课时分层检测(16) 复数的加，减运算及其几何意义&课时分层检测(17) 复数的乘、除运算-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

∴sin∠ABC=AC·sim∠BAC_2Xsin120°-￥2 课时分层检测（十五） BC √6 基础达标练 又0°<∠ABC60°，∴.∠ABC=45°. :1.C2.B3.D4.B5.AC B点在C点的正东方向上， ,.∠CBD=90°+30°=120° !6.(一√6，一2)U(2W)[:复数对应的点位于第三象限， 在△BCD中，由正弦定理， {602<6或-6<k<-2.] BD CD 14-k<0, 得n乙BCD sin /CBD !7.11+i[:√a2+(-1)严-√2，且a>0,∴.a=1,则-1-i,= sin∠BCD=BD·sin∠CBD_10t·sin120°1 1+i] CD :8.士i[因为z为纯虚数，所以设z=ai(a∈R,且a≠0)，则z一1一 10√3t 又.0°∠BCD60°，.∠BCD=30°， ai一1=√a+1.又因为-1十i=√2，所以/a十1=2，即a 鲜私船沿北偏东60°的方向行驶 =1,所以a=士1，即x=士i.] 又在△BCD中，∠CBD=120°，∠BCD=30°， 9.一1十√3i[因为之在复平面内对应的点位于第二象限，所以a<0, ∴.∠CDB=30°，∴.BD=BC,即10t=√6. 由z=2知，√a2十(3)2=2，解得a=-1,所以x=-1十3i.] -(h≈15(mm. !10.解因为x是实数，所以x2十x一6，x2一2x一15也是实数. (1)当实数x满足x+工x-6<0, “,鲜私船应沿北偏东60的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需 、 3x2-2x-15<0, 要15分钟. 即一3x2时，点Z位于第三象限. 创新拓展练 (2)当实数x满足{十1-6>0， D x2-2x-15<0, 即2<x<5时，点Z位于第四象限. 课时分层检测（十四） (3)当实数x满足(x2十x-6)-(x2-2x-15)-3=0,即3.x十6= 0,x-一2时，点Z位于直线无 =0上.所以x=-2. 基础达标练 能力提升练 1.B2.C3.D4.A5.B6.D 11.BD2.B3.C 7.①②③⑥[若两个复数相等，则它们的实部、虚部均相等，故①正4，一2+31[因为名=2-3i对应的点的坐标为(2，一3)，且复数： 确：若虚部不相等，则两个复数一定不相等，故②正确：因满足形如 在复平面内对应的点关于原点对称，所以在复平面内对应点 a十i(a,b∈R)的数均为复数，故③正确：纯虚数的平方，如=一1， 的坐标为（一2,3），对应的复数为2=一2+3i.] 故④错误；-1的平方根不止一个，因为（士i)2=-1,故⑤错误：因5.解(1）z=√x-2)2+(x十2)产=√2x2+8≥2V2,当且仅当 为i一1=0成立，故⑥正确；√2i是虚数，而且是纯虚数，故⑦错误. x=0时，复数x的模最小，为2√2. 综上，①②③⑥正确.] (2)当复数x的模最小时，Z(一2,2) 8.2±2[由复数相等的充要条件得一3m一1=一3，解得 又点Z位于函数y=一nx十n的图象上， {2-m-6=-4, 所以2m十n=2(>0,且n>0). :6.解(1)因为，点A,B对应的复数分别是 z1=sin'0+i,2=-cos:0+icos 20, 9.解MUP=P,∴.CP, 所以，点A,B的坐标分别是A(sin0,1),B(-cos20,cos20), ∴.(m-2m)十(m+m-2)i=-1或(-2n)+(m+m-2)i-4i AB=(-cos20,cos 20)-(sin20,1)=(-cos20-sin20,cos 20- 由(m2-2n)+(n2+n-2)i=-1得 1)=(-1,-2sin20), jm-2m=。二1解符m=1, 所以AB对应的复数z=一1十(-2sin0)i {m2+m-2=0, (2)由1)知点P的坐标是(-1，-2sin0》,代入y=是 由(m2一2m)+(m2+m-2)i=4i得 m2-2n=0,解得m=2. 得-2sin0=一 即sin0=子所以0=士 m+m-2=4, 综上可知n=1或m=2. 又因为0e0,,所以n0=号所以0=吾或要 10.解(1)要使：为实数，m需满足m2+2m-3=0,且m(m+22有意 n-1 课时分层检测（十六） 义，即n一1≠0，解得n=一3. 