8.6.3 第1课时 平面与平面垂直的判定定理 课时练习 高一数学人教A版必修第二册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦平面与平面垂直的判定定理，通过基础巩固、中档应用到综合探究的分层设计，培养空间观念与推理能力，实现从概念理解到问题解决的递进。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|二面角概念、判定定理直接应用|选择2以三棱锥线面垂直为背景，直接考查二面角平面角识别，强化空间观念| |中档|结合几何体的面面垂直判定与性质|选择5多选题综合线面平行、垂直关系，填空题13通过折叠问题深化面面垂直性质应用，培养推理能力| |综合|判定定理的综合证明与计算|解答17三问递进，涉及面面垂直证明、二面角正弦值计算及体积求解，体现数学思维的逻辑性与严谨性|

8.6.3第1课时　平面与平面垂直的判定定理 一．选择题 1.从空间一点P向二面角α-l-β的两个面α,β分别作垂线PE,PF,E,F为垂足,若∠EPF=60°,则二面角的平面角的大小是(　　) A.60° B.120° C.60°或120° D.不确定 2.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,则二面角B-PA-C的大小为(　　) A.90° B.60° C.45° D.30° 3.如图,在三棱锥D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列结论正确的是(　　) A.平面ABC⊥平面ABD B.平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDE C.平面ABD⊥平面BDC D.平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,截面A1BD与底面ABCD所成二面角A1-BD-A的正切值为(　　) A B C D 5.(多选题)如图,在三棱锥P-ABC中,已知PC⊥BC,PC⊥AC,点E,F,G分别是所在棱的中点,则下面结论正确的是(　　) A.平面EFG∥平面PBC B.平面EFG⊥平面ABC C.∠BPC是直线EF与直线PC所成的角 D.∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角 6.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,CC1=,则二面角C-BD-C1的大小是(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 7.如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为正方形,SA⊥平面ABCD,AC与BD相交于点O,P是侧棱SC上一动点,则一定与平面PBD垂直的平面是(　　) A.平面SAB B.平面SAC C.平面SCD D.平面ABCD 8.(多选题)在正四面体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,则下面四个结论中正确的是(　　) A.BC∥平面PDF B.DF⊥平面PAE C.平面PDF⊥平面ABC D.平面PAE⊥平面ABC 二．填空题 9.如图,△ABC是直角三角形,∠ABC=90°,PA⊥平面ABC,则此图形中有　　　　　个直角三角形.  10.已知P是△ABC所在平面外一点,△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形,PA=,则二面角P-BC-A的大小为　　　　　.  11.正四面体的侧面与底面所成的二面角的余弦值是　　　　　.  12.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有　　　　　　个.  13.如图,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC=1,将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠,使平面ABD⊥平面ACD,则此时BC=　　　　　.  三．解答题 14.如图所示,河堤斜面与水平面所成二面角的平面角为60°,堤面上有一条直道CD,它与堤脚的水平线AB的夹角为30°,沿这条直道从堤脚向上行走10 m时人升高了多少?(精确到0.1 m) 15.如图,在三棱锥S-ABC中,SC⊥平面ABC,P,M分别是SC和SB的中点,设PM=AC=1,∠ACB=90°,直线AM与直线PC所成的角为60°. (1)求证:平面MAP⊥平面SAC; (2)求二面角M-AC-B的平面角的正切值. 16.如图所示,四边形ABCD是平行四边形,直线SC⊥平面ABCD,E是SA的中点,求证:平面EDB⊥平面ABCD. 17.如图所示,已知在三棱锥P-ABC中,∠ACB=90°,CB=4,AB=20,D为AB的中点,且△PDB是正三角形,PA⊥PC. (1)求证:平面PAC⊥平面ABC; (2)求二面角D-AP-C的正弦值; (3)若M为PB的中点,求三棱锥M-BCD的体积. 8.6.3第1课时　平面与平面垂直的判定定理 一．选择题 1.若点P在二面角内,则二面角的平面角为120°;若点P在二面角外,则二面角的平面角为60°. C 2.因为PA⊥平面ABC,BA⊂平面ABC,CA⊂平面ABC,所以BA⊥AP,CA⊥AP.因此,∠BAC即为二面角B-PA-C的平面角,又∠BAC=90°,故选A. A 3.