课时分层检测(9) 平面向量数量积的坐标表示-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

b,=bsim120=-3×5_3E 能力提升练 2 2 1.D2.D G=1cos(-30)=4x5=25. 3.(号9) [由题意知Di-(5,4,CA=(-3,6),DC=(4,0).由 1 =csim(-30)=4×(-2）--2, B,P,D三点共线可得DP-λDB=(5入，4).又因为C产-D-D记 =(5入-4,4)，由CP与CA共线得，(5入-4)×6+12入=0.解得A= 因此a=(√2，√2)，b= 33√3\ 22 ,c=(23,-2) 子，所以D币=号D亦=(9,9)所以P的坐标为（号，曾）门 m2+元2=1， 4. (受，-7）[：C=合成，A为BC的中点，C=酥，设 8 10.解 设a=(m,n),b=(p,g),则有 p2+g2=1, n十p=1, C(xcy),则(xe-2,ye十1)=(1，-5)，.C点的坐标为(3，-6)， (n十g=0, 又C正=D,且E在DC的延长线上，应=-十元.设 m=p=2: n=p=, E(x,y),则(x-3,y十6)=一 年(4-，-3-y),得 解得g=- 或 2 q-2 x-3= 4(4-x), 解得 x一 3’故点E的坐标是 2 21 +6=(-8-, =一7 8 3,-7）] 5.解以A为原点，AB,AD所在直线分别为x 轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图. 能力提升练 则B(2,0),D(0,1),E(1,1), 1.D2.C 设P(x,x),0x1, (4) 3.(2,号) [设b=(x,y),由新定义及a十b=a☒b,可得(2十x,y- DB=(2,-1),AD=(0,1),AP=(x,x), 4)=(2x,一4v),所以2+x=2x,y-4=-4y,解得x=2,y=4 ,所 AP=λDi+AD,∴.(x,x)=(2λ-A) 以向量=(2，号)门 x=2, -1. 3x 4,解(1)因为AB=(1,2),AC-(2,1), \=2· 所以OP=(1,2)+(2,1)=(3,3) A十u=2.0≤x≤1，∴A十∈[0,2]， 即点P的坐标为(3,3). 故当x=1,即点P与点E重合时，λ十4取得最大值，为2. (2)设点P的坐标为(x,y), 16.解(1)a=(1,2),b=(2,k),c=(8,7), 因为PA+PB+PC=0, ∴.b+c=(10,k+7), 又a∥(b+c),.1×(k+7)-2×10=0, 又PA+PB+PC-(1-x,1-y)+(2-x,3-)+(3-x,2-y)= 解得k=13,.当k=13时，a∥(b十c). (6-3.x,6-3y), (2)当k=1时，b=(2,1).c=na十b, 所以80：解得： 即(8,7)=(n+21,2m十n), {y=2. 所以，点P的坐标为(2,2)，故OP=(2,2). “”:舞得 {n=3. 课时分层检测（八） 课时分层检测（九） 基础达标练 基础达标练 1.A2.B3.C4.B5.AP 1.AD 2.A 3.A 4.A 5.ABC 6()政（一号）设与a平行的位量为e=(,设4”0] 3 3 x= lx= 因为a⊥(a一b),根据向量垂直的充要条件可得 则v: 5 或 5， 1×(+1)+0×(-m)=0, 4 4 y=-5 所以m=一1.] ,8.8√2[易得a·b=2×(-1)+4×2=6,所以c-(2,4)一6(-1,2) 7.(-4,-8)[a∥b,1×m-(-2)X2=0,.m=-4,∴.a=(1, 2),b=(-2,-4),∴.2a+3b=2(1,2)+3(-2,-4)=(-4,-8).] =(8,-8),所以c=√82十(-8)2=8√2.] 8.{mm∈R,且m≠6}[A,B,C三，点能构成三角形，.AB,AC不 9.解(1)因为a=(1,2),b=(1,-1), 所以2a十b=(3,3),a-b=(0,3). 共线.又AB=(1,1),AC=(m-2,4),.1×4-1·(m-2)≠0.解 得m≠6.∴n的取值范图是{mn∈R,且m≠6}.] 所以cos0=(2a+b）·(a-b)_92 9.解ma十4b=(2m,3n)十(-4,8)=(2m一4,3n十8)，a-2b=(2, T2a+ba-bTg√22 3)-(-2,4)=(4,-1), 因为ma十4b与a-2b共线， 因为0∈0，]，所以0=元 4 所以4(3n十8)-（一1）×(2m一4)=0，得n=-2. (2)ka-b=(k-1,2k+1), 当n=一2时，a十4b=(一8,2)， 依题意(3,3)·(k一1,2k十1)=0， 所以ma+4b=-2(a-2b), 所以3k-3+6k十3=0. 所以ma十4b与a一2b方向相反， 所以k=0. 