8.6.1 直线与直线垂直 同步练习题-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 分层清晰，从基础几何体到综合应用，梯度递进巩固空间直线垂直及异面直线所成角，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |例题精练|长方体、三棱柱等基础几何体中直线垂直证明与角的计算|从简单到复杂，如从长方体到翻折问题，逐步提升空间复杂度| |A组基础达标|空间直线位置关系判断、异面直线所成角的基本计算与证明|选择、填空、解答结合，覆盖核心考点，如正方体中异面直线垂直判断| |B组能力提升|复杂几何体、动点问题中异面直线所成角的综合应用|引入动点运动、直三棱柱等情境，提升推理与空间想象能力，如异面直线所成角取值范围探究|

8.6.1　直线与直线垂直 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 【学习目标】 1.借助长方体，了解空间中直线与直线垂直的关系. 2.理解并掌握异面直线所成的角.(重点)3.会找异面直线所成的角.(难点) 【例题精练】 【例1】如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点，求证：CD1⊥EF. 【答案】证明见解析 【分析】取的中点，连接，，由三角形中位线定理以及平行四边形的性质可证明，可得直线与所成的角即为异面直线与所成的角，求出为直角即可. 【详解】如图，取CD1的中点G， 连接EG，DG. ∵E是BD1的中点， ∴EG∥BC，EG＝BC.∵F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC， ∴DF∥BC，DF＝BC， ∴EG∥DF，EG＝DF，∴四边形EFDG是平行四边形， ∴EF∥DG， ∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角. 又∵A1A＝AB，∴四边形ABB1A1、四边形CDD1C1都是正方形，又G为CD1的中点，∴DG⊥CD1， ∴∠D1GD＝90°，∴异面直线CD1与EF所成的角为90°. 所以CD1⊥EF. 【例2】如图，在所有棱长都等于1的三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABB1＝，∠B1BC＝．    证明：A1C1⊥B1C； 【答案】证明见解析 【分析】利用勾股定理得出AC⊥B1C，异面直线所成角定义即得. 【详解】证明：连接AB1，在△ABB1中，∠ABB1＝，AB＝BB1＝1，所以AB1＝， 在△BCB1中，∠B1BC＝，BC＝BB1＝1，所以B1C＝1， 所以在△ACB1中，AB1＝，B1C＝1，AC＝1，所以AB12＝AC2＋B1C2， 所以AC⊥B1C． 又因为在三棱柱ABC－A1B1C1中， 1， 所以A1C1⊥B1C． 【例3】如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，与，分别垂直，垂足为，且，是侧棱的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，与交于点，由中位线得证线线平行，然后得线面平行； （2）取中点，证明，从而得到异面直线与所成的角或其补角，然后由余弦定理求得余弦值，进而求得正弦值. 【详解】（1）连接，与交于点， 则为中点，又为中点，， 又平面，平面， 平面． （2）取中点，连接，、是、的中点，， 就是异面直线与所成的角或其补角， 在中，，，， 则， ， 所以直线与夹角的正弦值为. 【例4】如图，等腰梯形中，， ，，垂足为，将沿翻折，得到四棱锥.在四棱锥中，点，分别在线段，上，且. (1)若，求直线BC与直线PA所成角的余弦值. (2)求证：平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）构造平行四边形，将平移至，把异面直线所成角转化为，再用余弦定理计算余弦值； （2）通过在、上取点构造辅助线，证明平面平面，再由面面平行的性质得平面. 【详解】（1） 在线段上取点，使得 ，则四边形是平行四边形，故， 连接，故是异面直线所成角（或补角），，， 由勾股定理，. 由余弦定理得， 故异面直线所成角的余弦值是. （2） 若分别是上的点，且， 连接，又， 所以，即四点共面， 由平面，平面，则平面， 同理可证平面，又，且都在平面内， 所以平面平面，平面，故平面. 【A组基础达标】 一、单选题 1．在正方体中，连接，，则直线，位置关系是（    ） A．异面且垂直 B．异面但不垂直 C．相交且垂直 D．平行 【答案】A 【分析】易知与互为异面直线，根据线面垂直的判定定理与性质即可证明. 【详解】如图，易知与互为异面直线. 连接，则， 又面，面， 所以，又面， 所以面，又面， 所以. 故选：A 2．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，bc，则直线a与c（　　） A．一定平行 B．一定垂直 C．一定是异面直线 D．一定相交 【答案】B 【分析】根据空间中直线的位置关系分析判断. 【详解】∵a⊥b，bc，∴a⊥c. 故选：B. 3．正方体中，点分别是的中点，则与所成角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过构造等边三角形判断直线与直线的夹角. 【详解】如图所示：设正方体边长为，取中点，连接. 易知正方体中，所以与所成角即与所成角. 又分别为中点. 所以. 所以三角形为等边三角形，即与所成角为. 所以与所成角为 4．如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中位线将与平移到一个平面内，然后求线段长，求其夹角或其补角. 【详解】设正三棱柱中，，则， 取中点，中点，中点，连接、、， 如图， ，且， ，且， (或其补角)就是异面直线与所成的角. 在中，，， ， 故. 同理，在 中，，， ， 故. 过作于，连接， ，故是中点， 所以，又， 所以 在中： ，，， 所以是等腰三角形，且. 