第八章 课时分层评价35 直线与直线垂直-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教A版）

课时分层评价35　直线与直线垂直 (时间：40分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9小题，每小题5分，共45分) 1.若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与直线c(　　 ) A.一定平行 B.一定垂直 C.一定是异面直线 D.一定相交 答案：B 解析：因为a⊥b，b∥c，所以a⊥c.故选B. 2.在三棱锥A-BCD中，E，F，G分别是AB，AC，BD的中点，若AD与BC所成的角为60°，则∠FEG＝(　　) A.30° B.60° C.120° D.60°或120° 答案：D 解析：如图所示，因为E，F，G分别是AB，AC，BD的中点，所以EG∥AD，EF∥BC.根据异面直线所成的角的定义可知，∠FEG(或其补角)为异面直线AD与BC所成的角.因为AD与BC所成的角为60°，所以∠FEG＝60°或120°.故选D. 3.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角为(　　) A.45° B.60° C.90° D.120 答案：B 解析：如图所示，连接A1B，BC1，A1C1.因为A1B＝BC1＝A1C1，所以∠A1BC1＝60°.因为E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，所以EF∥A1B，GH∥BC1，所以EF与GH所成的角为∠A1BC1(或其补角)，所以异面直线EF与GH所成的角为60°.故选B. 4.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2，BB1＝1，AC＝2，则异面直线BD与AC所成的角为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 答案：C 解析：如图所示，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE(或其补角)即为异面直线BD与AC所成的角.由条件可知BD＝DE＝EB＝，所以∠BDE＝60°.所以异面直线BD与AC所成的角为60°.故选C. 5.(多选)如图是一个正方体的平面展开图，在原正方体中，给出下列四个结论，其中正确的是(　　) A.AB与CD所在直线垂直 B.CD与EF所在直线平行 C.AB与MN所在直线成60°角 D.MN与EF所在直线异面 答案：CD 解析：画出原正方体如图所示，连接DN，DM，由图可知A，B错误；AB∥DN，MN＝DN＝DM，所以△DMN为等边三角形，所以C中，AB与MN所在直线成60°角是正确的；显然D中，MN与EF所在直线异面是正确的.故选CD. 6.(多选)如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则下列结论正确的是(　　) A.AC⊥BD B.AC∥截面PQMN C.AC＝CD D.异面直线PM与BD所成的角为45° 答案：ABD 解析：因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN，PN∥QM.又MN⊂平面DAC，PQ⊄平面DAC，所以PQ∥平面DAC.又PQ⊂平面BAC，平面BAC∩平面DAC＝AC，所以PQ∥AC∥MN.因为AC⊄截面PQMN，MN⊂截面PQMN，所以AC∥截面PQMN，故B正确；同理可证PN∥BD∥MQ.因为PN⊥NM，所以AC⊥BD，故A正确；又∠PMQ＝45°，所以异面直线PM与BD所成的角为45°，故D正确；AC和CD不一定相等，故C错误.故选ABD. 7.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是A1D1和BC的中点，则在长方体所有的棱中和EF垂直且异面的有　　　　条. 答案：2 解析：长方体所有的棱中和EF垂直且异面的有AD，B1C1，共2条. 8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线B1C与DE所成角的余弦值为　　　　. 答案： 解析：如图所示，连接A1E，A1D，则A1D∥B1C，则异面直线B1C与DE所成的角为∠A1DE(或其补角)，设AB＝2，则A1D＝2，A1E＝DE＝，在等腰三角形A1DE中，cos ∠A1DE＝＝，则异面直线B1C与DE所成角的余弦值为. 9.如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝　　　　. 答案：5 解析：如图所示，取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，所以∠MPN或其补角即为异面直线AC与BD所成的角，所以∠MPN＝90°，PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，所以MN＝5. 10.(13分)正四棱锥P -ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E为PC的中点. (1)求证：PA∥平面BDE； (2)求异面直线PA与DE所成角的余弦值. 