课时分层检测(21) 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

班级 姓名 得分 课时分层检测（二十一） 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 :7.已知高为3的直棱柱ABC-A1B1C1的底面 0 基础达标练 04 是边长为1的正三角形，则三棱锥B1-ABC 1.正三棱锥的所有棱长均为a,则该三棱锥的 的体积为 表面积为 ( )8.三棱锥P一ABC中，D,E分别为PB,PC的 A.3√5a2B.25a2C.√5a2 D.4a2 中点，记三棱锥D一ABE的体积为V1,P 2.一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比 ABC的体积为V2,则 为2：3，则棱柱与棱锥的体积之比为( V2 9.如图(1)是一水晶饰 A.司 B.2 c号 D.3 品，名字叫梅尔卡 3.侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面： 巴，其对应的几何体 边长为a时，该三棱锥的表面积是 ( 叫星形八面体，也叫 图(1) 图(2) 八角星体，是一种二复合四面体，它是由两 个有共同中心的正四面体交叉组合而成，且 c n 所有面都是全等的小正三角形，如图(2)所 示，若一星形八面体中两个正四面体的棱长 4.(多选)用平行于棱锥底面的平面去截棱锥， 均为2，则该星形八面体的体积为 得到上、下两部分几何体且上下两部分的高10.如图，已知正三棱锥S- 之比为1：2，则关于上下两几何体的说法正 ABC的侧面积是底面积的 确的是 2倍，正三棱锥的高SO= A.侧面积之比为1：4 3,求此正三棱锥的表面积. B.侧面积之比为1：8 C.体积之比为1：27 D.体积之比为1：26 5.如图所示，三棱台ABC-A1B1C中，A1B1: AB=1:2,则三棱锥B-A1B1C1与三棱锥 A1一ABC的体积比为 ( A.1:2 B.1:3 C.1:√2 D.1:4 6.棱长都是3的三棱锥的表面积S为 ,体积为 187 班级 姓名 得分 …0 能力提升练 创新拓展练 0444 1.如图，在直四棱柱ABCD D C 一个正三棱锥P-ABC的底 B A1B1C1D1中，底面ABCD 面边长为a,高为h.一个正三 是平行四边形，点E是棱 棱柱A1B1C1-ABC,的顶 BB1的中点，点F是棱CC 点A1,B1,C分别在三条棱 上靠近C1的三等分点，且三棱锥A1-AEF: 上，A0,B。,C分别在底面△ABC上，何时此三 的体积为2，则四棱柱ABCD-A1B1C1D 棱柱的侧面积取到最大值？ 的体积为 ( A.12 B.8 C.20 D.18 2.（多选)如图，直三棱柱ABC -A1B1C1中，AA1=2,AB B =BC=1,∠ABC=90°，侧 E 1-B 面AA1C1C的中心为O,点E是侧棱BB1上 的一个动点，下列判断正确的是 A.直三棱柱的侧面积是4十2√2 B直三棱柱的体积是号 C.三棱锥E-AA1O的体积为定值 D.AE+EC1的最小值为2√2 3.已知正四棱锥底面正方形 的边长为4，高与斜高的夹 角为30°，则正四棱锥的表 面积为 ,体积为 4.如图所示，已知ABCD A1B1C1D1是棱长为a的 A ---Bi 正方体，E,F分别为 AA1,CC1的中点，求四棱 锥A1一EBFD1的体积. 1884.解如图所示，作出圆台的侧面展开图及其所 在的圆锥.连接MB,在圆台的轴裁面中， 课时分层检测（二十一） .Rt△OPAC∽Rt△OQB, 基础达标练 OA PA :1.C 2.B 3.A 4.BD 5.D OA干ABQB' 6.93 OA-20(cm). OA 9巨[三枝锥的四个面是会等的正三角 4 设∠BOB=a,由扇形孤BB的长与底面圆Q的 形，∴S=4×9×=9原如圈所示，0为△0D 周长相等， 得2X10X元=aX0B,解得a=受 的重心，E为CD的中点，则BE=3×5=3互 2 2 ∴.在Rt△B'OM中， B0-89×号=5A0 2 √32-(3)=√6， B'M=√OMf+OB-√30+40-50(cm). 即所求绳长的最小值为50cm 你积为与×9×8X6-2平 课时分层检测（二十） 7.[由题意，维体的高为BB,底面积为S△C= 4 所以 基础达标练 1.B2.C3.C4.C5.B 6,号[由题易得，△AC为直角三角形，且AC=3,C=4,∠C为直角，8.