7.2.2 复数的乘、除运算-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

第七章复数 7.2.2复数的乘、除运算 明学习目标 知结构体系 课标 掌握复数代数形式的乘法和除法运算，理解复数乘法的 复数的乘除运算 要求 交换律、结合律和乘法对加法的分配律。 复数的乘 运算律 除运算 i的运算 素养 通过本节课的学习，发展数学抽象及数学运算素养」 要求 代数方程复数范围的解 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 1.复数乘法的运算法则和运算律 复数的除法的实质是分母“实数化”.若分母为a十bi (1)复数的乘法法则 型，则分子、分母同乘a一bi;若分母为a一bi型，则分 设1=a十bi,x2=c十di(a,b,c,d∈R)是任意两个复 子、分母同乘a十i,即分子分母同乘以分母的 数，那么它们的积(a+i)(c+di)=ac+bci+adi+ bdi2 即时小练 (2)复数乘法的运算律 对于任意1,2,3∈C,有 1.(2022·新高考Ⅱ卷)(2+2i)(1-2i)=( A.-2+4i B.-2-4i 交换律 之122= C.6+2i D.6-2i 结合律 （2122)3= 2复数2等丁 乘法对加法的分配律 1(2十3)= A.1+i B.1-i 2.复数的除法法则 C.-1+i D.-1-i 设1=a十bi,x2=c十di(a,b,c,d∈R,且c十di≠0)， 则 3.设复数1=2一2=1一3i,则复数十号的虚 之1 2 部等于 关键能力·合作探究 讲练设计探究重，点 题点一复数的乘法运算 对点训练 [典例](1)计算(1-i)(1+i)+(2+i)2; 1.若复数(1一i)(a+i)在复平面内对应的点在第二 象限，则实数a的取值范围是 () A.(-∞，1) B.(-∞，-1) (2)(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内，(1+3i)(3一i): C.(1,十∞) D.(-1,+∞) 对应的点位于 ( )2.计算： A.第一象限 B.第二象限 (1)(3+i)(5+ C.第三象限 D.第四象限 (2)(3+4i)(3-4i): /方法技巧/… 1.两个复数乘法运算的一般步骤 (3)(1-i)2. (1)首先按多项式的乘法展开； (2)再将2换成一1； (3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复 数的代数形式. 2.常用公式 (1)(a士bi)2=a2±2abi-b2(a,b∈R); (2)(a十bi)(a-bi)=a2+b2(a.b∈R) 53 数学必修第二册 题点二复数的除法运算 题点三复数范围内的方程根问题 [典例](1)3+i [典例]在复数范围内解方程x2十4x十6=0. 1+i A.1+21 B.1-2i C.2+i D.2-i 1-i (2)(2023·新课标卷)已知=2十2，则 ( A.-i B.i C.0 D.1 :…/方法技巧/ 1.进行复数的运算时，除了应用四则运算法则 之外，对于一些简单算式要知道其结果，这样可 /方法技巧/ 简化运算过程.例如， i,(1+i)2=2i, 在复数范围内，实系数一元二次方程a.x2十bx 十c=0(a≠0)的求解方法： (1-i)2=-2i, -i,a+bi= (1)求根公式法 i(b-ai)'b-ai a-bi i等， ①当△≥0时，x=-b士/B2-4ac 2a 2.运算方法要灵活，有时要巧妙运用相应实数 系中的乘法公式： ②当A<0时，x=-b士一(b2-4ac)月 2a (2)利用复数相等的定义求解，设方程的根为 对点训练 x=m+ni(m,n∈R),将其代入方程a.x2+bx+ 1.设i是虚数单位，则复数(1-i)2-4十2 -42019= c=0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解. 1-2i 对点训练 2.