所以与所成的角为其补角. 故选：B. 5．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则直线与所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】还原正方体，根据直线夹角的定义可得解. 【详解】 还原正方体可知点与点重合，如图所示， 设正方体棱长为， 则， 即为等边三角形， 即， 所以直线与所成角为， 故选：C. 6．在四棱锥中，底面是菱形，底面，，且，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出图形，作辅助线，确定直线的夹角，然后根据线角关系求出其余弦值. 【详解】连接交于点，取的中点，连接，如图所示： 则，那么直线的夹角为直线的夹角或其补角. 因为底面，底面，所以，. 设，则，，所以. 因为菱形，，所以，所以. 所以，所以. 所以直线的夹角的余弦值为. 故选：A. 二、多选题 7．如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（    ）    A．直线与是平行直线 B．直线与是异面直线 C．直线与所成的角为 D．四边形的面积为 【答案】BCD 【分析】提出假设证明得出矛盾可判断A错误，根据异面直线性质可得B正确，作出异面直线的平面角可得C正确，由正方体棱长计算利用梯形面积公式计算可得D正确. 【详解】对于A，取的中点为，连接，如下图所示：    由正方体性质可知， 若直线与是平行直线，则可得，显然这与相交于点矛盾，故错误； 对于B，易知平面，平面，直线，平面，可得直线与是异面直线，故B正确； 对于C，连接，如下图：    可得为直线与所成的角，而， 可得直线与所成的角为.故C正确. 对于D，连接，易知，，所以为等腰梯形， 因为棱长为2，可得， 即等腰梯形的高为，因此，即D正确. 故选：BCD. 8．如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（    ） A． B． C．与成60°角 D．与是异面直线 【答案】BCD 【分析】由展开图翻折成正方体，根据正方体的性质判断直线间的位置关系． 【详解】展开图翻折成的正方体如图所示，因为，，因此，所以A错误；同理，，所以，B正确； 或其补角是与所成的角，又△是等边三角形，所以，所以与所成的角是，C正确. 又平面，且与不平行，故与是异面直线，D正确. 故选：BCD. 三、填空题 9．在长方体中，底面ABCD是边长为1的正方形，异面直线与CD所成角为，则到底面ABCD的距离为________ 【答案】 【分析】由异面直线所成的角可求得长方体的高，即可得出结果. 【详解】如下图所示： 由长方体性质可知与平行， 所以即为异面直线与CD所成的角，即， 又因为为直角三角形，， 又，所以； 可得， 易知到底面ABCD的距离为. 故答案为： 10．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M、N分别为AB、CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝________. 【答案】5 【分析】取AD的中点P，连接PM、PN，∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角，解△MPN即可. 【详解】取AD的中点P，连接PM，PN， 则BD∥PM，AC∥PN， ∴∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角， ∴∠MPN＝90°，PN＝AC＝4，PM＝BD＝3， ∴MN＝5. 故答案为：5. 四、解答题 11．如图，已知正方体. （1）求与所成角的大小； （2）若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：. 【答案】（1）（2）证明见解析 【分析】（1）根据正方体的性质，证出，由此得到就是与所成的角．然后在正三角形中加以计算，可得与所成角的大小； （2）平行四边形中可得， 可证，又即可得证； 【详解】解：（1）如图，连接，由几何体是正方体，知四边形为平行四边形，所以， 从而与所成的角为与所成的角， 由，可知. 故与所成的角为. （2）如图，连接，易知四边形为平行四边形，所以， 因为为的中位线， 所以. 又， 所以， 所以. 【点睛】本题在正方体中求异面直线所成角的大小，着重考查了正方体的性质、异面直线所成角的定义及求法等知识，属于中档题． 12．在四棱柱中，侧面都是矩形，底面是菱形且，，若异面直线和所成的角为，试求. 【答案】 【分析】连接、，分析可知异面直线和所成的角为，设，计算出三边边长，利用勾股定理可得出关于的等式，即可求得的长. 【详解】解：连接、， 在四棱柱中，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 所以，异面直线和所成的角为， 因为四边形、均为矩形，则，， 在菱形中，，， 由余弦定理可得， 设，则， 因为，由勾股定理可得，即，解得. 【B组能力提升】 1．如图，已知正方体，中，平面，且与不平行，则下列结论一定不可能的是（    ） A．与平行 B．与异面 C．与所成的角为30° D．与垂直 【答案】A 【解析】依次判断每个选项：假设与平行，得出矛盾，错误；取为所在直线，满足；取与成角，成立；得到答案。 【详解】假设，则由，可得，这与“与不平行”矛盾，所以与不平行. 取为所在直线，满足；取与成角，成立。 故选： 【点睛】本题考查了空间中直线的位置关系，意在考查学生的空间想象能力。 2．当动点在正方体的棱上运动时，异面直线与所成角的取值范围 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过平行找线线角，再根据三角形求角. 【详解】 设正方体棱长为1，，则，连接，， 由可知，∠即为异面直线与所成角， 在中，，，故， 又， ， 又在为单调减函数，，故选. 【点睛】本题考查异面直线所成角，考查基本分析求解能力，属基础题. 3．