课时分层检测(28) 平面与平面平行-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

班级 姓名 得分 课时分层检测（二十八） 平面与平面平行 :6.如图所示，平面四边形 …0 基础达标练 0 ABCD所在的平面与平面a 1.能够判断两个平面α，3平行的条件是( 平行，且四边形ABCD在平 A.平面Q,B都和第三个平面相交，且交线 面a内的平行投影 平行 A1B1C1D1是一个平行四边 B.夹在两个平面间的线段相等 形，则四边形ABCD的形状一定是 C.平面Q内的无数条直线与平面B无公共点7.如图所示，P是△ABC所在平 D.平面α内的所有的点到平面B的距离都 面外一点，平面α∥平面 ABC,a分别交线段PA,PB, 相等 PC于A',B,C,若PA': 2.已知直线m,n,平面a,3,若a∥B,mCa,nC AA'=2:3,则S△ABC B,则直线m与n的关系是 ( S△ABC= A.平行 B.异面 :8.如图，在正方体ABCD C.相交 D.平行或异面 A1B1C1D1中，M,N,Q 3.如图所示，设E,F,E1,F1 D 分别是棱D1C1,A1D1, 分别是长方体ABCD BC的中点，点P在BD1 D A1B1C1D1的棱AB,CD, 上且BP=号BD1.则对 3 A1B1,C1D1的中点，则平 面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是 于以下四个说法： ①MN∥平面APC: ②C1Q∥平面APC: A.平行 B.相交 ③A,P,M三点共线； C.异面 D.不确定 ④平面MNQ∥平面APC. 4.设平面a∥平面B,点A∈a,点B∈B,C是 其中说法正确的是 (填序号)： AB的中点，当点A,B分别在平面a,B内运9.如图，在四棱柱ABCD 动时，那么所有的动点C ( ): A1B1C1D1中，底面ABCD A.不共面 为梯形，AD∥BC,平面 B.不论A,B如何移动，都共面 A1DCE与B1B交于点E. C.当且仅当A,B分别在两直线上移动时才： 求证：EC∥A1D. 共面 D.当且仅当A,B分别在两条给定的异面直 线上移动时才共面 5.如图，正方体ABCD A1B1CD1的棱长为3，点 E在A1B1上，且B1E=1, 平面a∥平面BCE,若平 面a∩平面AA1B1B= AF,则AF的长为 A.1 B.1.5 C.2 D.3 201 班级 姓名 得分 10.如图，在四棱锥P-ABCD 点，过点M的平面a与平面DEF平行，且与长方 中，点E为PA的中点，点 体的面相交，交线围成一个平面图形.请在图中 F为BC的中点，底面AB E 画出这个平面图形，并求这个平面图形的面积 CD是平行四边形，对角线 (不必说明画法与理由). AC,BD交于点O 求证：平面EFO∥平面PCD. …0 创新拓展练 …0能力提升练0 如图，在矩形ABCD和矩形 1.棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M ABEF中，AF=AD,AM= 是棱AA1的中点，过C,M,D1作正方体的 DN,矩形ABEF可沿AB任 截面，则截面的面积为 ( ) 意翻折. (1)求证：当点F,A,D不共 A.2 B.4 c D.5 线时，线段MN总平行于平面FAD. 2.(多选)如图，正方体AB (2)“不管怎样翻折矩形ABEF,线段MN总 CDA1B1C1D1的棱长为 与线段FD平行”这个结论正确吗？如果正 3,线段B1D1上有两个动 确，请证明；如果不正确，请说明能否改变个 点E,F且EF=1,则当E, 别已知条件使上述结论成立，并给出理由. F移动时，下列结论正确 的是 A.AE∥平面C1BD B.四面体ACEF的体积不为定值 C.三棱锥ABEF的体积为定值 D.四面体ACDF的体积为定值 3.在棱长为2的正方体ABCD一A1B1C1D, 中，M是棱A1D1的中点，过C1,B,M作正 方体的截面，则这个截面的形状是 截面的面积是 4.