课时分层检测(30) 直线与平面垂直的判定-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

班级 姓名 得分 课时分层检测（三十） 直线与平面垂直的判定 :7.如图所示，AB是⊙O的直 基础达标练 径，PA⊥⊙O所在的平面， 1.正方体ABCD-A1B1C1D1中与AD1垂直的 C是圆上一点，且∠ABC= 平面是 、 30°，PA=AB,则直线PC A.平面DD1C1C B.平面A1DB 与平面ABC所成角的正切 C.平面A1B1C1D D.平面A1DB 值为 2.空间中直线1和三角形的两边AC,BC同时8.在长方体ABCD一A1B1C1D1中，正方形 垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的： ABCD的面积为16，AC1与平面BB1C1C所 位置关系是 ( 成的角为30°，则该长方体的体积为 A.平行 B.垂直 C.相交 D.不确定 :9.如图所示，四边形ABCD是 3.若一条直线垂直于一个平面内的①三角形 正方形，DE⊥平面ABCD, 的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径； DE=DA=2. ④正六边形的两边，则能保证该直线与平面！ (1)求证：AC⊥平面BDE; 垂直的是 ( (2)求AE与平面BDE所 A.①③ B.② 成角的大小 C.②④ D.①②④ 4.如图所示，在正三棱柱ABC一A1B1C1中， 若AB:BB1=√2：1，则AB1与平面 BB1CC所成角的大小为 ( A.45 B.60° C.30° D.75 5.在三棱锥V-ABC中，当三条侧 棱VA,VB,VC之间满足条件 时，有VC⊥AB. (注：填上你认为正确的一种条 件即可) 6.如图，在四棱锥P-ABCD中， 底面ABCD为矩形，PA⊥平 面ABCD,则图中共有直角三 角形的个数为 205 班级 姓名 得分 10.如图所示，直三棱柱ABC A 3.如图，四棱锥S一ABCD的底面为正方形， A1B1C1的底面ABC为等腰 SD⊥底面ABCD,则下列结论中正确的有 直角三角形，∠ACB=90°，C 个 点到AB1的距离为CE,D为 AB的中点， 求证：(1)CD⊥AA1; (2)AB1⊥平面CED. ①AC⊥SB; ②AB∥平面SCD; ③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD; ④AB与SC所成的角等于DC与SC所成 的角. 4.如图，PA⊥矩形ABCD 所在的平面，M,N分别 是AB,PC的中点. D (1)求证：MN∥平面PAD: (2)若PD与平面ABCD M 所成的角为45°，求证：MN⊥平面PCD. 能力提升练 1.如图所示，如果MC⊥菱形 ABCD所在平面，那么MA 与BD的位置关系是() A.平行 …0 创新拓展练 0 B.垂直相交 如图，在直三棱柱ABC一A1B1C1中，BC= C.垂直但不相交 D.相交但不垂直 CC1,当底面A1B1C1满足条件 时， 2.(多选)如图，ABCD 有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种 A1BC1D1为正方体，下 条件即可，不必考虑所有可能的情况) 列结论正确的是( A.BD∥平面CB1D1 B.AC1⊥BD C.AC1⊥平面CB1D1 D.异面直线AD与CB1所成的角为60° 206MNAC∥平面DEF. 能力提升练 易知四边形MNAC为梯形，且MN=号AC=2区， :1.A 2.ABC 3.B 过，点M作MP⊥AC于点P, 「设正方体棱长为1，DP-x,则x∈[0,1]，连接AD1, 可得MC-√8T4=2B,PC-=ACMN-2. AP(图略)，由AD∥BC可知，∠ADP(或其补角)即为异面直线 2 D1P与BC1所成角.在△AD,P中，AD1=√2，AP=D,P= 所以MP=W√MC-PC=I0. 所以S#MNAC=立X(2VE+4V2)X√10=6V5. √1+x',故os∠ADP= +7又：r∈[0,1]，∴es∠ADP 2 5.