AD. 起至第5个仍是008，重复，舍去，第5个编号为031，所以选中的第 又AD∩PG=G,ADC平面PAD,PGC平面PAD, 5个个体的编号为031.] ∴.BG⊥平面PAD !8.解按照二十四节气顺序编号如下：1立春、2雨水、3惊垫、4春分 (2)由(1)可知BG⊥AD,PG⊥AD,BG∩PG=G,BGC平面PBG,: 5清明、6谷雨、7立夏、8小满、9芒种、10夏至、11小暑、12大暑、13 PGC平面PBG, 立秋、14处暑、15白露，16秋分、17寒露、18霜降、19立冬、20小雪 .AD⊥平面PBG, 21大雪、22冬至、23小寒、24大寒，然后根据抽取到的号签说出对 又PBC平面PBG,.AD⊥PB. 应节气即可 能力提升练 19.解第一步，将元件的编号调整为010,011,012，，099,100， 1.A 2.ABC …,600; 3.N6[取CD的中点G,连接MG,VG.因为ABCD,DCEF为正方 第二步，用随机数工具产生010~600范固内的整数随机数： 第三步，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的元件进 形，且边长为2，所以MG⊥CD,MG=2,VG=√2.因为平面ABCD 入样本： ⊥平面DCEF,平面ABCD∩平面DCEF=CD,MGC平面ABCD,H 所以MG⊥平面DCEF,又NGC平面DCEF,可得MG⊥VG,所以 第四步，重复上述过程，直到抽足容量为6的样本， 如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，可以剔除重复 MN=VMG+VG=√6.] 的编号并重新产生随机数，直到产生不同的编号个数等于样本所需 要的个数. 能力提升练 1.AC 2.B 3.解(1)甲的平均成绩为(85十70十64)÷3=73， 乙的平均成绩为(73+71+72)÷3=72， 丙的平均成绩为(73十65十84)÷3=74. 所以丙候远人将被录用， 4.2√7[如图，连接CM,则由题意知PC⊥平面 (2)甲的测试成绩为(85×5+70×3十64×2)÷(5+3+2)=76.3. ABC,因为CMC平面ABC,所以PC⊥CM.所以 乙的测试成绩为(73×5+71×3+72×2)÷(5十3+2)=72.2. PM=/PC+CM,要求PM的最小值，只需求出 丙的测试成绩为(73×5十65×3+84×2)÷(5十3十2)=72.8. CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM 所以甲候远人将被录用 有最小值，此时有CM=4X5=25,所以PM的 创新拓展练 2 解(1)1+1+3+6+4+2+2+1=20（户） 最小值为2√7. 故小明一共调查了20户家庭。 5.证明由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B, (2)(1×1+1×2+3×3+4×6+5×4+6×2+7×2+8×1)÷20= 又BMC平面BCC1B,, 4.5(吨) 故所调查家庭5月份用水量的平均数为4.5吨 所以A1B,⊥BM. (3)400×4.5=1800(吨). 又CC1=2,M为CC1的中点， 故估计这个小区5月份的用水量为1800吨. 所以C,M=CM=1. 在Rt△B,C,M中，B,M=√B,C+MC=√2， 课时分层检测（三十四） 基础达标练 同理BM=√JBC+Cf=√2，又B1B=2, 11.C2.C3.B4.B5.C 所以B,P+BP=BB,从而BM⊥BM. 又A1B,∩B,M=B1,A1BC平面A1BM,BMC平面A1BM, 6.12[抽取女运动员的人数为器×(98-56)=12.] 所以BM⊥平面AB,M, ·7.63010[三种型号的轿车共9200辆，抽取样本量为46辆，则 因为BMC平面ABM, 浓 46 所以平面ABM⊥平面A,BM 20020的比例抽样，所以依次应抽取1200×206（辆）， 创新拓展练 解(1)证明：取EF的中点N,连接MN,DN,MD(图略) 6000 20-30(辆)，200×00-10（辆）.] 根据题意可知，四边形ABFE是边长为2的正方形， 30 50 又M,N分别为AB,EF的中点， :8.47.5[由题意知7-30+50+20X45+30+50+20×48+ ∴.MN⊥EF,MN=2. 20 由题意得DN=√DE+EN=√5，又MD=3, 30+50+20×50=47.5.] '.MN2+DN2=22+(√/5)2=9=MD', 9.解(1)由160=0.15，得x=150, '.MNL⊥DN 又，EF∩DN=N,EFC平面CDEF,DNC平面CDEF,∴，MN⊥i (2)第一车间的工人数是173十177=350，第二车间的工人数是 100+150=250, 平面CDEF, ,.