计算： (1)1十i0(4+3i) 已知关于x的方程x2+(k+2i)x十2+ki=0有 (2-i)(1-i) 实根，求这个实根及实数k的值. (2)1+i)2+1-i)7_(3-4i)(2+2i)3 1-i 1+i 4+3i 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.已知复数之= 5+i 之是之的共轭复数，则之·之 3.已知复数之满足|之=5，且(1一2)之是实数， (1-5i)2 求. 等于 ( A 1 B. C.1 D.2 复数则w=2+1+十中“的值 为 ( A.1 B.-1 C.i D.-i 54 第七章复数 4.若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复 (2)根据三个式子的结构特征及(1)的计算结果， 数为理想复数”，已知=“2：十bi(a,b∈R)为 将该同学的发现推广为一个复数恒等式，并证明 你的结论 “理想复数”，则 ( A.a-5b=0 B.3a-5b=0 C.a+5b=0 D.3a+5b=0 6现有以下三个式子：@2®4十3 : 3+4i9 ③十为虚数单位)，某同学在解题时发现 以上三个式子的值都等于同一个常数 (1)从三个式子中选择一个，求出这个常数； : 温馨提示 请做课时分层检测（十七） 章末复习提升 一、系统认知·形成数学思维 (一)贯通知识体系和联系 数系的扩充 虚数单位 复数的实部和虚部 系的 复数的 实数(b=0) 复数的分类 虚数(b≠0)（当a=0时为纯虚数） 充 念 复数相等：a+bi=c+di→a=c,b=d 复 共轭复数：z=a+bi与z=a-bi互为共轭复数 的 复数=a+bi 念 复数的几何意义 复平面内的点Z(a,b)< 平面向量0Z 复数z=a+bi的模1z=la+bil=/a2+b 复 复数代数 加法法则：(a+bi)+(c+di)= 几何意义：复数的加法可 复数 形式的加 (a+c)+(b+d)i 以按照向量的加法进行 代数 减运算及 形式 其几何意 减法法则：(a+bi)-(c+di)= 几何意义：复数的减法可 的四 义 (a-c)+(b-d)i 以按照向量的减法进行 则运 乘法法则：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i 算 复数代数形式 的乘、除运算 除法法则：(a+bi)÷(c+di)=ac+bd+bc-ad (c+di≠0) c2+d2c2+d2 乘法法则：模数相乘，辐角相加 复数的三角表示 复数乘、除运算的三角表示 除法法则：模数相除，辐角相减 (二)把握数学思想和方法 谐地结合起来，并充分利用这种“结合”寻找解题方 1.在研究复数模的最值问题时，需要转化为关于复： 法，使问题获得解决，这体现了数形结合思想 数之=x十yi(x,y∈R)的实部x和虚部y的二次：3.在复数问题中，利用复数的代数形式，将复数问 函数讨论，这体现了函数与方程的思想， 题转化为实数问题来解决，利用复数的相关性质 2.在求与复数相关的最值时，常常根据复数的几何意： 如“x·之=a2十b2→之·乏是实数”和“乏=之”的应 义画出图形，能够使数量关系和空间形式巧妙、和： 用充分体现了转化与化归思想. 552.解由于x+3-4i=x一(-3+4i)=1,所以在 1-i(1-i0(1-i0==- 复平面上，复数2对应的，点Z与复数一3十4ⅰ对应 (2)因为=2+22(1+)(1-D 4 2i,所以=之，即 的，点C之间的距离等于1，故复数之对应的，点Z的 z=一i故选A 集合是以C(一3,4)为圆心，1为半径的圆.而：表 答案(1)D(2)A 示复数之对应的点Z到原，点O的距离，又OC=5, -3 主！对点训练 所以点Z到原点O的最大距离为5十1=6，最小距 离为5-1=4. !1.0[原式=-2i- 4±》9+器+4i=-2-9+i=--2+ (1-2i)(1+21) 即xmx=6,zmim=4. 4i=0.] 素养演练·提升技能 1+i04+32_1+2i1+m1+31=-2+i. 1.AL设复数x与复平面内的点Z相对应，由△ABC的三个顶点所 2.