课时分层检测(22) 圆柱，圆锥、圆台的表面积和体积-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

班级 姓名 得分 课时分层检测（二十二） 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 水深九寸，则平地降雨量是 寸 …。基础达标练 0 (注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以 1.圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1 盆口面积；②一尺等于十寸) 和2，则圆台的高为 ( )8.如果我们把高和底面半径相等的圆锥称为 A.3 B.4 C.5 D.6 “标准圆锥”，那么母线长为2√2的“标准圆 2.一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2的 锥”的体积为 正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比9.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥 值是 ( ) 的高为4，底面边长为2，求该球的表面积. A B.1+2x 4元 C.1+2x D.1十4r 2π 3.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所： 截，截得的几何体的最短和最长母线长分别 为2和3，则该几何体的体积为 A.5π B.6π C.20π D.10元 4.圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积 是6π，则这个圆台的体积是 ( ) A.2 B.2W3π 10.如图，在底面半径为2，母线长 D 为4的圆锥中内接一个高为 3元 √3的圆柱，求圆柱的表面积. 5.已知圆锥的母线长为2，侧面积为S,体积为 V.则号取得最大值时圆维的体积为 ( A号 B.42x 3 D.22x 3 6.表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一 个半圆，则该圆锥的底面直径为 7.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆 测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆 接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底 直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积 189 班级 姓名 得分 …0 能力提升练 0… …0 创新拓展练 0 1.(多选)圆台的上、下底面半径分别为10和 某养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供 20,它的侧面展开图扇环的圆心角为180°， 融化高速公路上的积雪用).已建的仓库的 则圆台的 ( 底面直径为12m,高为4m.养路处拟建一 A.母线长是20 B.表面积为1100π 个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐.现 C.高是10√2 D.体积是70003x 有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比 原来大4m(高不变)；二是高度增加4m(底 2.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1, 面直径不变). O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截 (1)分别计算按这两种方案所建的仓库的 面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积： 体积； 为 (2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表 A.12√2πB.12元 C.8√2元D.10π 面积； 3.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长 (3)哪种方案更经济些？ 为a的正方形和正三角形，则圆柱和圆锥的 表面积之比为 ,其体积之比为 4.把底面半径为8cm的圆锥放倒在一平面上， 使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这： 个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身滚！ 动了2.5周，则圆锥的母线长为 cm,表面积等于 cm2, 5.如图，AB是圆柱的底面直 径，PA是圆柱的母线，且AB =PA=2,点C是圆柱底面 E AR- 圆周上的点. (1)求圆柱的侧面积和体积； (2)若AC=1,D是PB的中点，点E在线段 PA上，求CE+ED的最小值. 190创新拓展练 又BC=BA+AC=2+1=3. 解设三棱锥的底面中心为O,连接PO(图略)，则PO为三棱锥的 ∴在△CBD中，由余弦定理得 高，设A,B,C所在的底面与PO交于O,点，则AB-P0, AB PO CD=3+@-2x3x×-5, 令A,B=x,而P0=,则PO,=么 ∴.CE十ED的最小值为√5. 于是0，=-P0=h-合=-) 创新拓展练 解(1)设两种方案所建的仓库的体积分别为V,V, 所以所求三棱柱的侧面积为S=3x·h(1一云)= 3h(a-)x= 方案一：仓库的底面直径变成16m, [等-(-受)门] 别共休积子Xxx(受) ×4=256xm); 3 方案二：仓库的高变成8m, 3 当x=号时，S有最大值为子ah,此时0为PO的中点 则共体积：=×x(受)】 ×8=96π(m3). 课时分层检测（二十二） (2)设两种方案所建的仓库的表面积分别为S1,S2 方案一：仓库的底面直径变成16m,半径为8m, 基础达标练 1.A2.A3.D4.D5.D 此时圆锥的母线长为l1=√82+4=4√5(m), 6.2[设圆锥的母线为1，圆锥底面半径为r,由题意可知，πrl十π= 则仓库的表面积S1=π×8×(8+4√5)=(64十325)π(m): 3π，且πl-2πr.解得r一1，即直径为2. 方案二：仓库的高变成8m,此时圆锥的母线长为2=√82十6=10 7.3「圆台的轴截面是下底长为12寸，上底长为28寸，高为18寸的 (m), 等腰梯形，雨水线恰为中位线，故雨水线直径是20寸，所以降水量 则仓库的表面积S,=π×6×(6十10)=96π(m). (102+10×6+6)×9 为③ (3)因为V>V1,S<S,所以方案二比方案一更加经济 =3(寸).] π×142 课时分层检测（二十三） 8.[设圆维底面半径为r,则VF十7-2，则r=2,所以圆维的 基础达标练 体积V=子×x产X2-经] 1.B2.D3.C4.D5.B [设球O的半径为R,球O与圆柱O1O,2的上、下底面及母线 9.解如图，设球心为O,球的半径为r,EF为正四棱锥的高， 均相切国鞋0Q的高为2R,底面半径为北长-： 4 D 41 :7.100m[设该铁球的半径为，则由题意得号=元X10×号，解 4 则在Rt△AOF中，(4一r)2+(√2)2=r2, : 得r3=53.∴.r=5..∴.这个铁球的表面积S=4π×52=100π(cm).] 解得=号， :8.解如图，在底面正六边形ABCDEF中，连接 BE,AD交于O,连接BE1,则BE=2OE=2DE, 81 所以BE=√6 该球的表面积为4元=4πX(9)） 4元 在Rt△BEE中， 10.解如图，设圆锥的底面半径为R,圆柱的底面半径为r,表面积 ! BE=√BE+EE2-2√3， 为. 则R=(OC=2,AC=4, 所以2R=2√，则R=√5 A0=√/42-22=25. 所以球的体积V4=子元R=4V5元， 4 易知△AEBP△AOC, 球的表面积S=4πR2=12π. 所以器畏中 :9.解(1)设球半径为R,圆锥底面半径为 232 所以r=1, "r-=是×4R∴=号R-反 S意=2πr2=2π，S=2r·h=2V5元 如图，设较大圆锥与较小圆锥的高分别为h1,h2, 所以S=S盘+S州=2π十2√3π=(2十2V3)元 则Rt△BOCC∽Rt△CO1A 能力提升练 得h1:h2=3：1, 1.ABD 2.B 3.2:12√3：1 [Saa=2(受)+2x…受 342 ∴h1=3,h2=1,Vx#=V+V2=3元r(h十h2） 2 S=(受)）广…号a=， 3π(3)2X4=4元， 加工工件的利用率二一 4π 3 S任：S魔绿=2：1. V 81 V=x(）·a=a, 3X2 (2)由(1)得大、小圆锥的母线长为11=2√5,1，=2， V钟= 大、小圆锥的表面积之和为S=S1十S,=元r(11十12)=√5π×(2十2 2 24 Vgt:Vga=开公：a=25:1.] 3)=2(3+√3)元. 能力提升练 9 4.20224π「设圆锥的母线长为1，如图，以S为圆 1.B 心，SA为半径的圆的面积S一πl,又圆锥的侧面积 π[当球的半径最大时，球的体积最大。在直三棱柱内，当球和三 S触制=πl一8πl根据圆锥在平面内转到原位置 2.2 个侧面都相切时，因为AB⊥BC,AB=6,BC=8,所以AC=10,底面 时，圆锥本身滚动了2.5周，.πl2=2.5×8πl,∴.l= 20cm圆锥的表面积S=Sm维制十S:=πX8X20十元X8= 的内切圆的半径即为此时球的半径，=6十8,10=2，直径为4，大 2 224π(cm). 5.解(1)由题意得，圆柱的底面半径为1，高为2， 于侧棱，所以球的最大直径为3，半径为受，此时体积V-] 则圆柱的侧面积为2π×1×2=4π，圆柱的体积为π×12×2=2π. (2)将△PAC绕PA所在直线旋转到△PAC !3.35 :[如图所示，O为△BCD的中心，且AO 的位置，使其与平面PAB共面，且C在AB的 反向延长线上，此时CD与PA的交点即为使 垂直于底面BCD,E为BC的中点，底面边长为 CE十ED取得最小值的点E的位置（如图）. PA=AB=2, C4- 2DE=i0D=290E=号AE- ∠PBA=T,BD=BP=E √AO+OE= 291