[如图，设点C到平面PAB的距高为五，则点E到平面BAD 所以AB=VAC+C=5,因此，AB边上的中线长为2AB=号] 的距离为2h, 7.矩形8[由题意结合斜二测画法，可得四边形OABC为矩形，其 中OA=2cm,OC=4cm,故四边形OABC的面积为S=2X4= 8(cm2).] 8.2√2[由斜二测画法规则可知，在四边形AB CD中，AD=2,BC=4,AB=2且AB⊥BC.所 以DC=√2+2=22.] !, :SADAB=2S△PAB' 1 9.解画法：(1)画轴： o(B) 3S△PAB·h 4 3SPAB·h :9.2[由题知星形入面体体积为一个棱长为2的大正四面体与四个 图① 图2 枝长为1的小正四西作的体积之和，故作积为瓷×2+×侵X1 画x轴、y轴、z轴，∠Oy=45(或135)，∠xOz=90°，如图① =√2.1 (2)画底面：以O为中心，在平面xOy内，画出正方形水平放置的直！10.解如图，设正三棱锥的底面边长为a,斜高为'， 观图ABCD. 过点O作OE⊥AB,与AB交于点E, (3)画顶点：在Ox轴上截取OP,使OP的长度是原四棱锥的高. 连接SE,则SE⊥AB,SE=h, (4)成图：连接PA,PB,PC,PD,并擦去辅助线，将被遮挡的部分改 ∵S例=2S意， 为虚线，得四棱锥的直观图如图②. 10.解如图，建立平面直角坐标系Oy,在x轴上 ∴3af-9。×2. 41 取OA=)A'=1cm, a=√3. 在y轴上取OB=2OB'=2V2cm, .SOLOE,.SY十OE2=SE2 在过点B的x轴的平行线上取BC=B'C 1 cm. 3+(悟×5）= 连接O,A,B,C各点，即得到了原图形 ∴h=25,a=√3=6 由作法可知，O)ABC为平行四边形， C=√/OB2+BC=√8+1=3(cm), S-9。-9×6=9.S=2S2=18E 4 故平行四边形OABC的周长为(3+1)×2=8(cm),面积为S-1X! ∴S表=S+S=183+95-275. 2√2=2√2(cm2). 能力提升练 能力提升练 :1.A 2.ACD 1.A 2.CD 3.解画出平面直角坐标系xOy,使点A与原点O重 :34832 3 [如图，正四棱锥的高、斜高、底面边心距组成 合，在x轴上取，点C,使AC=√2，再 R△POE,0E=2,∠OPE=30,∴斜高PE=OE 在y轴上取点D,使AD=2,取AC的中点E,连接 2 DE并延长至点B,使DE-EB,连接DC,CB,BA, 则四边形ABCD为正方形A'B'CD'的原图形，如 O(AE P0-2Sx=之×4X1X4=32,S4=32+16=48 图所示， 易知四边形ABCD为平行四边形. : V=吉X44×28-325] AD=2,AC=V2, 4.解因为EB=BF=FD,=D1E SgAD=2XW2=2√2， 故原图形的面积为2√2. 公+（受）-nF/E 所以四边形EBFD是菱形， 创新拓展练 解在梯形ABCD中，AB=2,高OD=1. 连接EF,则△EFB≌△EFD1 y 由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形， 易知三棱锥A1一EFB与三棱锥A1一EFD1的高相等， D' _C 且上底CD和下底AB的长度都不变，如图 VA-EBFD-2VA -EFB -2VE-EBA 所示， AEB￥ 又因为Sa叫，=合EA,·AB=子， 在直观因中，0D-子0D,稀形的高E'-9,于是，梯形ABC 则V-A,=2, D的面积S=号×1+2)×9-3 1 48 所以VA-D,=2VA-B=2VF-BA1=6Q, 290 创新拓展练 又BC=BA+AC=2+1=3. 解设三棱锥的底面中心为O,连接PO(图略)，则PO为三棱锥的 ∴在△CBD中，由余弦定理得 高，设A,B,C所在的底面与PO交于O,点，则AB-P0, AB PO CD=3+@-2x3x×-5, 令A,B=x,而P0=,则PO,=么 ∴.CE十ED的最小值为√5. 于是0，=-P0=h-合=-) 创新拓展练 解(1)设两种方案所建的仓库的体积分别为V,V, 所以所求三棱柱的侧面积为S=3x·h(1一云)= 3h(a-)x= 方案一：仓库的底面直径变成16m, [等-(-受)门] 别共休积子Xxx(受) ×4=256xm); 3 方案二：仓库的高变成8m, 3 当x=号时，S有最大值为子ah,此时0为PO的中点 则共体积：=×x(受)】 ×8=96π(m3). 