解(1D法-：21--3 10 对应的复数分别为x1,2,x3及z一x1=x一2=z一3，可知 (1+i)(4+3i) 点Z到△ABC的三个顶点的距离相等，由三角形外心的定义可知， 法二：2-100-i (周)() i(4+3i)(2+i边= 5 点Z即为△ABC的外心， (-3+4i0(2+)=-10+5i--2+1 2.ACD[复数。-1十2i在复平面内对应的点为P,(1,2),A正确； 复数z。的共轭复数对应的点与点P。关于实轴对称，B错误：设z x十vi(x,y∈R),代入之-1=z-i,得(x-1)+i=x+(y 2原式-[1+·吉+[1-·景88气"0D (3-4i)i 1)i,即√/(x-1)2十y=√x2+(y-1),整理得y=x,即，点Z在 =(2i)9.1+（-21)·（-i）-8·21(1+2=8+8-16-16i= 直线y=x上，C正确；易知点P。到直线y=x的垂线段的长度即为 P,乙之间距离的最小值，结合平面几何知识知D正确.故选A,题点三 -16i. C、D. 3.100[因为x十i=(3十5cos0)+i(-4+5sin0),所以x2+y=典例解法-：因为x2+4x十6=0， (3+5cos02+(-4+5sin0)2=50+30cos0-40sin0=50+ 所以(x十2)2=一2， 因为（√2）2=(-2i)2=一2， 50cos(0+p,其中sin9=5,os9=号，又-1≤cos(0+p)≤1，所 所以x+2=2i或x十2=-V2i, 以(x2+y)mx=50+50=100.] 即x=一2十√2i或x=一2一√2i 4.2-i[复数，，所对应的点分别为A,B,C,设正方形的第四！ 所以方程x2十4x十6=0的根为x=一2士√2i. 个顶点D对应的复数为x十yi(x,y∈R).图为AD=O元一OA,所以！ 法二：由x2+4x十6=0知△=42一4×6=一80. AD对应的复数为(x十yi)-(1+2i)=(x-1)+(y-2)i,因为BC= 所以方程x2十4x十6=0无实数根. OC-OB,所以BC对应的复数为(-1一2i)一(-2十i)=1-3i因为 在复数范固内，设方程x2十4.x十6=0的根为x=a十bi(a,b∈R且 A市=花，所以它们对应的复数相等，即{二=1。解 b≠0)， y-2=-3, 则(a+i)2+4(a+bi)+6=0, 得x-2, 所以a2+2abi-b+4a+4bi+6=0, y=-1 整理得(a2-b2十4a十6)十(2ab十4b)i=0, 故点D对应的复数为2一i] 5.解设复数x=x十yi(x,w∈R), 所以8+40十6=0， 12ab+4b=0, 则x-4=(x-4)+yi, 又因为b≠0， 依题意，{V+y=25, {x-4=0且y≠0. 所以a-6+4a+6=0, 2a+4=0, 解得红=4或{=4 解得a=一2，b=土√2 y-2 y=-2, 故复数x=4十2i或4一2i. 所以x=一2士√2i, 7.2.2 复数的乘、除运算 即方程x2+4x+6=0的根为x=一2士√2i, 必备知识·自主梳理 法三：因为x2十4x十6=0 1.(1)(ac-bd)+(ad+bc)i(2)22311(2z3)a2+a13 x=二4生=4X6--2士/-2=-2士2 2.共轭复数 即时小练 对点训练 1.D[(2+2i)(1-2i)-2-4i+2i+4=6-2i.] 解设x=x是方程的实根，代入方程并整理得（后十k十2）十 21+)2(1+D_21+D=1+i.] 2.A[1台1-(1+D1- (2x。十k)i=0. 由复数相等的条件得x号十kxo十2-2xo十k-0, 21 212+号+ 5 解得{红。=B,或{=一区， k=-22k=22, =一 所以方程的实根为x=2或x=一√2， 关键能力·合作探究 相应的k的值为k=一2√2或k=2√② 题点一 素养演练·提升技能 典例(1)解(1-i)(1+i)十(2+i) =1-￥+4+4i+=5+4i. 1.A[x √/3+i -3+ii(1-√3i)i i(1十3i) (1-√5i)2(1-5i)2(1-√5)21-√5 4 (2)解析因为(1十3)(3一i)=3十8i一3-6十8i,则所求复数对应 的点为(6,8)，位于第一象限.