课时分层检测(14) 数系的扩充和复数的概念&课时分层检测(15) 复数的几何意义-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

班级 姓名 得分 课时分层检测（十四） 数系的扩充和复数的概念 …0 基础达标练 :9.已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i}, 04 P={一1,1,4i},若MUP=P,求实数m 1.若复数之=(a2-2a)+(a2-a-2)i(a∈R) 的值. 是纯虚数，则 ( A.a=0或a=2 B.a=0 C.a≠1且a≠2 D.a≠1或a≠2 2.若复数之=m2-1+(m2-m-2)i为纯虚数， 则实数m的值可以为 () 10.已知m∈R,复数之=mm十2》+(m2+2m A.-1 B.2 C.1 D.-2 m-1 3.设集合A={实数冫，B={纯虚数}，C={复 3)i,当m为何值时， 数}，若全集S=C,则下列结论正确的是 (1)之为实数；(2)之为虚数；(3)之为纯虚数？ ( A.AUB=C B.A=B C.A∩(CsB)=☑ D.(CsA)U(CsB)=C 0 能力提升练 0 4.以一3十i的虚部为实部，以3i+2的实部为 虚部的复数是 ( :1.(多选)下列命题，其中正确的是 ( A.1-i B.1+i A.若之=a十bi,a,b∈R,则仅当b≠0时x为 C.-3+3i D.3+3i 纯虚数 5.设a,b∈R,i是虚数单位，则“ab=0”是“复数 B.若m2-2m-3十(m十1)i为纯虚数，则 a+bi为纯虚数”的 ( m=3 A.充分不必要条件 C.若a∈R,则ai为纯虚数 B.必要不充分条件 D.复数x=a2-b2+(a十|a|)i(a,b∈R)为 C.充要条件 实数的充要条件是a≤0 D.既不充分也不必要条件 2.已知关于x的方程x2+(m+2i)x十2+2i= 6.若a,b∈R,i是虚数单位，a十2022i=2-bi, 0(∈R)有实根n,且之=m十ni,则复数之= 则a2+bi等于 ( () A.2022+2i B.2022+4i A.3+i B.3-i C.2+2022i D.4-2022i C.-3-i D.-3+i 7.有下列说法： :3.已知复数之1=m十(4-m2)i(m∈R),2= ①两个复数相等的一个必要条件是它们的 2cos0+(a+3sin0)i(入，0∈R),并且z1=2, 实部相等； 则入的取值范围为 ②两个复数不相等的一个充分条件是它们：4.已知关于x的方程x2+(k十2i)x十2十ki=0 的虚部不相等； 有实根xo,则xo= ,k= ③1-ai(a∈R)是一个复数； 5.分别求满足下列条件的实数x,y的值. ④纯虚数的平方不小于0； (1)2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i; ⑤一1的平方根只有一个，即为-i; (2)2-1-6+(x2-2z-3)i=0. ⑥i是方程x4-1=0的一个根； x十1 ⑦√2i是一个无理数， 其中正确的说法有 (填序号). 8.已知之1=-3-4i,2=(n2-3m-1)十(n2-m 一6)i,且之1=2，则实数m= :n= 175 班级 姓名 得分 课时分层检测（十五） 复数的几何意义 7.若x=a-i(a∈R,且a>0)的模为2，则a= …0 基础达标练 ,复数之的共轭复数之= 1.复数之=-1一2i(i为虚数单位)在复平面内8.设之为纯虚数，且|之-1=|一1十i,则复数 对应的点位于 ( 之= A.第一象限 B.第二象限 9.已知复数之=a十√3i(a∈R)在复平面内对应 C.第三象限 D.第四象限 的点位于第二象限，且之|=2，则复数之= 2.在复平面内，O为原点，向量OA对应的复数 为一1十2i,若点A关于直线y=-x的对称10.实数x取什么值时，复平面内表示复数之= 点为B,则向量OB对应的复数为 ( x2+x-6+(x2-2x-15)i的点Z: A.-2-i B.-2+i (1)位于第三象限； C.1+2i D.-1+2i (2)位于第四象限； 3.设O为原点，向量OA,OB对应的复数分别为 (3)位于直线x-y-3=0上. 2十3i,一3一2i,那么向量BA对应的复数为 A.