解(1)证明：在平面图形中，连接MN,设MN与AB交于点G ·四边形ABCD和四边形ABEF都是矩形，AD=AF, √2 ∴.AD∥BE且AD=BE 2 .四边形ADBE是平行四边形 台号]∠ADPa∠De[片，哥] ∴.AE∥DB. 又AM=DN,∴.四边形ADNM是平行四边形. 5.3 V30 16 [,AA1∥DD,∴∠DDB即为异面直线BD1与AA ∴.MN∥AD. 所成的角.连接BD,在Rt△D,DB中，sin∠DD,B D 当点F,A,D不共线时，如图， A MG∥AF,NG∥AD. DB=2巨-5：AD∥BC,∴∠DBC(或共 又MG∩NG=G,AF∩AD=A, BD 263 '.平面GNM∥平面ADF 补角)即为异面直线BD1与AD所成的角.连接 又MNC平面GNM, D1C,在△D1BC中，正四棱柱ABCD-A1BC1D ..MN∥平面ADF, 的底面边长为2，高为4，∴.D1B=2√6，BC=2,D1C 故当点F,A,D不共线时，线段MN总平行于平面FAD (2)这个结论不正确. =25,D1B=BC+D1C.∴∠DCB=90..sin 要使上述结论成立，M,N应分别为AE和DB的中点.理由如下， 当点F,A,D共线时，如题图，易证得MN∥FD. DC25=√，故异面直线BD,与AD所成角的正 ∠D,BC-DB2后6 当点F,A,D不共线时，由(1)知平面MNG∥平面FDA,则要使 MN∥FD总成立， 根据面面平行的性质定理，只要FD与MN共面即可 孩位是 创新拓展练 若要使FD与MN共面，连接FM,只要FM与DN相交即可， 解：AD与BC成60°角，∴∠HGF=60或120° ,'FMC平面ABEF,DNC平面ABCD,平面ABEF∩平面ABCD -AB, 设AE:AB=,则震-福- ∴.若FM与DN相交，则交点只能为点B,此时只有M,N分别为 又BC=a,.EF=a.x. AE,DB的中点才满足 由FM∩DN=B,可知它们确定一个平面， 由EHBE AD AB =1-x,得EH=a(1-x) 即F,D,V,M四点共面 .平面FDNM∩平面MNG=MN,平面FDNM∩平面FDA-FD,: ∴StcH=EFXEHXsin60°=arXa1-DX5=5d(-十 2 2 平面MNG∥平面FDA, ,'.MN∥FD. x)-3 11 课时分层检测（二十九） 基础达标练 当x= 8a, 1.B2.D3.A4.C5.D6.ACD 7.60°[连接AD(图略)，则AD,∥BC.∴∠CAD(或其补角)就是 即当E为AB的中点时，截面的面积最大，最大面积为日， AC与BC1所成的角，连接CD(图略)，在正方体ABCD-A1B1C1D 中，AC-AD1=CD1,∴.∠CAD1=60°，即AC与BC1所成的角 课时分层检测（三十） 为60°.1 基础达标练 8.5[取AD的中点P,连接PM,PN, 1.D2.B3.A4.A :5.VC⊥VA,VC⊥VB(答案不唯一，只要能保证VC⊥AB即可)[只 要VC⊥平面VAB,即有VC⊥AB:故只要VCLVA,VC⊥VB 即可.] 6.4PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC.又BC⊥AB,PA∩AB=A, PAC平面PAB,ABC平面PAB,,.BC⊥平面PAB.'.BC⊥PB.同 理得CD⊥PD.故共有4个直角三角形.门 则BD/PM,AC∥PN,∠MPN即为异面直线AC与BD所成的：7.影，国为A平而ABC,所以AC为斜线PC在平面ABC上的射 影，所以∠PCA即为PC与平面ABC所成的角.在△ABC中，AC= 角（或其补角），∠MPV=90°，PN=7AC=4,PM=2BD=3, 子AB=PA,所以an∠PCA-e-2.] PA .MN=5.1 9.证明取CD1的中点G,连接FG,DG.,E是BD,的中点， 8.642S ARCD=16,.AB=CB=4, :EG∥BC,EG=2BC F是AD的中点， 且AD∥BC,AD=BC, DL ∴DF∥BC,DF=ZBC ,.EG∥DF,EG=DF. ,∴，四边形EFDG是平行四边形 ,AB⊥平面BB,C1C,故∠AC1B为AC1与平面BB1C1C所成的 ∴.EF∥DG. 