由条件得AC⊥DE,AC⊥BE,又DE∩BE=E,∴AC⊥平面BDE,∵AC⊂平面ADC,AC⊂平面ABC,∴平面ABC⊥平面BDE,平面ADC⊥平面BDE,故选B. B 4.如图所示,连接AC交BD于点O,连接A1O,则O为BD的中点. ∵A1D=A1B, ∴在△A1BD中,A1O⊥BD. 又在正方形ABCD中,AC⊥BD,∴∠A1OA为二面角A1-BD-A的平面角. 设AA1=1,则AO=tan∠A1OA= C 5.A正确,∵GF∥PC,GE∥CB,GF∩GE=G,PC∩CB=C,∴平面EFG∥平面PBC; B正确,∵PC⊥BC,PC⊥AC,PC∥GF, ∴GF⊥BC,GF⊥AC,又BC∩AC=C, ∴GF⊥平面ABC,∴平面EFG⊥平面ABC; C正确,易知EF∥BP, ∴锐角∠BPC是直线EF与直线PC所成的角. ABC 6.如图,过点C作CE⊥BD于点E,连接C1E,在长方体AC1中,CC1⊥底面ABCD, ∴CC1⊥BD. 又CE⊥BD,CC1∩CE=C, ∴BD⊥平面CEC1, ∴BD⊥C1E. 则∠CEC1为二面角C-BD-C1的平面角. 由等面积法,得CE=, ∴tan∠CEC1=,从而∠CEC1=30°. A 7.∵底面ABCD为正方形,∴AC⊥BD, ∵SA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD, ∴SA⊥BD. 又AC∩SA=A,∴BD⊥平面SAC. 又BD⊂平面PBD,∴平面PBD⊥平面SAC. B 8.可画出相应图形,如图所示. 由题意得BC∥DF,又DF⊂平面PDF,BC⊄平面PDF,∴BC∥平面PDF,故A正确; 由AE⊥BC,PE⊥BC,BC∥DF,知DF⊥AE,DF⊥PE,又AE∩PE=E,∴DF⊥平面PAE,故B正确; 又DF⊂平面ABC, ∴平面ABC⊥平面PAE,故D正确. 设AE,DF的交点为O,连接PO,则∠POE为二面角P-DF-E的平面角,设正四面体的棱长为2,则PE=,PO=,OE=,∴∠POE不是90°,∴平面PDF与平面ABC不垂直,故C错误. ABD 二．填空题 9.∵PA⊥平面ABC, ∴PA⊥BC. 又AB⊥BC,PA∩AB=A,∴BC⊥平面APB. ∵PB⊂平面APB, ∴BC⊥PB,∴△PBC为直角三角形. 又PA⊥平面ABC,∴PA⊥AB,PA⊥AC, ∴△PAB与△PAC为直角三角形, 又△ABC为直角三角形,∴共有4个直角三角形. 4 10.如图,取BC的中点O,连接OA,OP,则∠POA为二面角P-BC-A的平面角,OP=OA=,PA=, 所以△POA为直角三角形,∠POA=90°. 90° 11.如图所示,设正四面体A-BCD的棱长为1,顶点A在底面BCD上的射影为O,连接AO, 则AO⊥平面BCD. 连接DO并延长交BC于点E,连接AE,则E为BC的中点,故AE⊥BC,DE⊥BC,∴∠AEO即为侧面ABC与底面BCD所成二面角的平面角. 在Rt△AEO中,AE=,EO=ED=,∴cos∠AEO= 12.设平面外的点为A,平面内的点为B,过点A作平面α的垂线l,若点B恰为垂足,则所有过AB的平面均与α垂直,此时有无数个平面与α垂直;若点B不是垂足,则l与点B确定唯一平面β满足α⊥β. 1个或无数 13.∵AD⊥BC, ∴BD⊥AD,CD⊥AD, ∴折叠后,∠BDC为平面ABD与平面ACD所成二面角的平面角. 又平面ABD⊥平面ACD,∴∠BDC=90°. 又折叠前,AB=AC=1,∠BAC=90°, ∴BD+CD=, ∴BD=CD= 折叠后,连接BC, 在Rt△BDC中,BC==1. 1 三．解答题 14. 如图,取CD上一点E,设CE=10 m,过点E作直线AB所在的水平面的垂线EG,垂足为G, 则线段EG的长就是所求的高度. 在河堤斜面内,作EF⊥AB,垂足为F,并连接FG,则FG⊥AB,即∠EFG就是河堤斜面与水平面ABG 所成二面角的平面角,∠EFG=60°, 由此得EG=EFsin 60°=CEsin 30°sin 60°=104.3(m). 故沿这条直道从堤脚向上行走10 m时人升高约4.3 m. 15. (1)∵SC⊥平面ABC,∴SC⊥BC. 又∠ACB=90°,∴AC⊥BC. ∵AC∩SC=C,∴BC⊥平面SAC, 又P,M分别是SC,SB的中点, ∴PM∥BC,∴PM⊥平面SAC. 又PM⊂平面MAP,∴平面MAP⊥平面SAC. (2)同(1),可证AC⊥平面SBC,∴AC⊥CM,AC⊥CB, 从而∠MCB为二面角M-AC-B的平面角. 如图,过点M作MN⊥CB于点N,则MN∥SC,所以MN⊥平面ABC. ∵直线AM与直线PC所成的角为60°,MN∥PC, ∴∠AMN=60°. 连接AN,在Rt△ACN中,CN=PM=1,AC=1,由勾股定理得AN= 在Rt△AMN中,MN= 在Rt△CNM中,tan∠MCN=, 故二面角M-AC-B的平面角的正切值为 16. 如图,连接AC,交BD于点F,连接EF. 由题意知EF是△SAC的中位线,∴EF∥SC. ∵SC⊥平面ABCD,∴EF⊥平面ABCD. 又EF⊂平面EDB,∴平面EDB⊥平面ABCD. 17. (1)∵D是AB的中点,△PDB是正三角形,AB=20,∴PD=AB=10.∴AP⊥PB. 又AP⊥PC,PB∩PC=P,∴AP⊥平面PBC. 又BC⊂平面PBC,∴AP⊥BC. ∵AC⊥BC,AP∩AC=A,∴BC⊥平面PAC. ∵BC⊂平面ABC,∴平面PAC⊥平面ABC. (2)∵PA⊥PC,且PA⊥PB, ∴∠BPC是二面角D-AP-C的平面角. 由(1)知BC⊥平面PAC,则BC⊥PC, ∴在Rt△BPC中,sin∠BPC= (3)∵D为AB的中点,M为PB的中点, ∴DMPA,且DM=5, 由(1)知PA⊥平面PBC, ∴DM⊥平面PBC. ∵S△BCM=S△PBC=2, ∴VM-BCD=VD-BCM=52=10 学科网（北京）股份有限公司 $