故选A. 4 4 4之·=4] 答案A 对点训练 :2.B[因为=(1甲)】 1-i =-1,所以w=-1+1-1+1-1=-1.] 1.B[因为2=(1-i)(a+i)=a+1十(1一a)i,所以它在复平面内对 ;3.解设x=a+bi(a,b∈R),则(1-2i)z=(1-2i)(a十i)=(a十2b) 应的点为(a+11-a,又此点在第二象限，所以亡0：解得 十(b一2a)i又因为(1一2i)x是实数，所以b-2a=0,即b=2a,又 a<-1.] 1=5,所以a+8=5.解得8或红二所以=1+21或 1b=2 b=-2. 2.解(1)(3+i)(5+4i) -1-2i,所以2-1-2i或-1十2i,即z=士(1-2i). a(1+2i) =(11+17i) 1 -2-21 4.D[e“+i=a2m2+i=台十（号+b)i由题意 17√5-1111√5+17 知，号=-号-6，则3a十5动=0.] 2 2 (2)(3+4i)(3-4i)=32-(4i)2=9-(-16)=25. 据0选择①，岂2-2士2 (3)(1-i)2-1-2i+=-2i. -4+3i(-4+3i)(3-4i) =-12+16i+9i+12=i. 题点二 选择②，3+41 (3+4i)(3-4i) 25 典例解析0-得+号-号-g1 选择@，二千可 (-1-i)2 1+2i-1=i 2 254 (2)根据三个式子的结构特征及(1)的计算结果，可以得到+：= b-ai 第八章立体几何初步 (a,b∈R,且a,b不同时为零)」 8.1基本立体图形 下面进行证明： 第一课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征 a-bi_(a+li)(b+ai)_ab-a'itb'i-ab_(a'+b)i-i. !必备知识·自主梳理 b-ai (b-ai)(b-ai) b2+a2 a+b2 (一)1.形状 大小2.平面多边形一条定直线旋转面多边形 章末复习提升 公共边定直线 二、把握重点·常考题型集训 :即时小练 1.A 2.AB 题型一 B之i四指公选边公 1 1 -2-1 1+2i 2.垂直正多边形平行四边形 5 :即时小练 1.C2.A 5 5 ·(三)多边形 三角形多边形面三角形面公共边公共顶点 2.B[由纯虚数的定义，可得“二32=0，解得a=2.] 四面体 正多边形垂直 1a-1≠0， :即时小练 !1.D「因为正六边形的边长与它的外接圆的半径相等，所以满足题意 3.A[由题意知a十b+2ai=21,所以{8十b0解得aL, 故 的棱锥一定不是六棱锥.] 12a-2, b=-1, 12.C 选A. :(四)平行于棱锥底面截面底面 4.解(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0， :即时小练 x-3x-3>0, 1.C2.C 所以)1og2(x一3)=0， 关键能力·合作探究 题点一 (x-3>0, 典例解(1)长方体是四棱柱.因为它有两个平行的平面ABCD与 解得x=4,所以当x=4时，z∈R. 平面A1B,CD,其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公 (2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0， 共边互相平行，这符合棱柱的定义 x2-3x-3>0, (2)用平面BCVM把这个长方体分成两部分，其中一部分有两个平 所以10g(x一3)≠0， 行的平面BBM与平面CC1N,其余各面都是四边形，并且每相邻 x-3>0, 两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义，所以是三棱柱， 可用符号表示为三棱柱BBM-CC1N.