8.3.3 球的表面积和体积-【名师大课堂】2025-2026学年高中数学必修第二册同步小作业（人教A版）

课时3球的表面积和体积 A级基础练 1.已知一平面截一球得到直径为2√3cm的 3.已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该 圆面，球心到这个面的距离是√6cm,则该球 圆柱的外接球的体积为 ( ) 的体积为 ( A.55x B.82x 6 3 A.12πcm B.36πcm3 C.64√6πcm3 D.108πcm3 C.205x D.642x 3 2.“中国天眼”是具有世界最大单口径的球面 4.如图是一个正八面体，其每 射电望远镜，其形状可近似地看成一个球冠 一个面都是正三角形，四边 (球面被平面所截得的一部分叫作球冠，如 形ABCD是正方形，六个 图所示，截得的圆面叫作球冠的底，垂直于 截面的直径被截得的一段叫作球冠的高.若 顶点都在球O的球面上， 球面的半径是R,球冠的高是h,那么球冠的 则球O与正八面体的体积 表面积S=2πRh).已知天眼的反射面总面 的比值是 积（球冠面积）约为25万平方米，球冠底面 A.π 总号 直径为500米，则天眼的高度约为 ( c D.2π 5.给一个大金属球的表面涂漆共需1.5kg油漆. 若把这个大金属球熔化制成64个大小相同的 A.60米 B.100米 小金属球，不记损耗，并给这些小金属球的表 C.130米 D.160米 面都涂漆，则需要油漆 kg. B级 综合练 1.某同学在参加实践课时，制作 2.在封闭的直三棱柱ABC-AB,C1内有一 了一个工艺品，如图所示，该工 个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC 艺品可以看成一个球被一个棱 =8,AA1=3,则V的最大值是 () 长为4√3的正方体的六个面所截 后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若 野 B.4π 其中一个截面圆的周长为4π，则该球的体积为 C.6π n ( ) 3.已知点P是圆柱上底面圆周上一动点， A.256x B.256π 3 △ABC是圆柱下底面圆的内接三角形.在 C. D. △ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b, c,若c=2,C=60°，三棱锥P一ABC体积的 39 最大值为25，则该三棱锥外接球的表面积 (2)求制作该模具所需材料的体积； 为 多 c2, 4.将大小不同的两个空心铁球O2,O1依次放 入一倒置、有盖且装满水的圆锥形容器中， 若两球相切，两球均与圆锥形容器的侧面相 切，且上面的大球O,与圆锥形容器的上盖 也相切.圆锥形容器的轴截面是边长为6的 正三角形ABC,如图所示，则放入两球后溢 出的水的体积为 (3)求模具顶点到内壁的最短距离. 0 0 5.为满足市场对球形冰淇淋的需求，某工厂特 地制作了一款中空的正三棱柱模具，其内壁 恰好是球体的表面，且内壁与棱柱的每一个 面都相切（内壁厚度忽略不计），店家可以将 不同口味的冰淇淋放入该模具中，再通过按 压的方式得到球形冰淇淋.已知该模具底面 边长均为6cm. (1)求内壁的面积； 405.D设圆台上、下底面的半径分 别为，由题意可知写×2x× 3=2m3×2m×6=2m,解得 r1=1,r2=2.作出圆台的轴截面，如图所示，OD= r1=1,OA=r2=2,AD=6-3=3.过点D向AO 作垂线，垂足为T,则AT=r2一r1=1,所以圆台的 高DT=√/AD-AT=√32-1=2√2.又圆台上底 面面积S1=元X12=元，下底面面积S2=元×22= 4,所以国台的体积V=子(S,十S,十S·S): DT=}X7xX22=14@ 3 B级综合练 1.D不妨设弧AD所在圆的半径为R,弧BC所在 圆的半径为r.由孤AD的长度是孤BC的长度的3 倍，知R=3r,所以CD=R-r=2r=2,所以r=1, R=3.又AA,垂直于底面，底面扇环的圆心角为 受故该曲池的体积V=牙(R-)·AA=6元 2.D设圆锥的底面半径为r,高为h,母线长为1.由 题意得l=2,S=πrl=2rr,h=√-r=√4-r, 则V=号h=言”47，所以5 = 3r 2πr -4-7<×+- 2 3 当且仅当r=√/4-r,即r=√2时取等号，此时V= 3w4-7-}×xX2x42-24 3 3.A设圆锥SO的底面半径为r,母线长为1.依题 意，πl=2xr,则l=2r,所以高S0=√-r=√5r. 设圆柱PO的底面半径为r。,母线长为l。