课时分层检测(23) 球的表面积和体积-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

班级 姓名 得分 课时分层检测（二十三） 球的表面积和体积 :7.圆柱形容器的内壁底半径是10cm,有一个 0 基础达标练0 实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁 1.两个球的体积之比为8：27，那么这两个球 球，测得容器的水面下降了号cm,则这个铁 的表面积之比为 ( A.2:3 B.4:9 球的表面积为 cm2. C.√2：3 D.⑧：27 8.若一个底面边长为，侧棱长为，后的正六战 2.若球的体积与其表面积数值相等，则球的半！ 柱的所有顶点都在一个球面上，求该球的体 径等于 ( 积和表面积. A司 B.1 C.2 D.3 3.表面积为Q的多面体的每一个面都与表面 积为64π的球相切，则这个多面体的体积为 ( A.3Q B.Q c.ja D.2Q 4.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆 术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得 开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于 给出了已知球的体积V,求其直径d的一个 近似公式4=受如果球的半径为行根 据“开立圆术”的方法求得的球的体积约为 A.君 B晋 c D 5.将棱长为2的正方体削成一个体积最大的： 球，则这个球的体积为 ( A B誓 C.32x 3 D.4π 6.如图，在圆柱O1O2内有一个球 O,该球与圆柱的上、下底面及 母线均相切，记圆柱O1O2的体 积为V1,球O的体积为V2,则 号的值足 191 班级 姓名 得分 9.在高一年级一次社会实践活 :2.在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个 动中，一组学生的任务是用 体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8, 数控机床把一个半径为2的 AA1=3,则V的最大值是 铝合金球加工成一个工件， 3在正三棱锥A-BCD中，底面边长为2，高为 这个工件是具有公共底面圆的两个圆锥形 1,则该三棱锥的表面积为 ,内切球 (如图)，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都： 半径为 在这个球面上，已知圆锥底面面积是这个球：4.有一个长方体与半球拼接的组合体，已知长 面面积的各 方体的长、宽、高分别为10,8,15（单位：cm), 球的直径为5cm,求该组合体的体积和表 (1)求此次加工工件的利用率（加工成品工 面积. 件的体积与球的体积之比)； (2)求工件的表面积 0 创新拓展练 如图，一个圆锥形的空杯子 5cm 上面放着一个半球形的冰淇 淋，假设冰淇淋融化后体积 12 cm 不变，是否会溢出杯子？请 用你的计算数据说明理由. (冰、水的体积差异忽略不计，π取3.14) …0 能力提升练0 1.一平面截一球得到直径为2√5cm的圆面， 球心到这个平面的距离是2cm,则该球的体 积是 ( A.12πcm3 B.36πcm3 C.64√/6元cm3 D.108πcm3 192创新拓展练 又BC=BA+AC=2+1=3. 解设三棱锥的底面中心为O,连接PO(图略)，则PO为三棱锥的 ∴在△CBD中，由余弦定理得 高，设A,B,C所在的底面与PO交于O,点，则AB-P0, AB PO CD=3+@-2x3x×-5, 令A,B=x,而P0=,则PO,=么 ∴.CE十ED的最小值为√5. 于是0，=-P0=h-合=-) 创新拓展练 解(1)设两种方案所建的仓库的体积分别为V,V, 所以所求三棱柱的侧面积为S=3x·h(1一云)= 3h(a-)x= 方案一：仓库的底面直径变成16m, [等-(-受)门] 别共休积子Xxx(受) ×4=256xm); 3 方案二：仓库的高变成8m, 3 当x=号时，S有最大值为子ah,此时0为PO的中点 则共体积：=×x(受)】 ×8=96π(m3). 课时分层检测（二十二） (2)设两种方案所建的仓库的表面积分别为S1,S2 方案一：仓库的底面直径变成16m,半径为8m, 基础达标练 1.A2.A3.D4.D5.D 此时圆锥的母线长为l1=√82+4=4√5(m), 6.2[设圆锥的母线为1，圆锥底面半径为r,由题意可知，πrl十π= 则仓库的表面积S1=π×8×(8+4√5)=(64十325)π(m): 3π，且πl-2πr.解得r一1，即直径为2. 方案二：仓库的高变成8m,此时圆锥的母线长为2=√82十6=10 7.3「圆台的轴截面是下底长为12寸，上底长为28寸，高为18寸的 (m), 等腰梯形，雨水线恰为中位线，故雨水线直径是20寸，所以降水量 则仓库的表面积S,=π×6×(6十10)=96π(m). (102+10×6+6)×9 为③ (3)因为V>V1,S<S,所以方案二比方案一更加经济 =3(寸).] π×142 课时分层检测（二十三） 8.