10.解(1)设B(x1,y1),D(x2,y2),点M(x0,yo). 10.解(1)由题意知AB=(3,5),AC=(-1,1), 因为AB=(4,3),A(-1,-2), 则AB+AC=(2,6),AB-AC-(4,4). 所以(1+1，y+2)=(4,3), 所以巴士=所以=3： 所以AB+AC=2√0，AB-AC=4N2. 0y1+2=3, y1=1, 故所求的两条对角线的长分别为2√而，4√瓦. 所以B(3,1).同理可得D(-4,-3), (2)由题意知，OC=(-2,-1), 又点M为线段BD的中点， AB-10C=(3+2,5+t). ∴x=1十2=-2，y=122--1. 由(AB-tC)·OC=0, 2 2 得(3+2,5十t)·(-2,-1)=0, 因此中点M的坐标为(-2，-1)） 从而51=-1，所以1=-马 (2)PB=(3,1)-(2,y)=(1,1-y), 能力提升练 BD=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4, 1.C2.A 因为P,B,D三点共线，所以PB∥BD 3.-2或1(-∞，-2)U(-2,0)U(6,十∞)[(1)由向量a=(1, 所以-4+71一0=0，所以y=马 1十k),b=(k,2),所以2a-b=(2-k,2k),又2a-b与b平行，所以 2(2一k)一2k2=0,解得k=一2或k=1. 284 (2)若向量2a一b与b的夹角为纯角，则(2-k)k+4k<0,解得k<0!7.10N[因为绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都 或k>6;由(1)知，当k=-2时，2a一b与b平行，所以k的取值范图相等，且等于60°，故每根绳子的拉力大小都是10N. 是(-∞，-2)U(-2,0)U(6,+∞).] :8.1[建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0, 4解为m(停号) 0),B(2,0). 设AD=a,则C(1,a),AC-(1,a),BC-(-1, n=(sin x,cos x),m_n, a). 所以m·m=0,即号sinx-2cosx=0 因为ACLBC,所以AC⊥BC 所以AC·BC=-1+a2=0. 所以sinx=cosx,所以tanx=l. 所以a=1(负值舍去)，即AD=1.] (2)国为m=n=1,所以mn=m吾=合，序号工- 1 :9.解如图，设水流的速度为*，船在静水中的速度 为，船的实际行驶速度为U, √2 1 2 cos= 2 则6=5，u=20=4. 所以(-)= 1 ,v⊥v球∴.v球=√%2-u=3, 即水流的速度大小为3m/s. 国为0<<受所以-<< 10.证明建立如图所示的平面直角坐标系，设AB =2, 所以x一 元=，即x=12 5元 则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),E(1,2) 4 5.解(1)当t=3时，b=(-1,3),a+b=(0,5),a-b=(2,-1),所以 F(0,1). a+b=5,|a-b=√5. 设点P坐标为(x,y), A (O (2)由题意得a十b=(0,2+t),a-3b=(4,2-3t), 则FP=(x,y-1),FC=(2,1), 则cos135°=(a十b)·(a-3b) :FpP∥FC,∴.x=2(y-1),即x=2y-2, a-b a-3b 同理，由BP∥BE,得y=一2x十4， (2+t)(2-3t) 6 2+t·W16+(2-3t)9 2 由{x=2.2,得 {y=-2x+4, 8 化简得3-41-4=0，解得1=2或=一了 2 v=亏 经检验，当=一 时，向量a-b与0一30的夹角为5，合去：当 :点P的坐标为（号，亏）} 681 t=2时，向量a十b与a一3b的夹角为135°.故t=2. 创新拓展练 =√（号）+（号）=2=… 解(1)设D(x,v),AC与DB的夹角为0， 即AP=AB. 因为A(1,5),B(7,1),所以AB=(6,-4). 能力提升练 11.B2.AC 因为四边形ABCD为平行四边形， 所以AB=DC-(6,-4)=(1-x,2-y), 3.受5[由花.i-1X(-4)+22=0知AL 所以{位64，部得{二6,5即D-5,6 iy=6, 故向量A心与BD的夫角为受 所以DB=(12,一5)，易知AC=(0,一3)， 又：AC=5,Bi1=√-4)+2=25， AC.DB 所以cos0= AC·IDB ∴s=AdD=2×5×26=5.] 0×12+(-3)×(-5) 155 :4,解：AB=D心，四边形ABCD是平行四边形 √0+(-3)X√12+(-5)3913' BA BC 2BD 两边平方得1十1十 BA.BC =2,BA· 所以A亡与Di夹角的余孩值为 BAI BC BDI IBAI BCI (2)因为M,N分别是线段AC,BC的中点， 武=O,BALBC,.且BA=BC,四边形ABCD是正方形，且AB 且A(1,5),B(7,1),C(1,2), 2, 所以M(1,)小N(,是) ∴.四边形ABCD的面积为2. !5.证明如图，以B为原点，BC,BA所在直线分别为 所以=(3，-2)，i=(0,)疝=(6，-号)） x轴、y轴建立平面直角坐标系，设A(0,2),C(2, 0), 因为点P在线段MN上运动，令M亦=入M爪，A∈[0,1]，则M亦= 则D1,0),AC-(2,-2). (3λ，-2λ)， 设AF-λAC, 所以Pi-M-M市=(-3A,2x+号) 则B亦-BA+AF=(0,2)+(2x,-2x)=(2x, 席--亦-(6-3,2以-号)小 2-2), 又DA=(-1,2), 所以pi.P庙=-3x(6-3)+(2A+受)(2a-号)-13 由题设B亦⊥DA,所以B.DA=0, 201 所以一2以+2(2-2以)=0，所以A=号 令fa0=13x-20A-5,其中x∈[0,1. 所以萨-（停号） 当[0，]时，)单调延减： 所以D萨-萨-成=（令，号） 又DC=(1,0), 当[吕时)单调运增. 所以cos∠ADB= Di.D成5 所以当=0时，(a)取得最大值-15 DA DBI 5 4 即i·成的最大值为-只 cOS∠FDC= 层号 又∠ADB,∠FDC∈(O,π)， 课时分层检测（十） 所以∠ADB=∠FDC. 创新拓展练 础达标练 1.BD2.A3.A4.D5.C 证明图为M是边BC的中点， 6.3[设所用时间长短为，则AB=1,即(3,6)=1,2)，所以t=3.] 所以AM=2(AB+AC. 285班级 姓名 得分 课时分层检测（九） 平面向量数量积的坐标表示 9.己知a=(1,2),b=(1,-1). 基础达标练。……… (1)若0为2a+b与a-b的夹角，求0的值； 1.（多选)设向量a=(2,0),b=(1,1),则下列 (2)若2a十b与ka一b垂直，求k的值. 结论中正确的是 A.al=b2 B.a·b=0 C.a∥b D.(a-b)⊥b 2.已知a=(3,4),b=(5,12),则a与b夹角的 余弦值为 ( A器 B.√65 D.√/13 5 3.已知向量a=(1,t),b=(2,-1),且(a-b) ⊥b,则t= ( A.-3 R-司 C.1 D.3 4.已知A,B,C是锐角△ABC的三个内角，向 量p=(sinA,1),q=(1,-cosB),则p与q10.在平面直角坐标系xOy中，点A(-1,-2), 的夹角是 ) B(2,3),C(-2,-1). A.锐角 B.钝角 (1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形 C.直角 D.不确定 两条对角线的长； 5.(多选)已知向量a与向量b满足如下条件， (2)设实数1满足(A店-tOC)·OC=0,求 其中a与b的夹角为5的是 t的值. A.a=1,|b|=6,a·(b-a)=2 B.a=w=1,a2+ah=2 C.a=(3,-1),b=(23,2) D.a=(2,2√3)，b=(-3,0) 6.已知a=(-1,1),b=(1,2),则a·(a+2b) 7.设向量a=(1,0),b=(一1，m).若a⊥(0-b), 则m= 8.已知平面向量a=(2,4),b=(-1,2),若c= a-(a·b)·b,则|c|等于 166 班级 姓名 得分 5.设t为实数，已知向量a=(1,2),b=(-1,t). …0 能力提升练0… (1)若t=3,求a+b和a-b的值； 1.已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),c|= (2)若向量a十b与a-3b的夹角为135°，求t 5,若(c-b)·a=9则a与c的夹角为 的值. ( A.30° B.60 C.120° D.150° 2.已知向量a=(4sina,1-cosa),b=(1, -2),若a·b=-2,则。sin acos a。 2sin2a-cos2a A.1 B.-1 3.已知k∈R,向量a=(1,1十k),b=(k,2).若 向量2a-b与b平行，则k的值为 若向量2a一b与b的夹角为钝角，则k的取 值范围为 4.在平面直角坐标系xOy中，已知向量m= 0 创新拓展练0 在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,5), (l)若m⊥n,求tanx的值； B(7,1),C(1,2). (2)若m与n的夹角为5，求x的值. (1)若四边形ABCD为平行四边形，求AC与 DB夹角的余弦值； (2)若M,N分别是线段AC,BC的中点，点 P在线段MN上运动，求PA·PB的最 大值 167