基础达标练 1.C2.C3.A4.D5.B 2)要使：为虚数，m需滴足m+2m-3≠0，且mm2有意义，6：两式相加得28+2i,1=4+i] m-1 即m一1≠0，解得m≠1且m≠一3. 7.士25-2i[因为十2i是实数，所以可设x=a-2i(a∈R),由x=4 （3)要使：为纯虚数，m需满足m2-0,且m2+2m-3≠0，解8.得9朗482=2-(3y44x)二[4-2x） 得a2+4=16,所以2=12，所以a=±2√5，所以之=土2√5-2i.] n-1 得m=0或-2. -(5x+3y)门=(5x-3y)+(x+4y)i,又x=13-2i,所以 能力提升练 1.BD 2.B {81:解得=2.所以=（8×2-D十（-1-4×21 x+4y=-2, 3【[由名=将ona.游去m得入-.解设不复为配. =5-9i,z2=(-4-2×2)-(5×2-3×1)i=-8-7i] 9 所以x+i+√/x2+y2=5+√3i, 4sin0-3sin0=4(sin0-子）-最由于-1≤sn0K1,故-是 11 λ7.] 所以红十2+y=5,所以r=亏， 4.2或-√2 一22或2√2[x=x是方程的实根，代入方程并整 (y-W3, 理，得(x6十kx0十2)+（2x0十k)i=0.由复数相等的充要条件，得 所以x十i=1里+ 5 {+红2=0解得{5=区，或5二一区：方程的实根为10.解设的R则由为知了=4， 12x0十k=0, k=-22k=2√Z. 故之对应的，点在以原点为圆心，2为半径的圆上， x。=√2或x=一√2，相应的k值为k=一2√2或k=2√2.] 又z十1十√表示点(x,y)到点（一1，一3）的距离， 5.解(1)x,y∈R, 且点（一1，一√3）在圆x2十y=4上， ·由复数相等的定义，得21=x一y 所以圆上的点到点（一1，一√）的距离的最小值为0，最大值为圆的 y+1=-x-y, 直径4， 解得x-3, 即z十1十√尽的最大值和最小值分别为4和0. 能力提升练 y=-2 (2),x∈R,∴.由复数相等的定义，得 :1.CD 2.A 气5-0，即红=8支：且-1 !3.-4[因图为OA+OC=O店，所以2+gi+(-b+ai)=-2a+3i,所 2 x十1 (x2-2.x-3=0, 1x=3或x=-1, 12-b=-2a, x=3 288 4.解(1)：向量BA对应的复数为1+21，向量B对应的复数为3-i, ,.几何体A,EF-ABC是三棱台， AC=BC-BA, 其中面ABC是下底面，面A1EF是上底面， .向量AC对应的复数为(3-D-(1十2i)=2-3i 面ABEA1,面BCFE和面ACFA1是侧面 9.解(1)如图，折起后的几何体是三棱锥 P(A,B,C) 又C-OA+AC, .点C对应的复数为(2十i)十(2-3i)=4一2i. (2)SAPEF-24,SADPF SADPE-2 X 2aXa- AD=BC,.向量AD对应的复数为3一i, .OD-OA+AD, .,点D对应的复数为2十i十3一i=5. 能力提升练 (2)'.'BA.BC=BA BC cos B, 11.D2.A !3.四棱柱三棱锥四棱锥L结合棱柱、棱锥的概念可知，(1)是四 BA·BC 3-2 1 棱柱，(2)是三棱锥，(3)是四棱锥.门 ∴.cosB= -2 BA11BCV5X√105210 :4.解将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面 上，如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值 ·sinB=72 10 ∴SAD=BABC sin B=5X0×22-7, 10 故□ABCD的面积为7， 课时分层检测（十七） 基础达标练 1.A2.B3.D4.C5.A6.A ,∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°， 7.52[由已知(a十i)2=3+4i,得a2-+2abi=3十4i.从而有 ∴.∠AVA=90 5c-=3,解得c4,则a+=5,ab=2.] {ab=2, b2=1, 又VA=VA1=4,∴.AA1=42 8.2[z=1+i,∴.22-2z=(1十i)2-2(1+i)=2i-(2+2i)=-2,1 ∴.△AEF周长的最小值为4√2 故z2-2x1=|-2=2.] 创新拓展练 9.解（12=213+3-}=3+i(2+D=1+i 解沿长方体的一条棱剪开，使A和C展在同一平 2-i 2-1 5 面上，求线段AC的长即可.