角，即∠ACB=30°.从而BC=4V5,CC1=√BC-BC-4V2.故 又A1A=AB,∴.四边形ABB1A1、四边形CDD1C 长方体的体积V=16×4√2=64√2.] 都是正方形，且G为CD1的中点， 9.解(1)证明：.四边形ABCD是正方形，ACLBD. .DG⊥CD1.∴.CD1⊥EF .DE⊥平面ABCD,ACC平面ABCD,.AC⊥DE, 10,解取CB的中点D,连接ED,DF,则∠EDF(或 ,'BDC平面BED,DEC平面BED,BD∩DE=D, 其补角)为异面直线SB与AC所成的角，即 .AC⊥平面BDE. ∠EDF=90 (2)设AC∩BD=O,连接EO,如图所示. SB=1 在△EDF中，ED=2 AC平面BDE, ∴E)是直线AE在平面BDE上的射影， DF=AC-1,所以EF=VED+DF-E. ∴，∠AEO即为AE与平面BDE所成的角， 在Rt△EAD中， 即EF的长为√2. EA=√AD+DE=2√2，AO=√2， 294 ∴在Rt△EOA中，sin∠AEO=AO=1 !8.①③→②（或②③→①）[若1La,1Lm,则m∥a,显然①③→②正 EA2 确；若lLm,n∥a,则l∥a,l与a相交但不垂直都可以，故①②→③ 0°∠AE090°」 不正确；若1⊥a,m∥a,则l垂直于a内所有直线，在a内必存在与m ∴.∠AEO=30°，即AE与平面BDE所成的角为30°， 平行的直线，所以可推出1⊥n,故②③>①正确.] 1O,证明(I)由题意知AA1⊥平面ABC,CDC平面ABC,所以CD!9.证明取BC的中点F,连接EF,AF AA (2)因为D是AB的中，点，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB· 则EF∥BB且EF=7BB. =90° 从而EF∥DA且EF=DA, 所以CD⊥AB.又CD⊥AA1,AB∩A1A=A,ABC平面A1BBA, 所以四边形ADEF为平行四边形， A1AC平面AB1BA, 所以AF∥DE. 所以CD⊥平面AB,BA 因为DE⊥平面BCCB1 因为AB1C平面A1B1BA,所以CD⊥AB1 所以AF⊥平面BCCB, 又CE⊥AB,CD∩CE=C,CDC平面CED,CEC平面CED,所以 所以AF⊥BC,即AF为BC的垂直平分线，故AB AB⊥平面CED. =AC. 能力提升练 :10.证明，因为M,N分别是EA与EC的中点，所以MN∥AC, 1.C 2.ABC 又因为ACC平面ABC,MN吐平面ABC, 3. ,SD⊥平面ABCD,ACC平面ABCD,.SD⊥AC.·四边形 所以MN∥平面ABC. ABCD为正方形，∴.BD⊥AC,又SD∩BD=D,.ACL平面SBD,H 因为DB⊥平面ABC,EC⊥平面ABC, 且SBC平面SBD,∴.AC⊥SB,故①正确.AB∥CD,AB庄平面 所以BD∥EC,又BD≠EC SDC,CD二平面SDC,..AB∥平面SCD,故②正确.SD平面 所以四边形BDEC为直角梯形 ABCD,.SA在底面上的射影为AD,∴.SA与底面ABCD所成的 因为N为EC中点，EC-2BD, 角为∠SAD,③正确.AB∥CD,故④也正确. 所以NC LBD, 4.证明(1)取PD的中点E,连接NE,AE, 所以四边形BCVD为矩形 如图. A 又N是PC的中点， 所以DN∥BC, 又因为DN吐平面ABC,BCC平面ABC, NE∥DC且NE=zDC 所以DN∥平面ABC, 又因为MN∩DN=N, 又：DC∥AB且DC=AB,AM=AB, 所以平面DMN∥平面ABC. 能力提升练 ∴AM∥CD且AM=2CD, 1.A ∴.NE∥AM,且NE=AM. 2.(6,十∞)「由题意知PA⊥DE,又PE⊥DE,PA∩PE=P.所以 ,四边形AMNE是平行四边形， DE⊥平面PAE,则DELAE.易证△ABEC△ECD.设BE=x,则 E5APD.MNE辛面PAD. AB BE ，具上三少上，和3—，.2一ax牛9一0，()由题感方程（欢）■ a-x ∴.MN∥平面PAD. 有两个不相等的实根，故△=a一4×1×9>0，则a>6.] (2).PA⊥平面ABCD. 