第三车间的工人数是1000一350一250=400. 又MVC平面ABFE 设应从第三车间抽取名工人， ,.平面ABFE平面CDEF (2)连接CE(图略)，则V六面体ABCDEF=Vg被CABFE十V三检ACDE: 则由0-00得m=20. 、50 由(1)知MN⊥平面CDEF ,∴，应在第三车间抽取20名工人 又MN∥BF∥AE, ,.BF⊥平面CDEF,AE⊥平面CDEF, :CFC平面CDEF, 10.解这种微法不安当.原因：取样比例数0过小，很难准确反映总 体情况，况且男、女身高差异较大，抽取人数相同，也不合理， 296班级 姓名 课时分层检测（三十 …0基础达标练 0 1.(多选)下列命题正确的是 ( A.两个相交平面组成的图形叫做二面角 B.异面直线a,b分别和一个二面角的两个 面垂直，则a,b所成的角与这个二面角的 平面角相等或互补 C.二面角的平面角是从棱上一点出发，分别 在两个面内作射线所成的角 D.二面角的大小与其平面角的顶点在棱上 的位置没有关系 2.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC,△ABD 的面积是△ACD的面积的2倍，沿AD将 △ABD翻折，使翻折后BC⊥平面ACD,此 时二面角BAD-C的大小为 ( A.30° B.45 C.60 D.90 3.如图所示，在三棱锥P-ABC 中，平面PAB⊥平面ABC, PA=PB,AD=DB,则 A.PDC平面ABC B.PD⊥平面ABC C.PD与平面ABC相交但不垂直 D.PD∥平面ABC 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，截面A1BD 与底面ABCD所成的二面角A1BD-A的正 切值等于 ) A得 R号 C.√2 D.√3 5.(多选)如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为 矩形，平面PAD⊥平面 ABCD,则下列说法正确的 是 () A.平面PAB⊥平面PAD B.平面PAD⊥平面PDC 2 得分 平面与平面垂直 C.AB⊥PD D.平面PAD⊥平面PBC 6.如图所示，三棱锥PABC中，平面PAB⊥底 面ABC,且PA=PB=PC,则△ABC是 三角形. B 7.已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长 为2√6，则侧面与底面所成的二面角的大小 为 8.如图所示，在四棱锥P ABCD中，PA⊥底面AB CD,且底面各边都相等，M 是PC上的一动点，当点 M满足 时，平面 MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是 正确的条件即可) 9.如图，四面体ABCD D 中，△ABC是正三角 形，△ACD是直角三 C 角形，∠ABD= B ∠CBD,AB=BD. 证明：平面ACD⊥平面ABC. 9 班级 姓名 10.如图所示，P是四边形 4 ABCD所在平面外的一 点，四边形ABCD是 ∠DAB=60°且边长为a D 的菱形，侧面PAD为正 5 三角形，其所在平面垂直于底面ABCD,G 为AD的中点. 求证：(1)BG⊥平面PAD; (2)AD⊥PB. …。能力提升练。… 1.在四面体ABCD中，AB=BC=CD=AD, ∠BAD=∠BCD=90°，ABD-C为直二面 角，E是CD的中点，则∠AED等于( ) A.90° B.45° C.60° D.30° 2.(多选)如图，在棱长为1的 D 正方体ABCD-A1B1C1D1 中，P为线段A1B上的动点 (不含端点)，则下列结论正 确的是 A.平面CBP⊥平面BB1P B.DC1⊥PC C.三棱锥C1-D1PC的体积为定值 D.∠APD,的取值范周是0，受 3.如图所示，已知两个正方 M 形ABCD和DCEF不在 B入 同一平面内，M,N分别为 AB,DF的中点.若CD= D F 2,平面ABCD⊥平面 DCEF,则线段MN的长 等于 210 得分 在三棱锥PABC中，平面PAC⊥平面 ABC,∠PCA=90°，△ABC是边长为4的 正三角形，PC=4,M是AB边上的一动点， 则PM的最小值为 如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB=AD=1, AA1=2,M是棱CC1的中点.求 证：平面ABM⊥平面A1B1M …0创新拓展练0。 如图①所示，在直角梯形ABCD中，AB⊥ BC,BC∥AD,AD=2AB=4,BC=3,E为 AD的中点，EF⊥BC,垂足为F.沿EF将四 边形ABFE折起，连接AD,AC,BC,得到如 图②所示的六面体ABCDEF.已知折起后 AB的中点M到点D的距离为3. 图① 图② (1)求证：平面ABFE⊥平面CDEF; (2)求六面体ABCDEF的体积.