课时分层检测（二十二） (2)设两种方案所建的仓库的表面积分别为S1,S2 方案一：仓库的底面直径变成16m,半径为8m, 基础达标练 1.A2.A3.D4.D5.D 此时圆锥的母线长为l1=√82+4=4√5(m), 6.2[设圆锥的母线为1，圆锥底面半径为r,由题意可知，πrl十π= 则仓库的表面积S1=π×8×(8+4√5)=(64十325)π(m): 3π，且πl-2πr.解得r一1，即直径为2. 方案二：仓库的高变成8m,此时圆锥的母线长为2=√82十6=10 7.3「圆台的轴截面是下底长为12寸，上底长为28寸，高为18寸的 (m), 等腰梯形，雨水线恰为中位线，故雨水线直径是20寸，所以降水量 则仓库的表面积S,=π×6×(6十10)=96π(m). (102+10×6+6)×9 为③ (3)因为V>V1,S<S,所以方案二比方案一更加经济 =3(寸).] π×142 课时分层检测（二十三） 8.[设圆维底面半径为r,则VF十7-2，则r=2,所以圆维的 基础达标练 体积V=子×x产X2-经] 1.B2.D3.C4.D5.B [设球O的半径为R,球O与圆柱O1O,2的上、下底面及母线 9.解如图，设球心为O,球的半径为r,EF为正四棱锥的高， 均相切国鞋0Q的高为2R,底面半径为北长-： 4 D 41 :7.100m[设该铁球的半径为，则由题意得号=元X10×号，解 4 则在Rt△AOF中，(4一r)2+(√2)2=r2, : 得r3=53.∴.r=5..∴.这个铁球的表面积S=4π×52=100π(cm).] 解得=号， :8.解如图，在底面正六边形ABCDEF中，连接 BE,AD交于O,连接BE1,则BE=2OE=2DE, 81 所以BE=√6 该球的表面积为4元=4πX(9)） 4元 在Rt△BEE中， 10.解如图，设圆锥的底面半径为R,圆柱的底面半径为r,表面积 ! BE=√BE+EE2-2√3， 为. 则R=(OC=2,AC=4, 所以2R=2√，则R=√5 A0=√/42-22=25. 所以球的体积V4=子元R=4V5元， 4 易知△AEBP△AOC, 球的表面积S=4πR2=12π. 所以器畏中 :9.解(1)设球半径为R,圆锥底面半径为 232 所以r=1, "r-=是×4R∴=号R-反 S意=2πr2=2π，S=2r·h=2V5元 如图，设较大圆锥与较小圆锥的高分别为h1,h2, 所以S=S盘+S州=2π十2√3π=(2十2V3)元 则Rt△BOCC∽Rt△CO1A 能力提升练 得h1:h2=3：1, 1.ABD 2.B 3.2:12√3：1 [Saa=2(受)+2x…受 342 ∴h1=3,h2=1,Vx#=V+V2=3元r(h十h2） 2 S=(受)）广…号a=， 3π(3)2X4=4元， 加工工件的利用率二一 4π 3 S任：S魔绿=2：1. V 81 V=x(）·a=a, 3X2 (2)由(1)得大、小圆锥的母线长为11=2√5,1，=2， V钟= 大、小圆锥的表面积之和为S=S1十S,=元r(11十12)=√5π×(2十2 2 24 Vgt:Vga=开公：a=25:1.] 3)=2(3+√3)元. 能力提升练 9 4.20224π「设圆锥的母线长为1，如图，以S为圆 1.B 心，SA为半径的圆的面积S一πl,又圆锥的侧面积 π[当球的半径最大时，球的体积最大。在直三棱柱内，当球和三 S触制=πl一8πl根据圆锥在平面内转到原位置 2.2 个侧面都相切时，因为AB⊥BC,AB=6,BC=8,所以AC=10,底面 时，圆锥本身滚动了2.5周，.πl2=2.5×8πl,∴.l= 20cm圆锥的表面积S=Sm维制十S:=πX8X20十元X8= 的内切圆的半径即为此时球的半径，=6十8,10=2，直径为4，大 2 224π(cm). 5.解(1)由题意得，圆柱的底面半径为1，高为2， 于侧棱，所以球的最大直径为3，半径为受，此时体积V-] 则圆柱的侧面积为2π×1×2=4π，圆柱的体积为π×12×2=2π. (2)将△PAC绕PA所在直线旋转到△PAC !3.35 :[如图所示，O为△BCD的中心，且AO 的位置，使其与平面PAB共面，且C在AB的 反向延长线上，此时CD与PA的交点即为使 垂直于底面BCD,E为BC的中点，底面边长为 CE十ED取得最小值的点E的位置（如图）. PA=AB=2, C4- 2DE=i0D=290E=号AE- ∠PBA=T,BD=BP=E √AO+OE= 291