-1+i B.1-i C.-5-5i D.5+5i 4.已知之=m一1十(m十2)i在复平面内对应的： 点在第二象限，则实数m的取值范围是 ( A.（-1,2) B.(-2,1) C.(1,+∞) D.(-∞，-2) 5.(多选)设复数之满足之=-1-2i,i为虚数单 位，则下列命题正确的是 ( ! A.1x=5 440 能力提升练 0 B.复数之在复平面内对应的点在第四象限 C.之的共轭复数为一1十2i 1.(多选)已知1，之2是复数，以下结论正确的 D.复数之在复平面内对应的点在直线y= 是 ( -2x上 A.若1十之2=0，则1=0，且2=0 6.若复数（一6十k2)一(k2一4）i(k∈R)所对应： B.若引之1十|2|=0，则1=0，且2=0 的点在第三象限，则的取值范围是 C.若|1|=|2，则向量OZ1和OZ2重合 D.若之1一之2|=0，则1=2 176 班级 姓名 得分 2.设A,B为锐角三角形的两个内角，则复数6.已知复平面内的点A,B对应的复数分别是 之=(cosB-tanA)十itan B(i为虚数单位)： x1=sin0+i,之2=-cos20+icos20,其中0∈ 对应的点位于复平面的 ( (0,π).设AB对应的复数是之. A.第一象限 B.第二象限 (1)求复数； C.第三象限 D.第四象限 3.设之∈C,且1≤|之≤2，在复平面内，之对应 (2)若复数对应的点P在直线y=2x上， 点Z,则Z点的轨迹图形的面积为 ( 求0的值. A. B.2 C.3π D.4π 4.i为虚数单位，设复数1,2在复平面内对应； 的点关于原点对称，若之1=2一3i,则2= 5.已知x为实数，复数之=x一2+（x+2)i. (1)当x为何值时，复数之的模最小？ (2)当复数之的模最小时，复数之在复平面内： 对应的点Z位于函数y=一m.x十n的图象 上，其中m>0,n>0,求m与n满足的关 系式 177∴sin∠ABC=AC·sim∠BAC_2Xsin120°-￥2 课时分层检测（十五） BC √6 基础达标练 又0°<∠ABC60°，∴.∠ABC=45°. :1.C2.B3.D4.B5.AC B点在C点的正东方向上， ,.∠CBD=90°+30°=120° !6.(一√6，一2)U(2W)[:复数对应的点位于第三象限， 在△BCD中，由正弦定理， {602<6或-6<k<-2.] BD CD 14-k<0, 得n乙BCD sin /CBD !7.11+i[:√a2+(-1)严-√2，且a>0,∴.a=1,则-1-i,= sin∠BCD=BD·sin∠CBD_10t·sin120°1 1+i] CD :8.士i[因为z为纯虚数，所以设z=ai(a∈R,且a≠0)，则z一1一 10√3t 又.0°∠BCD60°，.∠BCD=30°， ai一1=√a+1.又因为-1十i=√2，所以/a十1=2，即a 鲜私船沿北偏东60°的方向行驶 =1,所以a=士1，即x=士i.] 又在△BCD中，∠CBD=120°，∠BCD=30°， 9.一1十√3i[因为之在复平面内对应的点位于第二象限，所以a<0, ∴.∠CDB=30°，∴.BD=BC,即10t=√6. 由z=2知，√a2十(3)2=2，解得a=-1,所以x=-1十3i.] -(h≈15(mm. !10.解因为x是实数，所以x2十x一6，x2一2x一15也是实数. (1)当实数x满足x+工x-6<0, “,鲜私船应沿北偏东60的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需 、 3x2-2x-15<0, 要15分钟. 即一3x2时，点Z位于第三象限. 创新拓展练 (2)当实数x满足{十1-6>0， D x2-2x-15<0, 即2<x<5时，点Z位于第四象限. 课时分层检测（十四） (3)当实数x满足(x2十x-6)-(x2-2x-15)-3=0,即3.x十6= 0,x-一2时，点Z位于直线无 =0上.所以x=-2. 基础达标练 能力提升练 1.B2.C3.D4.A5.B6.D 11.BD2.B3.C 7.①②③⑥[若两个复数相等，则它们的实部、虚部均相等，故①正4，一2+31[因为名=2-3i对应的点的坐标为(2，一3)，且复数： 确：若虚部不相等，则两个复数一定不相等，故②正确：因满足形如 在复平面内对应的点关于原点对称，所以在复平面内对应点 a十i(a,b∈R)的数均为复数，故③正确：纯虚数的平方，如=一1， 的坐标为（一2,3），对应的复数为2=一2+3i.] 故④错误；-1的平方根不止一个，因为（士i)2=-1,故⑤错误：因5.解(1）z=√x-2)2+(x十2)产=√2x2+8≥2V2,当且仅当 为i一1=0成立，故⑥正确；√2i是虚数，而且是纯虚数，故⑦错误. x=0时，复数x的模最小，为2√2. 综上，①②③⑥正确.] (2)当复数x的模最小时，Z(一2,2) 8.2±2[由复数相等的充要条件得一3m一1=一3，解得 又点Z位于函数y=一nx十n的图象上， {2-m-6=-4, 所以2m十n=2(>0,且n>0). :6.解(1)因为，点A,B对应的复数分别是 z1=sin'0+i,2=-cos:0+icos 20, 9.解MUP=P,∴.CP, 所以，点A,B的坐标分别是A(sin0,1),B(-cos20,cos20), ∴.(m-2m)十(m+m-2)i=-1或(-2n)+(m+m-2)i-4i AB=(-cos20,cos 20)-(sin20,1)=(-cos20-sin20,cos 20- 由(m2-2n)+(n2+n-2)i=-1得 1)=(-1,-2sin20), jm-2m=。二1解符m=1, 所以AB对应的复数z=一1十(-2sin0)i {m2+m-2=0, (2)由1)知点P的坐标是(-1，-2sin0》,代入y=是 由(m2一2m)+(m2+m-2)i=4i得 m2-2n=0,解得m=2. 得-2sin0=一 即sin0=子所以0=士 m+m-2=4, 综上可知n=1或m=2. 又因为0e0,,所以n0=号所以0=吾或要 10.解(1)要使：为实数，m需满足m2+2m-3=0,且m(m+22有意 n-1 课时分层检测（十六） 义，即n一1≠0，解得n=一3. 基础达标练 1.C2.C3.A4.D5.B 2)要使：为虚数，m需滴足m+2m-3≠0，且mm2有意义，6：两式相加得28+2i,1=4+i] m-1 即m一1≠0，解得m≠1且m≠一3. 7.士25-2i[因为十2i是实数，所以可设x=a-2i(a∈R),由x=4 （3)要使：为纯虚数，m需满足m2-0,且m2+2m-3≠0，解8.得9朗482=2-(3y44x)二[4-2x） 得a2+4=16,所以2=12，所以a=±2√5，所以之=土2√5-2i.] n-1 得m=0或-2. -(5x+3y)门=(5x-3y)+(x+4y)i,又x=13-2i,所以 能力提升练 1.BD 2.B {81:解得=2.所以=（8×2-D十（-1-4×21 x+4y=-2, 3【[由名=将ona.游去m得入-.解设不复为配. =5-9i,z2=(-4-2×2)-(5×2-3×1)i=-8-7i] 9 所以x+i+√/x2+y2=5+√3i, 4sin0-3sin0=4(sin0-子）-最由于-1≤sn0K1,故-是 11 λ7.] 所以红十2+y=5,所以r=亏， 4.2或-√2 一22或2√2[x=x是方程的实根，代入方程并整 (y-W3, 理，得(x6十kx0十2)+（2x0十k)i=0.由复数相等的充要条件，得 所以x十i=1里+ 5 {+红2=0解得{5=区，或5二一区：方程的实根为10.解设的R则由为知了=4， 12x0十k=0, k=-22k=2√Z. 故之对应的，点在以原点为圆心，2为半径的圆上， x。=√2或x=一√2，相应的k值为k=一2√2或k=2√2.] 又z十1十√表示点(x,y)到点（一1，一3）的距离， 5.解(1)x,y∈R, 且点（一1，一√3）在圆x2十y=4上， ·由复数相等的定义，得21=x一y 所以圆上的点到点（一1，一√）的距离的最小值为0，最大值为圆的 y+1=-x-y, 直径4， 解得x-3, 即z十1十√尽的最大值和最小值分别为4和0. 能力提升练 y=-2 (2),x∈R,∴.由复数相等的定义，得 :1.CD 2.A 气5-0，即红=8支：且-1 !3.-4[因图为OA+OC=O店，所以2+gi+(-b+ai)=-2a+3i,所 2 x十1 (x2-2.x-3=0, 1x=3或x=-1, 12-b=-2a, x=3 288