有如图所示的三种 (2)把z=1+i代入22+az+b=1-i, 剪法： 得(1+i)2+a(1+i)+b=1-i, ①若将CD1剪开，使面AB,与面A1C共面，可求 整理得a十b十(2十a)i-1-i, 得AC=√/42十(3+5)2=√/80=4√5. 所以{881，解得公3， ②若将AD剪开，使面AC与面BC1共面，可求得 1b=4. 10.解(1)f(i)==-1,f(f(i))=f()=的=-i,f(f(f(i))= AC1=√/32+(4+5)=√90-3/10. 2=1, ③若将CC1剪开，使面BC1与面AB共面，可求得AC= f(f(f(f(i))))=f(1)=i √/52+(3+4)2=74. (2)原式=(-1-i+1十i)×505-1-i=-1-i. 相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为√74. 能力提升练 1.BD 2.B 课时分层检测（十九） 3. 8 16- 号i[号-g24=a+2m(3+4-3u+4a+6i-8 14. 基础达标练 z23-4i 9+16 25 ·1.ABD2.BC3.B4.B5.C 山-去如是方地度数化-8。=号69 8 25 [设圆柱的底面半径为r,则母线长为2r,.4=Q,解得r (是+a到8-40=8-号+6+8=i16-] 8 4.解(1)设原方程的相异两个实根为α，3， 冷此圈柱的底面半径为] 2 :由根与系数的关系得aP一(a十bi), 7.9π「设裁面圆半径为rcm,则r2十4=52，所以r=3.所以截面圆 ta3=c, 面积为9πcm2.] ∴.a十3=-a,b=0. :82设圆柱的底面半径为，则母线长为2红，：4=16，解得， 当b=0时，原方程化为x2+a.x十c=0, : 2cm,,∴.此圆柱的底面半径为2cm. 有相异两个实根的条件为a2一4c>0,b=0. :9.解当AD>BC时，四边形ABCD绕EF旋转一周所得的几何体是 (2)设实根为m,虚根为2， 由底面半径为CD的圆柱和圆锥拼成的组合体；当AD一BC时，四 则由裉与系数的关系得nz一c,因此n一c一0， 边形ABCD绕EF旋转一周所得的几何体是圆柱：当ADBC时， 方程化为x(x十a十bi)=0, 四边形ABCD绕EF旋转一周所得的几何体是从圆柱中挖去一个 要使方程有虚根一a一bi,只有b≠0， 同底的圆锥而得到的. 综上，方程有一实根一虚根的条件是c=0,b≠0. :10.解如图轴截面SAB,圆锥SO的底面直径为AB, 创新拓展练 SO为高，SA为母线， 1.BD 则∠AS)=30 2.1-2[因为 =-i,则x=1, 在Rt△SOA中， 4i zi A0=s0tan30°=2y5(cm）, 所以y= =4i·0-1×2=-2.] 3 SA- SO 2 课时分层检测（十八） c0s30 3 45(em) 3 基础达标练 1.C 2.ACD 3.D 4.C 5.B 6.10[在上底面远一个顶，点，同时在下底面远一个顶点，且这两个顶 所以Sass=2S0:2A0=43(m. 3 点不在同一侧面上，这样上底面每个顶，点对应两条对角线，所以共 有10条. 7.12[因棱柱有10个顶点，所以该棱柱为五棱柱，共有五条侧棱，所 所以国维的季线长为学 m,圈维的轴截面的面积为cm。 以侧棱长为60-=12(cm.] 能力提升练 ·1.C2.AB 8.解E,F分别是A1B1AC1的中点， 3.10 「如图所示，球心到盒底的距离可以看作是一个 A B=AB,A C=AC,B C=BC, 组合体的上顶，点到下底面的距离，这个组合体可以看 AE_AF EF 作下面是棱长为6cm的正方体，上面是以球心为顶 点，正方体上底面截钢球所得的圆面为底面的圆锥 ,.△A EFO△ABC, 圆锥底面半径为3cm,母线长为5cm,则圆锥的高为 且AA1,BE,CF延长后交于一点. /52-32-4(cm), 又面A1BC与面ABC平行， 所以球心到盒底的距离为6十4=10(cm).] 289班级 姓名 得分 课时分层检测（十六） 复数的加、减运算及其几何意义 10.已知=2，求|之+1+√3i的最大值和最 4…0 基础达标练 小值， 1.复数之1=2-7i,2=7 一2i,则之1十之2等于 A.0 B c- 5 3 D.2- …0 能力提升练。 2.已知1=2十i,2=1-2i,则复数之=2-1 :1.(多选)已知i为虚数单位，下列说法正确的 对应的点位于 ( ) 是 () A.