3.②③④[①因为AC∩平面CB,D,=C,所以AC与平面CB,D1不 .∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角， 平行，故①错误；②连接BC1,A1C1(图略).易证AC1⊥BD1,AC1 ∴.∠PDA=45°，∴.AP=AD, BC,因为BD∩BC=B1,BD1C平面CBD1,BCC平面 ,E是PD的中点，.AE⊥PD CBD,所以AC⊥平面CBD,故②正确；③因为CC⊥底面ABCD, 又MN∥AE,∴.MN⊥PD. ,'PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD, 所以∠CAC是AC与底面ABCD所成的角，所以an∠CAC-A CC .PA⊥CD. 又.CD⊥AD,PA∩AD=A,PA,ADC平面PAD, .CD平面PAD. 巨，故③正确：④AD,与BD既无交点也不平行，所以AD与BD为 AEC平面PAD,.CD⊥AE, 异面直线，故④正确.门 .CD⊥MAN 4.证明因为PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD,所以PA⊥CD. 又CD∩PD=D,CD,PDC平面PCD, 又四边形ABCD是矩形，所以CD⊥AD. ,.MN⊥平面PCD. 因为PA∩AD=A,PAC平面PAD,ADC平面PAD,所以CD⊥平 创新拓展练 面PAD. AC⊥B,C(答案不唯一)如图所示， 又AEC平面PAD,所以AE⊥CD. 因为AE⊥PD,PD∩CD=D,PDC平面PCD,CDC平面PCD,所 以AE⊥平面PCD. 因为I⊥平面PCD,所以l∥AE 5.证明如图. 因为BB⊥a,CC⊥a, 所以BB∥CC B 因为CCC平面CCD'D, 连接B,C,由BC=CC,可得BC,⊥B,C.因此，要证AB,⊥BC,则i BB'吐平面CCD'D, 只要证明BC1⊥平面AB1C,即只要证AC⊥BC1.由直三棱柱可知， 所以BB'∥平面CCD'D. 只要证ACLBC,因为AC∥AC,B,C∥BC,故只要证AC⊥ 又因为四边形ABCD是矩形， B1C,(或者能推出AC1⊥BC1的条件，如∠A1CB=90等)] 所以AB∥CD, 课时分层检测（三十一） 又CDC平面CCD'D,AB吨平面CCD'D 所以AB∥平面CCD'D. 基础达标练 因为AB,BB是平面ABB'A'内的两条相交直线， 1.D 2.B 3.AB 4.D 5.BCD 所以平面ABB'A'∥平面CCD'D. 6.9[如图，设AB的中点为M,分别过A,M,B向 a作垂线，垂足分别为A1,M1,B1,则由线面垂直 又a∩平面ABB'A'=A'B',a∩平面CCD'D=CD', 所以A'B'∥CD' 的性质可知，AA1∥MM1∥BB1,四边形AA1B1B 同理，BC∥A'D',所以四边形AB'CD'是平行四边形. 为直角梯形，AA1=8,BB1=10,MM1为其中位 线，.MM1-9. 课时分层检测（三十二） 7.30°[如图，作ACLa,BD⊥a,垂足分别为C,D, 基础达标练 则AC∥BD,AC,BD确定的平面与平面a交于CD,且CD与AB相：1.BD2.C3.B4.C5.ABC 交于O,AB=10cm,AC=3cm,BD=2cm,则AO=6cm,B0= 4cm,∴∠AOC-∠BOD=30°，即线段AB与平面a所成的角的大 :6.直角[设P在平面ABC上的射影为O,:平面PAB⊥底面ABC, 小为30°.1 平面PAB∩平面ABC=AB,∴.O∈AB.PA=PB=PC,.OA= OB=OC,,.O是△ABC的外心，且是AB的中，点，.△ABC是直角 三角形. !7.60°正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为2√6，则底面边长 为2√3，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，所以侧面与底面所成 的二面角的正切值为√3，故所求的二面角为60°.] :8.DM⊥PC(或BM⊥PC等)「易知BD⊥PC.所以当DM⊥PC(或 295