同理，另一部分也是棱柱， 解得>3+，四且≠4. 2 可以用符号表示为四棱柱ABMA1-DCND. ·对点训练 所以当>3十，√四且江≠4时，：为虚数 :1.CD[A选项不符合棱柱的侧棱平行的特点：对于B远项，棱柱的 底面可以是三角形；对于C远项，所有侧面都是正方形的四棱柱不 题型二 一定是正方体，如底面是菱形时，此时的四棱柱不是正方体：D选项 1.D[因为x=1+i,所以ix+3z=i(1+i)+3(1-i)=-1+i+3- 说明了棱柱的特点，只有选项C,D正确.] 3i=2-2i,所以iz+3z=2-2i=√2+(-2)严-2√2.故选D.]! 2.D[由棱柱的定义可知，只有D正确，分别构造图形如下： 2.B[依题意可得：=3-4i=3=4)i=-4-3i,所以：= √-4)2+(-3)严-5，故选B.] 3.C[设z-a+bi(a,b∈R),由z(z+1)=1+i,得a2+b2+a+bi=11 十i,所以b=1,a2十a十1=1，所以a=0或a=一1.故x=i或x=-1 图① 图② +i.] 图①中平面ABCD与平面A,B1CD平行，但相邻两个四边形公共 4.B[图为(1-i)2=1一2i+￥=-2i,所以zo0十0+1= 边不都相互平行，故A错误：图②中正六棱柱的相对侧面ABBA 与EDDE1平行，但不是底面，B错误：上、下底面是全等的菱形，各 (局)”+（后）+1()-+() 侧面是全等的正方形的几何体不是正方体，C错误：根据棱柱的定 义知D正确.] 1-)0+17(二2D0士（一20D+1=0一+1=f-计1：照高）A（2B「)0中的平面不一定平行 于底面，故①错误：②可用反例去检验，如图所 5.3[因为z=(1十i)(2-i)=3十i,所以复数x的实部是3.] 示，侧棱延长线不能相交于一点，故②错：棱台的 侧面为梯形，故③错，故远A 7 题型三 (2)由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形 故①正确；四面体就是由四个三角形面所围成的 1.D[调为=十94十所以= + 何体，因此四面体的任何一个面都可以作为棱 锥的底面，故②正确；棱锥的侧棱交于一点，故③错误.] 2T2 对点训练 :1,D「对于A,四棱锥共有八条棱，故A错误：对于B,五棱锥共有六 1+√3i 十3)（二1一3）三1-3i,所以复数x在复平面 个面，故B错误：对于C,六棱锥共有七个顶，点，故C错误：对于D,根 -1十√5i(-1+3)(-1-3)2 据棱锥的定义知D正确，故选D.] 内对应的点为（侵，一受）在第回象限，故透D] !2.①③④⑤[①正确，因为此几何体有六个面，符 合六面体的定义：②错误，因为侧棱的延长线不 2.A[因为复数m十1十(2-m)i在复平面内对应的点在第二象限， 能交于一点；③正确，把几何体放倒，就会发现该 几何体是一个四棱柱；④正确，如图1所示：⑤正 所以"十10解得m<-1.所以实数m的取值范国为（一0，题点】 确，如图2所示，门 {2-m>0, 图1 图2 -1).故远A.] ·典例解图①中，有5个平行四边形，而且还有 3.-6-8i[因为复数4十3i与-2-5i分别表示向量OA与Oi,所以： 两个全等的五边形，符合棱柱特点：图②中，有5个三角形，且具有 共同的顶，点，还有一个五边形，符合棱锥特点；图③中，有3个梯形， OA=(4,3),Oi=(-2,-5).又AB-Oi-OA=(-2,-5)-(4, 且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特 3)=(一6，一8)，因此向量AB表示的复数为x=一6一8i 点.把平面展开图还原为原几何体，如图所示 4.3√5√5[x十3一5i=√5表示以复数一3 十√i对应的，点P为圆心，以为半径的圆， 如图所示，则|OP|=一3十√i=√12= 25,显然zmx=OA=OP1十5=35， 3 zmn=OB=OP-√5=√3.] 所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台. 255