如图所示，在长方体ABCD B A1B1C1D1中，AB=BC=4, BB1=22,点E,F,M分别 A 为C1D1,A1D1,BC1的中 202能力提升练 所以MN∥PC且MN=PC, 1.BCD 2.A 所以四边形MNCP为平行四边形，所以PM∥CN. 3.8[由题意得EH是△ABD的中位线∴EH/BD且EH=合BD 因为PM￠平面BCE,CVC平面BCE, 所以PM∥平面BCE. -3,又：CE=CC=2,GF∥BD且GF=BD=4,由基本事 创新拓展练 解若MB∥平面AEF,如图过F,B,M作平面FBMN交AE 实4知，EH∥GF,且EH≠GF,.四边形EFGH是梯形，而直线· 于N, EH,FG之间的距离就是梯形EFGH的高，设为，即3+4)h- 连接MN,NF. 因为BF∥平面AACC, 28,得h=8.] BFC平面FBMN,平面FBMN∩平面AA,CC 4.解(1)证明：“AM'nBB-O,且A识-BC=2 =MN, OA OB3 所以BF∥MN. .AB∥A'B,同理，AC∥A'C,BC∥BC' 又MB∥平面AEF,MBC平面FBMN,平面 (2)A'B'∥AB,A'C∥AC且AB和A'B',AC和A'C‘方向相反， FBMN∩平面AEF=FN, ∠BAC=∠BA'C,同理，∠ABC=∠A'B'C,∠ACB=∠A'CB', 所以MB∥FN,所以四边形BFNM是平行四边形， ,.△ABC∽△AB'C, 所以MN=BF=1. 而EC∥FB,EC=2FB=2, 5.解(1)证明：因为AE:EB=AH:HD,所以EH∥BD 所以MN∥EC,MN=号EC=1, 又CF:FB=CG：GD,所以FG∥BD.所以EH∥FG 故MN是△ACE的中位线. 所以E,F,G,H四点共面， 所以当M是AC的中点时，MB∥平面AEF. (2)当EH∥G,且EH=FG时，四边形EFGH为平行四边形. 因为品n骨气所以EH AE 课时分层检测（二十八） BD. 基础达标练 1.D2.D3.A4.B5.A 同理可得FG-BD.由EH=FG,得m=元 6.平行四边形[由夹在两平行平面间的平行线段相等可得，四边形 故当m=n时，四边形EFGH为平行四边形. ABCD的形状一定是平行四边形.] 课时分层检测（二十七） :7.25 [平面a∥平面ABC,平面PAB与它们的交线分别为A'B', 基础达标练 AB,AB∥A'B',同理BC∥BC,易得△ABCC∽△A'B'C,则 1.B 2.A 3.B 4.A 5.ABC 6.平行[连接AC(图略)，.AC∥AC1,AC∥平面AB1CD1, sr:S=(是)广=（卧）=东] 又：ACC平面ABC,平面AB,C门平面AB,CD,=L,.AC∥L.]8.②③[①易知MN∥AC,连接AM,CN(图略)，得AM,CN交于点 7.①②③④[如图①所示，直线α，b平行，①可能成立；如图②所示，1 P,即MNC平面APC,所以MN∥平面APC是错误的： 直线a,b垂直不相交，②可能成立：如图③所示，直线a,b垂直相交， ②因为ANC平面APC,AN∥CQ, ③可能成立：如图④所示，直线a,b不垂直不相交，④可能成立.] 所以C1Q∥平面APC是正确的； a ③由①知A,P,M三点共线是正确的： ④直线AP延长到M,则M既在平面MVQ内 又在平面APC内，所以平面MNQ∥平面APC是错误的.] ② 9.证明：BE∥AA,AAC平面AAD,BEt平面AAD, 8.平行C:M,N分别是BF,BC的中点，∴MN∥CF.又四边形 ∴.BE∥平面AA1D. CDEF为矩形，.CF∥DE..MN∥DE.又MN中平面ADE,DEC :BC∥AD,ADC平面AA1D,BCt平面AA1D, 平面ADE,.MN∥平面ADE.] .BC∥平面AA1D. 9.证明如图，连接BD1交AC1于点O1,连 又BE∩BC=B,BEC平面BCE,BCC平面BCE, 接DO ,∴.平面BCE∥平面AA1D. BB∥DD,BB=DD, 又平面A,DCE∩平面BCE=EC,平面A1DCE∩平面AAD一 .四边形BBDD1为平行四边形， AD,.EC∥AD. .O1B1∥DO,O1B1=DO, ,10.证明因为四边形ABCD是平行四边形，AC∩BD=O, ∴.O1B1OD为平行四边形， 所以点O为BD的中，点 ,∴.BOO1D, 又因为点F为BC的中点，所以OF∥CD .BO寸平面A1C1D,ODC平面A1C1D,.BO∥平面A1C1D. 又OF吐平面PCD,CDC平面PCD, 10.解如图，连接BD交AC于点O1,连接OM 所以OF∥平面PCD, 因为PC∥平面MEF,平面PAC∩平面MEF= 因为点O,E分别是AC,PA的中点， OM,PCC平面PAC, 所以OE∥PC 所以PC/OM,所以-是 又OE吐平面PCD,PCC平面PCD, 所以OE∥平面PCD. 在菱形ABCD中，因为E,F分别是边BC,CD 又OEC平面EFO,OFC平面EFO,且OE∩OF=O,所以平面 的中点，所以0C EFO∥平面PCD. 能力提升练 :1.C 2.ACD 又A0,=C0,所以-=子 :3.等腰梯形号 [如图，取AA1的中点N,连 故PM:MA=1:3, 接MN,NB,MC,BC,AD. 即PM:MA的值为3 图为MN∥AD,AD1∥BC,故MN∥BC, 能力提升练 且MN=?BC,=√2，则截面MNBC为梯 1.C2.B 3.平行四边形CAB∥a,平面ABC∩a=EG,ABC平面ABC, 形，且为等腰梯形，MC-BN=√5，可得梯形 ∴.EG∥AB.同理FH∥AB,:EC∥FH.又CD∥a,平面BCD∩a= GH,CDC平面BCD,∴.GH∥CD.同理EF∥CD,,.GH∥EF,,.四 的高为疗所以塔形的面积为号厄+2们×是 9 2· 边形EFHG是平行四边形.] !4.解如图，设N为AB,的中，点，连接MN,AN, 4.解存在点M,如图，当点M是线段AE的中 AC.CM. 点时， 则四边形MNAC为所求的平面图形. PM∥平面BCE 因为M,N,E,F均为所在棱的中点，所以MN 证明如下： ∥EF 取BE的中点N,连接CN,MN, 又EFC平面DEF,MN平面DEF, 则MN∥AB且MN=2AB, 所以MN∥平面DEF, 又AN∥DE,AN中平面DEF,DEC平面DEF, 又PC∥AB且PC=ZAB, 所以AN∥平面DEF, 又MN∩AV=V,MVC平面MNAC,ANC平面MVAC,所以平面 293 MNAC∥平面DEF. 能力提升练 易知四边形MNAC为梯形，且MN=号AC=2区， :1.A 2.ABC 3.B 过，点M作MP⊥AC于点P, 「设正方体棱长为1，DP-x,则x∈[0,1]，连接AD1, 可得MC-√8T4=2B,PC-=ACMN-2. AP(图略)，由AD∥BC可知，∠ADP(或其补角)即为异面直线 2 D1P与BC1所成角.在△AD,P中，AD1=√2，AP=D,P= 所以MP=W√MC-PC=I0. 所以S#MNAC=立X(2VE+4V2)X√10=6V5. √1+x',故os∠ADP= +7又：r∈[0,1]，∴es∠ADP 2 5.解(1)证明：在平面图形中，连接MN,设MN与AB交于点G ·四边形ABCD和四边形ABEF都是矩形，AD=AF, √2 ∴.AD∥BE且AD=BE 2 .四边形ADBE是平行四边形 台号]∠ADPa∠De[片，哥] ∴.AE∥DB. 又AM=DN,∴.四边形ADNM是平行四边形. 5.3 V30 16 [,AA1∥DD,∴∠DDB即为异面直线BD1与AA ∴.MN∥AD. 所成的角.连接BD,在Rt△D,DB中，sin∠DD,B D 当点F,A,D不共线时，如图， A MG∥AF,NG∥AD. DB=2巨-5：AD∥BC,∴∠DBC(或共 又MG∩NG=G,AF∩AD=A, BD 263 '.平面GNM∥平面ADF 补角)即为异面直线BD1与AD所成的角.连接 又MNC平面GNM, D1C,在△D1BC中，正四棱柱ABCD-A1BC1D ..MN∥平面ADF, 的底面边长为2，高为4，∴.D1B=2√6，BC=2,D1C 故当点F,A,D不共线时，线段MN总平行于平面FAD (2)这个结论不正确. =25,D1B=BC+D1C.∴∠DCB=90..sin 要使上述结论成立，M,N应分别为AE和DB的中点.理由如下， 当点F,A,D共线时，如题图，易证得MN∥FD. DC25=√，故异面直线BD,与AD所成角的正 ∠D,BC-DB2后6 当点F,A,D不共线时，由(1)知平面MNG∥平面FDA,则要使 MN∥FD总成立， 根据面面平行的性质定理，只要FD与MN共面即可 孩位是 创新拓展练 若要使FD与MN共面，连接FM,只要FM与DN相交即可， 解：AD与BC成60°角，∴∠HGF=60或120° ,'FMC平面ABEF,DNC平面ABCD,平面ABEF∩平面ABCD -AB, 设AE:AB=,则震-福- ∴.若FM与DN相交，则交点只能为点B,此时只有M,N分别为 又BC=a,.EF=a.x. AE,DB的中点才满足 由FM∩DN=B,可知它们确定一个平面， 由EHBE AD AB =1-x,得EH=a(1-x) 即F,D,V,M四点共面 .平面FDNM∩平面MNG=MN,平面FDNM∩平面FDA-FD,: ∴StcH=EFXEHXsin60°=arXa1-DX5=5d(-十 2 2 平面MNG∥平面FDA, ,'.MN∥FD. x)-3 11 课时分层检测（二十九） 基础达标练 当x= 8a, 1.B2.D3.A4.C5.D6.ACD 7.60°[连接AD(图略)，则AD,∥BC.∴∠CAD(或其补角)就是 即当E为AB的中点时，截面的面积最大，最大面积为日， AC与BC1所成的角，连接CD(图略)，在正方体ABCD-A1B1C1D 中，AC-AD1=CD1,∴.∠CAD1=60°，即AC与BC1所成的角 课时分层检测（三十） 为60°.1 基础达标练 8.5[取AD的中点P,连接PM,PN, 1.D2.B3.A4.A :5.VC⊥VA,VC⊥VB(答案不唯一，只要能保证VC⊥AB即可)[只 要VC⊥平面VAB,即有VC⊥AB:故只要VCLVA,VC⊥VB 即可.] 6.4PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC.又BC⊥AB,PA∩AB=A, PAC平面PAB,ABC平面PAB,,.BC⊥平面PAB.'.BC⊥PB.同 理得CD⊥PD.故共有4个直角三角形.门 则BD/PM,AC∥PN,∠MPN即为异面直线AC与BD所成的：7.影，国为A平而ABC,所以AC为斜线PC在平面ABC上的射 影，所以∠PCA即为PC与平面ABC所成的角.在△ABC中，AC= 角（或其补角），∠MPV=90°，PN=7AC=4,PM=2BD=3, 子AB=PA,所以an∠PCA-e-2.] PA .MN=5.1 9.证明取CD1的中点G,连接FG,DG.,E是BD,的中点， 8.642S ARCD=16,.AB=CB=4, :EG∥BC,EG=2BC F是AD的中点， 且AD∥BC,AD=BC, DL ∴DF∥BC,DF=ZBC ,.EG∥DF,EG=DF. ,∴，四边形EFDG是平行四边形 ,AB⊥平面BB,C1C,故∠AC1B为AC1与平面BB1C1C所成的 ∴.EF∥DG. 角，即∠ACB=30°.从而BC=4V5,CC1=√BC-BC-4V2.故 又A1A=AB,∴.四边形ABB1A1、四边形CDD1C 长方体的体积V=16×4√2=64√2.] 都是正方形，且G为CD1的中点， 9.解(1)证明：.四边形ABCD是正方形，ACLBD. .DG⊥CD1.∴.CD1⊥EF .DE⊥平面ABCD,ACC平面ABCD,.AC⊥DE, 10,解取CB的中点D,连接ED,DF,则∠EDF(或 ,'BDC平面BED,DEC平面BED,BD∩DE=D, 其补角)为异面直线SB与AC所成的角，即 .AC⊥平面BDE. ∠EDF=90 (2)设AC∩BD=O,连接EO,如图所示. SB=1 在△EDF中，ED=2 AC平面BDE, ∴E)是直线AE在平面BDE上的射影， DF=AC-1,所以EF=VED+DF-E. ∴，∠AEO即为AE与平面BDE所成的角， 在Rt△EAD中， 即EF的长为√2. EA=√AD+DE=2√2，AO=√2， 294