第一象限 B.第二象限 A.若复数之满足|之-i=√5，则复数之对应 C.第三象限 D.第四象限 的点在以(1,0)为圆心，√5为半径的圆上 3.复数之1=a十4i,之2=-3十bi,若它们的和为 B.若复数之满足之十z|=2十8i,则复数之= 实数，差为纯虚数，则实数a,b的值为 15+8i ( ) C.复数的模实质上就是复平面内复数对应 A.a=-3,b=-4 B.a=-3,b=4 的点到原点的距离，也就是复数对应的向 C.a=3,b=-4 D.a=3,b=4 量的模 4.已知i为虚数单位，复数1=cos0十i,之2= D.复数1对应的向量为OZ1,复数之2对应 sin0-i,0∈R,则之1-2|的最大值为 的向量为OZ2,若|x1十2=|之1-2，则 ( OZ1⊥OZ, A.5 B.5 C.6 D.6 5.若之∈C,且|之十2-2i=1,则|之-2-2i的： 2.复平面上三点A,B,C分别对应复数1,2i,5 十2，则由A,B,C所构成的三角形是( 最小值是 ( A.直角三角形 B.等腰三角形 A.2 B.3 C.4 D.5 C.锐角三角形 D.钝角三角形 6.若复数1十2=3+4i,1一之2=5一2i,则 3.在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数 之1= 7.已知|之|=4，且之十2i是实数，则复数之= 分别为0=0，A=2+号i,B=-2a十3i, c=-b十ai(a,b∈R),则a-b= 8.已知1=(3x+y)+(y-4x)i,之2=(4y- 4.已知复平面内口ABCD中，A点对应的复数 2x)-(5.x十3y)i(x,y∈R).若之=21-z2,且 之=13-2i,则之1= 为2+i,向量BA对应的复数为1十2i,向量 2= 9.一个复数与它的模的和为5十√3i,求这个 BC对应的复数为3一i,O为坐标原点， 复数. (1)求点C,D对应的复数： (2)求□ABCD的面积. 178 班级 姓名 得分 课时分层检测（十七） 复数的乘、除运算 0基础达标练。…。 9.已知复数文=1-i)2+31+D 2-i (1)求复数； 1.设复数之满足iz=1,其中i为虚数单位，则之： (2)若2+a2十b=1-i,求实数a,b的值. 等于 ( A.-i B.i C.-1 D.1 2.在复平面内，复数十十1+)2对应的点 位于 ( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.(2022·新高考I卷)若i(1一)=1，则之十之 = ( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 4.(2022·全国甲卷)若之=-1十31，则之 -1 = A.-1+3i B.-1-√3i c-名+ D号号 5.若复数-1产2十i(为虚数单位)的实部与 虚部互为相反数，则实数a= ) A.-号B.- C.-1 D.-5 6.设复数之的共轭复数是之，若复数1=3十 4i,之2=t十i,且之1·之2是实数，则实数t等于 A B c.-青 D.- 7.已知a,b∈R,(a十i)2=3十4i(i是虚数单 位)，则a2十b2= ,ab= 8.若之=1十i,则|之2-2x= 179 班级 姓名 得分 10.i是虚数单位，f(x)=xi. 3.若1=a十2i,2=3-4i,且兰为纯虚数，则 (1)计算：f(i),f(f(i),f(f(f(i)), 22 实数a的值为 f(f(f(f(i))); ,之12= (2)计算：fi)+f(f(i)+f(f(f①)+…4.二次方程x2+(a+i.x+c=0(a,b,c∈R). +f(f(…f(i)…). (1)求方程有相异两实根的条件； 2022个月 (2)求方程有一实根一虚根的条件 …0 创新拓展练0… …0 能力提升练 :1.(多选)已知复数之满足之(2一i)=i(i为虚数 单位)，复数之的共轭复数为之，则() 1.(多选)设复数之满足十3 之-1 一i,则下列说法 A1=是 正确的是 ( B.= 1+2i A.之为纯虚数 5 B.在复平面内，之对应的点位于第三象限 C.复数之的实部为一1 C.之的虚部为2i D.复数之对应复平面上的点在第二象限 D.|z|=√/5 a b 2.定义运算 2.已知i为虚数单位，若复数=1，十21 e =ad-bc,若复数-骨 2之的共 4i xi 轭复数为之，则|之·之十2021|等于 ( y= ,则|x= ,y= x十i A.1 B.√2 D.2 180