如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，异面直线与所成角的余弦值为，则该三棱柱的高为_____. 【答案】2 【分析】连接，可得是异面直线与所成的角，设三棱柱的高为，在中利用等腰三角形的性质列方程可求出. 【详解】连接，如图， 在直三棱柱中，， 则（或其补角）是异面直线与所成的角，所以， 设三棱柱的高为，在和中，， 所以是等腰三角形. 因为，所以， 所以，所以该三棱柱的高为2. 故答案为：2. 4．在空间四边形中，分别是的中点.若，且与所成的角为，则的长__________. 【答案】或 【分析】由题意可知四边形为菱形，且知菱形相邻的两个角分别为，再由所给边长即可求得的长. 【详解】如图所示，    因为分别是的中点， 所以 所以四边形为菱形，又因为与所成的角为， 所以直线与所成角为， 所以菱形的边长为，相邻两个内角分别为， 即或， 所以或， 故答案为：或 5．已知正四棱锥的高为8，各个顶点均在表面积为的球的表面上，相交于，点为线段上一点，使得直线平面. (1)确定点的位置，并证明你的结论； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)为线段的中点，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的性质可得，结合是的中点即可判断点位置, （2）根据正四棱锥的几何性质，结合球的表面积公式，可得四棱锥的底面边长，即可根据平行得是异面直线与成的角或其补角，利用余弦定理即可求解. 【详解】（1）为线段的中点，证明如下： 由于相交于，四边形为正方形，故是的中点， 由于平面，平面，且平面, 故, 由于是的中点，故为线段的中点. （2）由球的表面积公式，得球的半径， 设球心为，在正四棱锥中，高为，则必在上， 连，则,，故, 则在，有， 即，可得正方形的边长为， 侧棱． 由（1）知，故是异面直线与成的角或其补角， 由于为等腰三角形，且, 故， 异面直线与所成角的余弦值为； 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.6.1　直线与直线垂直 同步练习题 2025-2026学年第二学期高一数学人教A版必修第二册 【学习目标】 1.借助长方体，了解空间中直线与直线垂直的关系. 2.理解并掌握异面直线所成的角.(重点)3.会找异面直线所成的角.(难点) 【例题精练】 【例1】如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点，求证：CD1⊥EF. 【例2】如图，在所有棱长都等于1的三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABB1＝，∠B1BC＝．证明：A1C1⊥B1C； 【例3】如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，与，分别垂直，垂足为，且，是侧棱的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与夹角的正弦值． 【例4】如图，等腰梯形中，， ，，垂足为，将沿翻折，得到四棱锥.在四棱锥中，点，分别在线段，上，且. (1)若，求直线BC与直线PA所成角的余弦值. (2)求证：平面. 【A组基础达标】 一、单选题 1．在正方体中，连接，，则直线，位置关系是（    ） A．异面且垂直 B．异面但不垂直 C．相交且垂直 D．平行 2．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，bc，则直线a与c（　　） A．一定平行 B．一定垂直 C．一定是异面直线 D．一定相交 3．正方体中，点分别是的中点，则与所成角为（ ） A． B． C． D． 4．如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 5．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则直线与所成角的大小为（   ） A． B． C． D． 6．在四棱锥中，底面是菱形，底面，，且，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的是（    ）    A．直线与是平行直线 B．直线与是异面直线 C．直线与所成的角为 D．四边形的面积为 8．如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（    ） A． B． C．与成60°角 D．与是异面直线 三、填空题 9．在长方体中，底面ABCD是边长为1的正方形，异面直线与CD所成角为，则到底面ABCD的距离为________ 10．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M、N分别为AB、CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝________. 四、解答题 11．如图，已知正方体. （1）求与所成角的大小； （2）若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：. 12．在四棱柱中，侧面都是矩形，底面是菱形且，，若异面直线和所成的角为，试求. 【B组能力提升】 1．如图，已知正方体，中，平面，且与不平行，则下列结论一定不可能的是（    ） A．与平行 B．与异面 C．与所成的角为30° D．与垂直 2．当动点在正方体的棱上运动时，异面直线与所成角的取值范围 A． B． C． D． 3．如图，在直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，异面直线与所成角的余弦值为，则该三棱柱的高为_____. 4．在空间四边形中，分别是的中点.若，且与所成的角为，则的长__________. 5．已知正四棱锥的高为8，各个顶点均在表面积为的球的表面上，相交于，点为线段上一点，使得直线平面. (1)确定点的位置，并证明你的结论； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $