8.3.2 第1课时 柱、圆锥，圆台的表面积和体积-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

:S=4×2×(10+20)×EE,=780(cm), 12.D。[因为E,F,F1,E1分别为所在棱的中点，所以棱柱EFCB- .'EE =13 cm B,FG围的你教V=SmX3=是SacX3=号SAe设甲 在直角梯形E(OOE中， 中水西的高度为：则SacX=号SA,解得=号，故选D.] E=2A B=5 cm,OE-2AB-10 cm, :3.18a2[原正方体的棱长为a,切成的27个小正方体的棱长为3a, ∴.00=/132-(10-5)2=12(cm). 故该正四棱台的体积为 每个小正方体的表面积S=与。X6=号d,所以27个小正方休 V- -×12×(102+202+10×20)=2800(cm3). 的表面积是号a2×27=18d.] 对点训练 20[如图，连接B,C,AC 1公△C来务进赞6，嘴pA=PB Va袋0E-AD=X4X3=16. =2,∴PE⊥AB,CE⊥AB,又PE,CEC平面 AB=2EF,EF∥AB, PEC,PE∩CE=E,.AB⊥平面PEC,又PE ∴.SAEAB=2SAEF· =CE=2X号=B,PC=6,故PC=PE+ V三校单F-EBC=V三枝C-EFB CE,即PELCE,所以V=Vg-e十VA-=号SaPm·AB =之V三收0CABE=2V三装#EABC 合××Xx2=1,故选A] X2VaAD=4. 2 2.解由题意得SD,E=之EA·AD=子， .1 多面体的体积V=V。检E-A版D十V三投F-BC=16十4=20.] !5.解(1)，该半球的直径d=6cm, ,∴.“浮球”的圆柱筒直径也是6cm,R-3cm, 三棱锥F-A1D,E的高为CD=a, 两个半球的体积之和为V=子=合×27=36m, 4 V提F-AB,B=号·a…子a=zc 1 又Vg桂=πRh=π×9X2-18πcm3, 又V三楼维A,-D,E即=V三棱维F-A,DE, 该“浮球”的体积是V=V华+Vm:=36π十18m=54πcm。 六V三楼维4-月郎=20 (2)上下两个半球的表面积S华数=4R2=4πX9-36元cm°， 题点三 “浮球”的圆柱筒侧面积为S鹰程制=2πRh=2πX3X2-12πcm, ∴.1个“浮球”的表面积为36π十12π=48πcm2, 典例解将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的 四棱柱后剩下的儿何体. ,.100个“浮球”的表面积的和为100×48π=4800πcm2, 每平方厘米需要涂胶20克， S=0.6X1.1-号×(0.5+0.3)×0.3=0.54（平方米）， ,∴.共需要胶的质量为20×4800πcm2=96000π（克）. V=S4·h=0.54×24.8≈13.39（立方米）. 8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 所以浇制一个这样的预制件大约需要13.39立方米混凝土. 第一课时圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 拓展 必备知识·自主梳理 解长方体的上下底面积S意=24.8×1.1×2-54.56（平方米）， 1.2元22元l2ml+22元2元rlml十π2元r2m2元l(r+r) 长方体的左右两侧面积S1=24.8×0.6×2-29.76(平方米)， 长方体的前后两侧面积S2一1.1×0.6×2-1.32（平方米）， x+产+r1+)2.rh号rh3(r+r+) ·即时小练 四棱柱的左右侧面积和下底面积S=√0.1+0.3×24.8×2+1.B[S=元r1=15元] 24.8×0.3≈23.12（平方米）， ·2.C[S=π(32+4+3×6+4×6)-67π.] 所以钢筋混凝土预制件的表面积为 ·关键能力·合作探究 S=Sg+S1+S2+S1-24.8×0.5- ×(0.3+0.5)X0.3×2≈题点 2 96.12(平方米). !典例解析(1)如图所示， 对点训练 解法一设AB=a,AD=b,DD=, 则长方体ABCD-A'B'C'D'的体积V=abc, 又SAXDD=之c且三棱锥C-ADD'的高为CD=a 1 设圆柱和圆锥的底面半径分别为r,R,则有下=R,即F口， 所以V线C-AD=号-SAXRD·CD=合 ∴.R=2r,圆锥的母线长1=√2R, 则剩余部分的几何体体积 Vg=ahc-言ac=gahc 成成 4π πR·√2R+元R2(√2+1)元R 4r2 1 故技维Ve-D心tVw=合ak:吾ac=15 (2+1)42 √2+1 =2-1. 法二已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADD'A'一 BCC'B', (2)设圆台的母线长为1， 设它的底面ADDA'面积为S,高为h, 则由题意得π(2+6)l=π×2十元×6， 则它的体积为V=S. ,.8πl=40π，.l=5, ,,该圆台的母线长为5. 又棱维C-ADD'的底面面积为号S, 圆台的表面积为 高为h,因此棱锥C一A'DD'的体积 S=π×(2+6)×5+π·22+π×6 =40π+4元十36元 =80元 答案(1)√2-1(2)580π 剩余部分的体积是SM-合S0=吾Sh. !对点训练 所以技维C-ADD的体积与剩余年分的体积之比为日S:号S !1.A[设圆锥的母线长为1，底面半径为r,则元l十元2=4元2，∴l= 3r,圆维的侧面展开图的圆心角为2-2红=120.故选A] 1:5. 3 素养演练·提升技能 :2.A[设圆柱与圆锥的底面半径为r因为圆锥的轴裁面是一个等腰 1.C[如图，由已知得该棱台的高为157.5-148.5 直角三角形，所以圆锥的高为r,母线长为√2r,所以圆柱的表面积为 =9(m,所以该棱台的体积V=3×9×(140+ 2r2+2r·r=4π2，圆维的表面积为7·2r·V2r十元2=(2+ √/140×180+180)×10=60×(16+3w7)× 1),所以圆锥和圆柱的表面积之比为巨)心-+1.故 10≈60×(16+3×2.65)×10=1.437×10≈1.4×10(m3).故 4元r2 4 选C,] 远A.] 258 题点二 !3.D[由题意知，该神人纹玉踪王的体积为底面边长为17.6cm,高 典例解折①当国拉的高为8m时，V=X(层)X8=(cm 为8.8cm的正方体的体积减去底面直径为4.9cm,高为8.8cm的 元 当圈挂的高为12m时V-X(会)广X12-1兴(m》 圆柱的体积剥V=12.6X1.6×8.8-xX()×&82560(cem). 结合该神人纹玉踪王外面方形偏低且去掉雕刻部分，可估计该神人纹 (2)作圆锥的轴截面，如图所示。 玉踪王的体积约为2350cm3, 由题意知，在△PAB中，∠APB=90°，PA=PB. 4.8.6[由圆台的表面积公式可得水桶的表面积为S= 设圆锥的高为h,底面半径为r, 则h=r,PB=√2r. x[(受)+7×25+30×27.]-814X156,25+75625)≈ 由S=π·r·PB=16√2π， 2865(cm)=0.2865(m).若每平方米用150g油漆，则涂100个 得2元2=16√2元，所以r=4.则五=4. 这样的水桶共需用油漆100×0.2865×2×150×0.001-8.595≈ 8.6kg. 故国维的体积V。一吉矿- 3 :5.解由题意知，旋转后的几何体是一个圆锥，从下面挖去一个圆柱， 答案(1)AB(2)A 且圆锥的底面半径为2，高为2√3，圆柱的底面半径为1，高为√3. 对点训练 所求旋转体的表面积由三部分组成：圆锥的底面、侧面，圆柱的 1.C[如图，设圆锥底面半径OB=R,高PO=h,,)为 侧面， m中点m=合“2-g-安0A S庄面 =4元，Sg触制=8元，S偶柱制=2√3元， 故所求几何体的表面积为： 冬Vm=子·（）·=R, 4π+8π+2√3π=12π+2√3元. 所求旋转体的体积为大圆锥的体积减去里面小圆柱的体积，即 Ve传体=号XrX2X2B-元X1X5=5 3π， Rh.V0g : 2.21π[设上、下底面半径，母线长分别为r, 故所求旋特依的体积为。 B 第二课时球的表面积和体积 R,L. 作AD⊥AB于点D,则AD=3,∠A1AB=60° :必备知识·自主梳理 又∠BAA=90,∴.∠BAD=60°，.AD= 1.4R42.gxR tan 603R.BD=A D. AD 即时小练 tan60-33,∴.R+r=35,.R=2√5，r=V3,又h=3,∴Vm台= :1.C[设球的丰径为R,依题意有誓R=45元，所以R=厅，S= 3h(R+Rr+P)=号x×3X[(25:+25X5+g)]= 4元R2=12元.] 21元..圆台的体积为21元] 2.C[由2R=C得R=号片以S6=4R-气J 题点三 典贫解如题图，在稀形ABCD中，∠ABC=90,AD∥BC,AD=3.16m[由号R-32,可得R=2,因此其表面积S=16元] a,BC=2a,∠DCB=60°， ·CD=BC-AD 关键能力·合作探究 cos 60-2a,AB-CDsin 60-3a, :题点一 .DD=AA'-2AD-2BC-2AD=2a, :典例解AB=4√2，AC=2,BC=6, ∴.AB十AC=BC,即△ABC为直角三角形， ∴DO=DD'=a ,',平面ABC被球所截得的图形是以BC为直径的圆 由于以1为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖 由已知球心)与裁面圆圆心的距离为4， 去一个倒放的与圆柱等高的圆锥 .球的半径R=√4十32=5， 由上述计算知，圆柱母线长√3a,底面半径2a,圆锥的母线长2a,底！ ∴.球的表面积S=4元R2=100π， 面半径a. .圆柱的侧面积S1=2π·2a·√3a=4√3πa, 体积V=号R-5 3 !对点训练 圆锥的侧面积S2=π·a·2a=2πa2, 圆柱的底面积S=π(2a)2=4πa2, 1.Cv,=64×x(管)-，s=644×(g) 圆锥的底面积S:=元a, ∴.旋转体的上底面积S=S3一S:=3πa, .旋转体的表面积S=S+S+S,+S=(4V5+9)a2 V,且Sm>S,,故选C.] 叉中题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆维2万[V=号·元·1=号，V=号R,依题意号R 的体积， Vt=Sh=元·(2a)2·N3a=4V3πa3, 3xX2-8, 4 元R=2,R-2] =号s%-吉…=9d :题点二 典例解析当截面在球心的同侧时， ∴v=va-V=4a-9w-lga 如图①所示为球的轴截面， 3 由球的截面性质知AO1∥BO,且O1,O,为两截面 对点训练 圆的圆心，则OO上AO,OOBO2. 解正方体的表面积为 设球的半径为R, 4×4×6=96(cm2), .元·O,B=49π，∴.O,B=7cm 圆柱的侧面积为2π×1×1=2π(cm2), 同理，得01A=20cm. 图① 圆柱的底面积为π·12=π(cm), 设OO1=xcm,则(OO,=(x十9)cm. 则挖洞后几何体的表面积为 在Rt△O1OA中，R2=x2+20, 96-元+2r十π=96+2元≈102.28(cm). 在Rt△(OO,B中，R2=72十(x十9)2， ② 素养演练·提升技能 联立①②可得x=15,R=25. 1.A[设圆台较小底面的半径为r,则另一底面的半径为3r.由S= 故球的表面积S-4πR2=2500π(cm). 3π(r+3r)-84π，解得r=7.] 当截面在球心的两侧时，如图②所示为球的轴截面 2.B[圆维P0的底面半径为号，高为a,则圆柱O0的底面半径是 由球的截面性质知，O1A∥O2B,且O,)2分别为两 裁面圆的圆心，则OO1⊥O1A,OO2⊥O2B. 号高为号，Vm=号x(受)广·a=管，V=x(学) 设球的半径为R, .元·O2B-49π，∴.(O2B-7cm. 0 兰-费制下儿衍体的体积是管受-后] .元·O1A2=400元，∴.O1A=20cm. 图2 259数学必修第二册 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 第一课时 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 明学习目标 知结构体系 侧面展开图 课标 1.知道圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积的计算公式。 要求 2.能用公式解决简单的实际问题. 表面积 侧面面积 表面积 表面积 与体积 在计算圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的过程中，要把实际 圆柱体积 素养 问题转化为数学问题，并进行计算，发展数学建模、数学运算 体积 圆锥体积 要求 和直观想象素养。 圆台体积 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 1.圆柱、圆锥、圆台的表面积 :2.圆柱、圆锥、圆台的体积 名称 图形 公式 名称 公式 一0 底面积：S底=】 圆柱 V= (r是底面半径，h是高) 侧面积：S侧= 圆柱 表面积：S= (r是底面半径，l是母线长) 圆锥 V= (r是底面半径，h是高) 底面积：S底= 圆台V= (r',r分别是上、下底面半径，h是高) 圆锥 侧面积：S侧= 表面积：S= 即时小练 (r是底面半径，l是母线长)》 1.圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其侧面积等 上底面面积：S上底= 于 ( 下底面面积：S下底= A.15 B.15元 侧面积：S侧= C.24π D.30π 圆台 表面积： :2.圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线长为 2元 S- 6,则其表面积等于 -0 (',r分别是上、下底面半 : A.72 B.42π 径，1是母线长) C.67π D.72π 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 题点一圆柱、圆锥、圆台的表面积 /方法技巧/ 解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好 [典例](1)若圆锥的高和底面半径相等，它的一： 旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几 个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等.则圆柱： 何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即 的表面积和圆锥的表面积之比为 可，基本步骤如下： (2)若圆台的上、下底面半径分别为2,6，且侧面 (1)得到空间几何体的平面展开图； 面积等于两底面面积之和，则圆台的母线长为： (2)依次求出各个平面图形的面积； ,表面积为 (3)将各平面图形的面积相加. 70 第八章立体几何初步 对点训练 题点三简单组合体的表面积与体积 1.如果圆锥的表面积是底面面积的4倍，那么该圆：[典例]如图，梯形ABCD中，AD∥BC,∠ABC= 锥的侧面展开图的圆心角的度数为 ( ) 90°，AD=a,BC=2a,∠DCB=60°，在平面AB A.120° B.150°C.180° D.240° CD内过点C作l⊥CB,以L为轴旋转一周.求旋 2.已知一个圆柱和圆锥等底等高，且圆锥的轴截面： 转体的表面积和体积. 是一个等腰直角三角形，则此圆锥和圆柱的表面 积之比为 A2+1 B.2+1 4 3 c号 1 D.3 题点二 圆柱、圆锥、圆台的体积 [典例](1)（多选）圆柱的侧面展开图是长12cm, 宽8cm的矩形，则这个圆柱的体积可能是 ) A.288 m3 B.192cm3 元 C.288x cm3 D.192x cm3 (2)圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是 16√2π，则圆锥的体积是 ( :…/方法技巧/ A.64x B.128x 旋转体组成的组合体的表面积与体积的求法与 3 3 多面体组成的组合体的表面积与体积的求法一 C.64π D.128√2π 致，主要是将组合体分解为若干个柱、锥、台、球 /方法技巧/ 的基本面，以“分割”“补形”为工具解题， 圆柱、圆锥、圆台的体积求法 对点训练 根据几何体的结构特征，确定底面积和高，代 直接法 入体积公式直接求出 如图所示的几何体是一棱长为 4cm的正方体，若在其中一个面的 分割法 将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积 中心位置上，挖一个直径为2cm、 补体法 将几何体补成易求解的几何体，先求再去 深为1cm的圆柱形的洞，求挖洞 对点训练 后几何体的表面积是多少？（π取 3.14) 1.过圆锥的高的中点且与底面平行的截面把圆锥 分成两部分的体积之比是 ( A.1:1 B.1:6 C.1:7 D.1:8 2.设圆台的高为3，如图，在轴截面中母线AA1与 底面直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对： 角线垂直于腰，则圆台的体积为 B. B 71 数学必修第二册 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长：4.用油漆涂100个圆台形水桶（桶内外侧都要涂）， 的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该： 桶口直径为30cm,桶底直径为25cm,母线长是 圆台较小底面的半径为 ( 27.5cm.已知每平方米需用油漆150g,共需用 A.7 B.6 C.5 D.3 油漆 kg(π=3.14，结果精确到0.1kg). 2.如图，圆锥PO的底面直径和高均 5.如图所示，在边长为4的正三 为a,过PO的中点O'作平行于底 角形ABC中，E,F依次是 面的截面，以该截面为底面挖去 AB,AC的中点，AD⊥BC, 一个圆柱，则剩下几何体的体积 EH⊥BC,FG⊥BC,D,H,G --4- 是 ( 为垂足，若将正三角形ABC BH D G A.5a3 32 B.5ra c D.xa3 绕AD旋转180°，求阴影部分 96 96 形成的几何体的表面积和体积， 3.玉踪是中国古代玉器中重 要的礼器，神人纹玉琮王 是新石器时代良渚文化的 典型玉器，1986年出土于浙 江省余杭区反山文化遗址. 玉琮王通高8.8cm,孔径4.9cm,外径17.6cm琮 体四面各琢刻一完整的兽面神人图像，兽面的两侧： 各浅浮雕鸟纹，器形呈扁矮的方柱体，内圆外方，上 下端为圆面的射，中心有一上下垂直相透的圆 孔.试估计该神人纹玉琮王的体积约为（单位： cm3,元取3.14) ( 温馨提示 请做课时分层检测（二十二） A.6250B.3050 C.2850 D.2350 第二课时 球的表面积和体积 明学习目标 知结构体系 课标 1.了解并掌握球的体积和表面积公式 要求 球的表面积公式 几何体内切球 2.会用球的表面积与体积公式解决实际问题 球的表面 半径与几何体 积与体积 球的体积公式 体积间的关系 素养 1.球的表面积与体积公式的应用」 几何体外接球的表面积与体积 要求 2.会解决球的切、接问题. 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 1.球的表面积 (2)当截面不过球心时，截面的半径小于球的半 设球的半径为R,则球的表面积S= ,即 径，此时球的截面就是球的小圆 球的表面积等于它的大圆面积的 倍 4.球的截面的性质 2.球的体积 (1)球心和截面圆心的连线垂直于截面； 设球的半径为R,则球的体积V= (2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的 3.球的截面形状 半径r之间满足关系式：d=√R2-r2 (1)当截面过球心时，截面的半径即球的半径，此 图形解释如下： 时球的截面就是球的大圆； 72