[设圆维底面半径为r,则VF十7-2，则r=2,所以圆维的 基础达标练 体积V=子×x产X2-经] 1.B2.D3.C4.D5.B [设球O的半径为R,球O与圆柱O1O,2的上、下底面及母线 9.解如图，设球心为O,球的半径为r,EF为正四棱锥的高， 均相切国鞋0Q的高为2R,底面半径为北长-： 4 D 41 :7.100m[设该铁球的半径为，则由题意得号=元X10×号，解 4 则在Rt△AOF中，(4一r)2+(√2)2=r2, : 得r3=53.∴.r=5..∴.这个铁球的表面积S=4π×52=100π(cm).] 解得=号， :8.解如图，在底面正六边形ABCDEF中，连接 BE,AD交于O,连接BE1,则BE=2OE=2DE, 81 所以BE=√6 该球的表面积为4元=4πX(9)） 4元 在Rt△BEE中， 10.解如图，设圆锥的底面半径为R,圆柱的底面半径为r,表面积 ! BE=√BE+EE2-2√3， 为. 则R=(OC=2,AC=4, 所以2R=2√，则R=√5 A0=√/42-22=25. 所以球的体积V4=子元R=4V5元， 4 易知△AEBP△AOC, 球的表面积S=4πR2=12π. 所以器畏中 :9.解(1)设球半径为R,圆锥底面半径为 232 所以r=1, "r-=是×4R∴=号R-反 S意=2πr2=2π，S=2r·h=2V5元 如图，设较大圆锥与较小圆锥的高分别为h1,h2, 所以S=S盘+S州=2π十2√3π=(2十2V3)元 则Rt△BOCC∽Rt△CO1A 能力提升练 得h1:h2=3：1, 1.ABD 2.B 3.2:12√3：1 [Saa=2(受)+2x…受 342 ∴h1=3,h2=1,Vx#=V+V2=3元r(h十h2） 2 S=(受)）广…号a=， 3π(3)2X4=4元， 加工工件的利用率二一 4π 3 S任：S魔绿=2：1. V 81 V=x(）·a=a, 3X2 (2)由(1)得大、小圆锥的母线长为11=2√5,1，=2， V钟= 大、小圆锥的表面积之和为S=S1十S,=元r(11十12)=√5π×(2十2 2 24 Vgt:Vga=开公：a=25:1.] 3)=2(3+√3)元. 能力提升练 9 4.20224π「设圆锥的母线长为1，如图，以S为圆 1.B 心，SA为半径的圆的面积S一πl,又圆锥的侧面积 π[当球的半径最大时，球的体积最大。在直三棱柱内，当球和三 S触制=πl一8πl根据圆锥在平面内转到原位置 2.2 个侧面都相切时，因为AB⊥BC,AB=6,BC=8,所以AC=10,底面 时，圆锥本身滚动了2.5周，.πl2=2.5×8πl,∴.l= 20cm圆锥的表面积S=Sm维制十S:=πX8X20十元X8= 的内切圆的半径即为此时球的半径，=6十8,10=2，直径为4，大 2 224π(cm). 5.解(1)由题意得，圆柱的底面半径为1，高为2， 于侧棱，所以球的最大直径为3，半径为受，此时体积V-] 则圆柱的侧面积为2π×1×2=4π，圆柱的体积为π×12×2=2π. (2)将△PAC绕PA所在直线旋转到△PAC !3.35 :[如图所示，O为△BCD的中心，且AO 的位置，使其与平面PAB共面，且C在AB的 反向延长线上，此时CD与PA的交点即为使 垂直于底面BCD,E为BC的中点，底面边长为 CE十ED取得最小值的点E的位置（如图）. PA=AB=2, C4- 2DE=i0D=290E=号AE- ∠PBA=T,BD=BP=E √AO+OE= 291 2X25-25,SAD=5,5=35aAm+SAD=2V5+5= 课时分层检测（二十五） 3 3√5.设内切球半径为r,球心为O,VA-BCD=Vo-ABC十Vo-ACD十 基础达标练 11.D2.C3.B4.CD5.D Vm+V“宁×X1=3X(传×2x）十号X万X6平行或相交或C多这两点在a的同侧时，1与。平行：当这两 点在a的异侧时，l与a相交，] ,解得r=子 !7.8[以底边所在直线为准进行考察，因为四边形ABCD是平面图 4,解由已知可得V#方#=10×8×15=1200(cm3), 形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线 能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4X2一8（对）异面 又V=×号成=×号x(侵)）=罗cm 直线. i8.异面因为a∥a,cCa,所以a与c无公共点，不相交：若a∥c,则 所以所求几何体体积为 直线a∥3或aC3,这与“a与3相交”矛盾，所以a与c异面.] V-V者+V:=120+罗(em)。 :9.解(1)c∥a.因为a∥B,所以a与3没有公共，点， 又cC3,所以c与a无公共，点，则c∥a. 因为S米*体◆=2X10×8+8X15十10X15)=700(cm), (2)c∥a.因为a∥3，所以a与3没有公共点， 故所求几何体的表面积S教雨款=S华方体会十S年绿一S平绿鹿=700十！ 又Ya=a,y门P=b,则aCa,bC3,且a,bCY, fπ(cm2). 2 所以a,b没有公共点. 由于a,b都在平面Y内，因此a∥b,又c∥b,所以c∥a. 创新拓展练 :10.解(1)平面PAC与平面ABCD的交线为直线AC,如图1. 解半球的半径为5cm,.圆锥的底面半径为5cm,高为12cm, (2)延长AP,AB交于点E,连接CE,则直线CE为平面PAC与 Va=×R=号X号xX5≈261.67(em), 平面ABCD的交线，如图2. 2 。1 Va集=3元rh=3元×5X12=314(cm), V*降V,∴冰洪淋融化了，不会溢出杯子 课时分层检测（二十四） 基础达标练 1.B2.D3.C4.B5.ABD6.D 能力提升练 7.∈[因为anb=M,aCa,bCR,所以M∈a,M∈R又因为a∩B=,C2.2 所以M∈I.] !3.证明在正方体ABCDA'BC'D'中，E为B'C的中，点，所以EC与 8.P∈直线DE[因为P∈AB,ABC平面ABC,所以P∈平面ABC BB'不平行， 又P∈a,平面ABC门平面a=DE,所以P∈直线DE.] 则延长CE与BB必相交于一点H, 所以H∈CE,H∈BB', 9.证明如图，AC∥BD, .AC与BD确定一个平面，记作平面3，则a∩B= 又BB'C平面ABB'A',CEC平面CDFE, 所以H∈平面ABBA',H∈平面CDFE, 直线CD. 故平面ABB'A与平面CDFE相交. .l∩a-O,∴.0∈a 14.解平面ABC与平面B的交线与1相交. 又O∈AB,ABC3, 证明如下：，AB与l不平行，且ABCa,lCa, .O∈3，∴.O∈直线CD, AB与l是相交直线. O,C,D三点共线. 设AB∩l=P,则，点P∈AB,点P∈1. 10.证明如图，连接A1B,CD1,BD1, D 又ABC平面ABC,lC3, 显然B∈平面A1BCD1,D1∈平面A1BCD1, ,∴.P∈平面ABC且P∈平面3， BD1C平面ABCD. 即点P是平面ABC与平面3的一个公共，点， 同理，BD,C平面ABC1D1, 而点C也是平面ABC与平面B的一个公共，点， ,平面ABCD,∩平面ABCD-BD1. 又P,C不重合， ,AC∩平面ABCD1=Q, ∴直线PC就是平面ABC与平面B的交线， ,.Q∈平面ABC1D. 即平面ABC∩平面B=直线PC,而直线PC门l=P 又，A1CC平面ABCD, ∴.平面ABC与平面3的交线与l相交. ,Q∈平面A1BCD1, 课时分层检测（二十六） ,∴.Q在平面A,BCD1与平面ABCD,的交线上，即Q∈BD, 基础达标练 B,Q,D三点共线 1.C 2.B 3.C 4.CD 5.D 能力提升练 :6.②④[①错误，可以异面；②正确，是基本事实4；③错误，和另一条 1.D 2.ABC 3.C ; 可以异面：④正确，由平行直线的传递性可知， 4.证明因为在梯形ABBA'中，A'B'∥AB,所以AA', 7.(1)AB∥DC(2)∠ABA=∠DCD[(1)在长方体ABCD BB在同一平面A'B内.设直线AA,BB相交于点P A1BC1D1中，A1D1∥BC,且A1D1=BC,.四边形ABCD1为平 如图所示，同理BB',CC同在平面BC内，CC,AA'同 行四边形，.AB∥DC 在平面A'C内.因为P∈AA',AA'C平面A'C,所以P (2)由(1)及AB∥DC,根据等角定理可得∠A,BA=∠DCD.] ∈平面A'C.同理点P∈平面BC,所以点P在平面A 8.矩形「如图所示.点M,N,P,Q分别是四条边的中 C与平面BC的交线上，而平面A'C∩平面BC=CC, 故点P∈直线CC,即三条直线AA',BB',CC相交于一点， 点，MN∥AC,且MN=号AC,PQ∥AC,且PQ= 5.证明(1)如图，连接EF,D1C,A1B. D E为AB的中点，F为AA1的中点， 号AC,∴MN/PQ,且MN=PQ,.四边形MNPQ是 ∴EF∥AB,且EF=号AB, 平行四边形，又AC⊥BD,NP∥BD,PQ⊥NP,,∴.四 D 边形NPQ是矩形.] 又，AB∥DC,且AB=DC, 19.证明(1)如图，取BB的中点M,连接EM,CM ∴EF∥D,C,且EF=D,C 在矩形ABBA中，易得EMLA1B1, 因为A1B1⊥CD1,所以EMLC1D1, E,F,D1,C四点共面. 所以四边形EMC1D为平行四边形， (2)EF∥CD1,EF✉CD1, 所以D1E∥CM. ,.CE与D1F必相交，设交点为P, 在矩形BCCB,中，易得MBLC1F, 则由P∈直线CE,CEC平面ABCD, 所以四边形BFC,M为平行四边形， ..P∈平面ABCD. 所以BF∥C1M,所以D,E∥BF 同理，P∈平面ADDA (2)因为ED1∥BF,BB1∥EA, 又平面ABCD∩平面ADDA1=DA, 又∠B,BF与∠A1ED的对应边方向相同， .P∈直线DA, 所以∠BBF=∠A1ED1· .CE,D1F,DA三线共点 292