,则PO= 6:南-9得以.又 πrl 4 S0√3r 2得6=（则==号，所以国 柱PO的体积与圆锥SO的体积的比值为 元2年r2·3 2 3 3w2·s03,8 4.BCD延长DA,CB交于点E,如图1.由题意得， AE=AD=2,BE-BC-AD+(CP)=2 于A,以AD所在直线为轴旋转一周，得到一个圆 台，此圆台的侧面积S=(2十4)X2√2π=12√2π， 故A错误；对于B,以CD所在直线为轴旋转一周，： -10 得到一个以2为底面半径，以2为高的圆柱与一个 以2为底面半径，以2为高的圆锥的组合体，所以 该组合体的体积V,=V。十V=2×2元十号× 2×2元=号，放B正确：对于C以AB所在直线 为轴旋转一周，得到一个圆柱挖去一个圆锥的组合 体，所以该组合体的表面积S=4π十2πX2X4十 2√2X2x=20π十4√2π，故C正确；对于D,以BC 所在直线为轴旋转一周，得到一个圆锥和一个圆台 挖去一个小圆锥的组合体，如图2，所以该组合体 的体积为V=号×(22)X2Ex+}×[②)元 +W2×(22+(2)x]×万-号× 2)'X2元=282x,故D正确.故选BCD. 3 E D 图1 图2 5.解：(1)由题意得，圆柱的底面半径为1，高为2，则 圆柱的侧面积为2π×1×2=4π，圆柱的体积为π× 12×22=2元. (2)如图，连接PC,将△PAC 绕PA所在直线旋转到 △PAC的位置，使其与平面 PAB共面，且C'在BA的延长 线上，此时CD与PA的交，点 C 即为使CE十ED取得最小值的点E的位置. 因为PA=AB=2,PA⊥AB,所以∠PBA=T,PB 2N2. 又D为PB的中点，所以BD=PB=E。 又BC=BA+AC=2+1=3, 所以在△C'BD中，由余弦定理得C'D= √3+（②）-2x3x2×2=5. 2 所以CE+ED的最小值为√5. 课时3球的表面积和体积 A级基础练 1.B由题意知截面圆的半径r=√3cm,所以球的半 径R=√(W3)2+(√6)2=3(cm),则球的体积为V= 青R=台X3=36mem 2.C如图，OB=250,设球面 半径为R,球冠的高为h,则 球冠面积S=2πRh.在Rt A △OOB中，有(R-h)2+ 2502=R2,整理得2Rh=h2+2502,则S=2πRh= πM+250元=250000，得2=250000 -2502≈ 17118,所以h≈130（米）. 3.B圆柱的轴截面ABB,A1如 0 图所示，记圆柱上、下底面圆的 圆心分别为O,O2,连接 0 O1O2,取O1O2的中，点为0，连 接OB,则点O为外接球球心， A OB为外接球半径.因为圆柱的 03 母线BB1长度为2，底面半径r=O,B=1,所以外 接球半径R=OB=√JOO十O,B=√2，所以外接球 的体积V=专xX(@)=8@ 3 4.A由题意得正方形ABCD的中心O即外接球的 球心，设AB=a,球0的半径为R,则R=OA= 2 a,球0的体积为=音x×(号a)'=.又 OE=AE-00-(e)广-，故正八西 体的作V,=2X×a×号。-，- 5.答案：6 解析：设大金属球的半径为R,小金属球的半径为 r,由号R=64×专，得r=子R,则64个小金 属球的表面积之和为64X4πr2=4×4πR2.因为大 金属球的表面积为4πR,且需要1.5kg油漆，所以 给这些小金属球的表面都涂漆共需要油漆4×1.5 =6(kg). B级综合练 1.A分析知球心到六个截面的距离均为正方体棱 长的一半，即2√3.设截面圆半径为r,球的半径为 R,则/2w=4, 得R=4,故该球的体积为 R2=r2+(2√3)2， 3xX4-256 4 3元 2.D当球的半径最大时，球的体积最大.在直三棱 柱内，当球和三个侧面都相切时，因为AB⊥BC, AB=6,BC=8,所以AC=10,设底面三角形ABC 的内切国的半径为r,则Sm=号×6X8=号(6 十8十10)r,则r=2,即此时球的半径r=2,直径为 10 4,大于侧棱，所以当球的半径最大时，球应与直三 棱柱的上、下底面相切，此时球的直径为3，半径为 号，即体积V的最大值为专x×()-要 21 3.B在△ABC中，由余弦定理可得 4=c2=a2+b2-2abcos C=a+ b2-ab≥2ab-ab=ab,即ab≤4， 当且仅当a=b=2时，等号成立， B 所以Sac=弓iC=5ab 1 Iabs ×4=尽.设圆柱的高为h,则V,A=3 4 Sae·4长9. 因为三棱锥P-ABC体积的最大值为2)S,所以 3 -2,所以么=2，元时△ABC为等选三角形， 圆柱底面圆的丰径r号X2sin60°三2y月 31 三棱锥P一ABC的外接球的半径为R,则该三棱锥 的外接球和圆柱的外接球为同一个球，则R= (会)》+-1+(2)了=名，因光该三校锥外接 球的袁面积为红R一得。 4答案。 解析：设球O2,O1的半径分别为r,R.正三角形 ABC的高h=3B,由h=0,A+R=sm0+R 3√3，可得R=√5.又O,A=h-2R-r=√3-r, OA- SD30三2r解得r气个，所以放入两球后溢 出的水的体积为音R+青w-1 27元. 5.解：(1)由题意得内壁的面积即正 三棱柱内切球的表面积.如图，过 三条侧棱的中点M,N,G作正三 棱柱的截面，则球心O为△MNG 0 的中心， 公 连接MO并延长交GN于，点H. 因为MN=6,所以△MNG内切圆的半径r=OH -MH-/MN-HNF-J3, 即内切球的半径R=√，所以内切球的表面积 S缘=4πR2=12r,即内壁的面积为12xcm2. (2)由题意得材料的体积即正三棱柱的体积减去其 内切球的体积. 由(1)得正三棱柱的高h=2R=2√3 因为Va=5a·A=号×6X6sn60X2,5=5, V=青R=4x, 所以V校接-V球=54一43π， 即制作该模具所需材料的体积为(54一4√3π)cm3. (3)由对称性知6个顶点到内壁的最短距离都相 等.如图，连接OM,OA,则由(1)知OM=2OH= 2√3，所以AO=√OM+AM=√(2√3)+(3) =√/15， 所以A到球面上的，点的距离最小值为AO一R √15一√3，即模具顶点到内壁的最短距离为（√5 √3)cm. G 0〉、 第四节 空间点、直线、平面之间的 位置关系 课时1平面 A级基础练 1.B点A在直线a上，表示为A∈a.直线a在平面 a内，表示为aCa.点B在平面a内，表示为B∈a. 故选B. 2.A当直线a和直线b相交时，平面a和平面B必 有公共点，即平面α和平面B相交，充分性成立；当 平面a和平面B相交时，直线a和直线b可能有公 共点，也可能没有公共点，即必要性不成立.故 选A. 3.BC三个不共线的，点才能确定唯一平面，A错误； 圆上不重合的三，点一定不共线，能确定唯一平面，B 正确；因为两条相交直线或两条平行直线都能确定 一个平面，所以平行四边形的任意两条边都能确定 唯一平面，C正确；当顶点在这条边上时，这个点和 直线不能确定唯一平面，D错误. 4.ABD对于A,由基本事实2可知，aC3,A正确. 对于B,由基本事实2可知，直线MVCa,MNCB, 所以a∩3=MN,B正确.对于C,因为A∈a,A∈3， 所以A∈a∩B,由基本事实3可知a∩B为经过点A 的一条直线而不是点A,故a∩B=A的写法错误，C 错误.对于D,因为A,B,M不共线，所以由基本事 实1可知，过A,B,M有且只有一个平面，故a,B重 合，故D正确. 5.证明：(1)连接GH,EF, 因为E,F分别是PA,AB的中，点，所以EF∥PB. 因为=路合，所以GH/P服 所以GH∥EF,即E,F,G,H四，点共面. (2)由(1)知，GH∥EF,又GH<EF, 所以EG,FH必相交于一点，设为，点O 因为O∈EG,EGC平面PAC,所以O∈平面PAC. 同理O∈平面ABC. 又平面PAC∩平面ABC=AC, 所以O∈AC,即三条直线EG,FH,AC交于一点. B级综合练 1.ABD对于A,因为BE∩CF=P,所以BE,CF共 面，即B,C,E,F四，点共面，故A正确.对于B,P∈ BE,BEC平面ABB1A1,所以P∈平面ABB1A1, 故B正确.对于C,直线AE与直线BB1相交，AE C平面AEF,BB,C平面BB,CC,则平面AEF与 平面BB,C,C相交，故C错误.对于D,因为P∈ CF,CFC平面ACC1A1,所以P∈平面ACC1A1,由 B知P∈平面ABB1A1,又平面ABB1A1∩平面 ACC1A1=AA1,所以P∈AA1,故D正确. 2.D如图，在DC上任意取一，点 D N,直线A,D,与点N确定一个 A 平面，这个平面与EF有且仅有 M E 1个交点，设为M,当点N取不 同的位置就确定不同的平面，从 而与EF有不同的交，点，而直线MN与直线A1D,, EF,DC都相交，故在空间中与直线A,D1,EF,DC 都相交的直线有无数条. 3.BCD对于A,当A=号时，知图1，连接EG,GF, 由图可知A,G,E,F不共面，故G庄平面AEF,所 以A错误； A D' B 图1 图2 对于B,如图2，当入=号时，E,F分别为B',DD 的中点，连接FC,EC',AC.由正方体结构特征知 AE∥CF,则A,F,E,C四点共面，AC'C平面 AEF,所以B正确；对于C,如图3，延长AF与 A'D'的延长线交于点M,连接MH,取MH与C' 3