解：(1)证明：如图所示，连接AC，设AC，BD的交点为O，连接OE. 因为O，E分别为AC，PC的中点，所以OE∥PA，PA⊄平面BDE. 又OE⊂平面BDE，故PA∥平面BDE. (2)由(1)可得∠DEO(或其补角)为异面直线PA与DE所成的角，设AB＝2，则EO＝1，OD＝，DE＝， 由勾股定理逆定理可得△ODE为直角三角形， 则cos ∠DEO＝＝＝， 故异面直线PA与DE所成角的余弦值为. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AB的中点，在△CMD1中，CM⊥MD1，CD＝4，DD1＝3，则AD＝(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B 解析：如图所示，连接DM.由M为AB的中点得CM＝DM，设AD＝a(a＞0)，则CM＝，CD1＝＝5，MD1＝＝＝.因为CM⊥MD1，所以CM2＋M＝C，即a2＋4＋a2＋13＝25，解得a＝2(负值舍去).故选B. 12.(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，A1D1的中点，O为正方形A1B1C1D1的中心，则下列说法正确的是(　　) A.直线EF，AO共面 B.直线EF，BB1是相交直线 C.直线EF与BC1所成的角为30° D.直线EF与BB1所成角的余弦值为 答案：AC 解析：连接OF，因为O为正方形A1B1C1D1的中心，F是A1D1的中点，所以OF∥A1B1∥AB，即OF，AE共面，从而EF，AO共面，故A正确；连接B1E，因为F∉平面BEB1，BB1⊂平面BEB1，E∉BB1，E∈平面BEB1，所以EF，BB1是异面直线，故B错误；连接OB，易得FO∥EB，且FO＝EB，所以四边形EFOB是平行四边形，所以EF∥BO，所以∠OBC1(或其补角)是异面直线EF与BC1所成的角.连接OC1，设正方体的棱长为1，在△BC1O中，BC1＝，OC1＝，OB＝EF＝＝，所以cos ∠OBC1＝＝，所以∠OBC1＝30°，故C正确；同理得∠OBB1(或其补角)是EF与BB1所成的角，连接OB1，在Rt△OBB1中，易得cos ∠OBB1＝＝＝，故D错误.故选AC. 13.已知圆柱O1O2的底面半径和母线长均为1，A，B分别为圆O2，圆O1上的点，若AB＝2，则异面直线O1B，O2A所成的角为　　　　. 答案： 解析：如图所示，过点A作平面O1的垂线，垂足为D，即AD是母线，连接DB，DO1，O1O2.因为AD∥O1O2，AD＝O1O2，所以四边形ADO1O2是平行四边形，O1D∥O2A，异面直线O2A与O1B所成的角就是∠DO1B或其补角.由题意可知AB＝2，AD＝1，在Rt△ABD中，DB＝＝.在等腰△O1DB中，由余弦定理得cos ∠DO1B＝＝＝－，∠DO1B＝.由于异面直线的夹角范围是，故取∠DO1B的补角. 14.(15分)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形，且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所成的角是90°，求AA1的长. 解：连接CD1，AC，如图所示. 在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1D1BC， 所以四边形A1BCD1是平行四边形， 所以A1B∥CD1，所以∠AD1C(或其补角)为异面直线A1B和AD1所成的角. 又异面直线A1B和AD1所成的角为90°， 所以∠AD1C＝90°. 因为在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中， AB＝BC＝2，∠ABC＝120°， 所以AC＝2sin 60°×2＝6， 所以AD1＝AC＝3，所以AA1＝＝＝. 15.(5分)当动点P在正方体ABCD -A1B1C1D1的棱DC上运动时，异面直线D1P与BC1所成角的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：设正方体棱长为1，DP＝x，则x∈，连接AD1，AP(图略).由AD1∥BC1可知，∠AD1P(或其补角)即为异面直线D1P与BC1所成的角.在△AD1P中，AD1＝，AP＝D1P＝，故cos ∠AD1P＝.又因为x∈，所以 cos ∠AD1P＝∈.又∠AD1P∈(0，π)，所以∠AD1P∈.故选C. 16.(17分)在正四棱锥P-ABCD中，PA＝AB，点E，F满足＝3，＝3，求异面直线BE与CF所成角的余弦值. 解：如图所示，取棱PC的中点G，连接BG，EG，BD. 由题意可知PE＝EF，即E是PF的中点. 因为G是PC的中点，所以EG∥CF， 则∠BEG(或其补角)是异面直线BE与CF所成的角. 因为在正四棱锥P-ABCD中，PA＝AB， 所以正四棱锥的各棱长相等. 设棱长为6，则CD＝6，DF＝PD＝2，∠CDF＝60°， 所以CF＝＝＝2， 则EG＝CF＝. 因为PB＝AB，PD＝AD，BD＝BD， 所以△BPD≌△BAD，所以∠BPD＝∠BAD＝90°，BE＝＝＝2. 在正三角形PBC中，BG＝3. 在△BEG中，由余弦定理的推论可得cos ∠BEG＝＝. 故异面直线BE与CF所成角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $