6.3.5平面向量数量积的坐标表示（分层练习）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 围绕平面向量数量积坐标表示，通过基础运算、参数求解、综合应用三层设计，实现从概念理解到问题解决的递进，培养数学运算与几何直观素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|数量积、模、垂直的坐标表示|直接应用公式，如网格图向量数量积计算| |提升层|参数求解、夹角坐标表示|结合共线/垂直条件求参数，钝角夹角范围讨论| |综合层|几何情境与新定义应用|直角三角形顶点坐标求解，旋转向量投影计算|

6.3.5平面向量数量积的坐标表示 题型一 数量积的坐标表示 1．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知向量，满足，，，则（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】先根据向量的模的坐标公式求出，再将两边同时平方，结合数量积的运算律即可得解. 【详解】由，得， 由，得， 即，所以. 2．（2026·重庆·模拟预测）已知向量,在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则（   ） A． B． C．10 D．18 【答案】B 【分析】根据题意条件，建系，求出两向量的坐标，利用向量数量积的坐标公式计算即得. 【详解】 如图建立平面直角坐标系,由图知，， 则,故. 3．（25-26高一下·天津蓟州·期中）已知，，若与共线，则（　　） A． B． C．2 D．5 【答案】C 【详解】与共线，，解得， ，， . 题型二 向量模的坐标表示 4．（25-26高一下·吉林·期中）已知，且，则（    ） A．4 B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】根据平面向量数量积的坐标运算及模的坐标计算公式即可求解． 【详解】由得，， 所以． 5．（2026·吉林长春·模拟预测）已知向量，，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据共线向量的坐标表示，列出方程求得，结合向量模的坐标运算公式，即可求解. 【详解】由向量， 因为，可得，解得， 所以，所以． 6．（2024·河北衡水·模拟预测）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题得，， 所以，故B正确. 题型三 坐标计算向量的模 7．（2026·山东东营·模拟预测）已知向量，，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据即可求出，从而得到向量，然后利用向量的模的坐标公式即可求解. 【详解】已知向量，，若，则，解得， 所以，则， 因此，故D正确. 8．（2026·湖南邵阳·三模）已知向量，若，则的值为（   ） A．1 B． C．4 D． 【答案】B 【详解】由题意得，， 因为，所以，得. 9．（25-26高一下·浙江·期中）已知平面向量，满足，，，则（   ） A．12 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的模的坐标表示、垂直关系的向量表示、向量的数量积及运算律求解即可. 【详解】因为，所以. 因为，所以，即，所以. 则. 题型四 向量垂直的坐标表示 10．（2026·江西宜春·模拟预测）已知向量，，且，则（    ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为向量，，， 所以，解得，故． 11．（2026·重庆·模拟预测）已知向量，，若，则（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】已知向量，， 则， ， ，解得． 12．（25-26高一下·安徽宿州·阶段检测）已知，，则下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算、数量积运算规则及向量平行、垂直的判定条件，逐一验证各选项即可. 【详解】对于A，，故错误； 对于B，因为，所以，故错误； 对于C，，故错误； 对于D，，，故正确. 题型五 利用数量积求参数 13．（25-26高一下·河北邯郸·期中）若，，且，则x等于（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【详解】已知，， 由可得 所以. 14．（2026·陕西榆林·三模）已知向量，，定义，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据新定义结合数量积坐标公式计算求解参数即可. 【详解】由题知，解得. 15．（25-26高一下·全国·课后作业）设，．若与的夹角为钝角，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由数量积坐标定义结合向量平行的坐标表示即可计算求解. 【详解】由题意可得， 所以. 故选：D 题型六 利用向量垂直求参数 16．（25-26高一下·陕西渭南·期中）已知，，若，则（     ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量数量积的坐标运算公式即可求解． 【详解】． 17．（2026·山东泰安·模拟预测）已知向量，，若，则（     ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】利用向量垂直的条件求出参数 ，再计算向量的模长. 【详解】已知 ，，且 ， 因此：，解得：. 所以，则 18．（25-26高一下·辽宁·期中）已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标表示计算即可得解. 【详解】由题得， 由，得，即， 由，得． 题型七 向量夹角的坐标表示 19．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知向量，的夹角为钝角，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为向量，的夹角为钝角， 所以，解得. 20．（20-21高一下·北京·期中）向量，在正方形网格中的位置如图所示，则（   ） A．45° B．60° C．120° D．135° 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算即可求解. 【详解】设小正方形的边长为， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则，， ， 因为，所以. 21．（25-26高一下·甘肃武威·期中）设向量，，则与的夹角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】代入向量的夹角公式计算可得. 【详解】，故与的夹角为． 题型八 已知向量垂直求参数 22．（25-26高二上·云南曲靖·期中）已知向量，向量，且，则（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】应用向量垂直的坐标表示列方程求参数值. 【详解】由题设. 故选：A 23．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知，若，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】应用向量线性关系的坐标运算，结合向量垂直的坐标表示列方程求参数. 【详解】由题设，又， 所以，可得. 故选：C 24．（25-26高三上·湖北·阶段检测）已知向量，若，则（   ） A．-5 B． C． D．5 【答案】C 【分析】首先根据向量的坐标运算求解，然后再根据向量垂直的判断条件求解参数即可. 【详解】由题意可得，则， 即，解得． 故选：C 25．（25-26高一下·江苏南通·期中）在直角（OAB逆时针排列）中，O为坐标原点，A为直角顶点，其坐标为，若，则点的坐标为_____. 【答案】 【详解】在直角中，，，得， 因为，得， . 由“逆时针排列”可知，点在第一象限，设， 则，，，. 由，得，解得. . 26．（25-26高三下·辽宁·阶段检测）在平面内将非零向量绕其起点逆时针旋转角得到向量，记作，将向量绕其起点顺时针旋转角得到向量，记作.已知向量，，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为________. 【答案】 【分析】将向量，的起点均视为坐标原点，由定义求解与，由投影向量的定义即可求解. 【详解】将向量，的起点均视为坐标原点， 根据定义可知，， 所以向量在向量上的投影向量为. 27．（25-26高一下·湖南邵阳·期中）在△ABC中，已知.设，若，且＝0. (1)求的值； (2)设不同于点A的点E满足，且，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用基底向量法结合数量积的运算律，或建立坐标系，或利用余弦定理解三角形可得； （2）对应（1）的三种方法，结合向量垂直的表示方法，可求得实数的值，特别注意，点E不同于点A，所以. 【详解】（1）解法一：基底向量法 因为，所以D分所成比为2：1（靠近C）. 所以. ， 又，且， 所以，. 解法二：坐标法. 由，得，即. 以A为原点建如图所示平面直角坐标系，则，. ∵，设，则， ∴. ∴ 解法三：平面几何＋解三角形法. 由，得，即. ∵，∴， ∴，. ∴， ∴. （2）由， 得，， 所以 解得或. 当时，点E与A重合，舍去， 当时，点E在的延长线上，亦满足垂直条件. 综上，. 方法二：坐标法 设，则，， ∵，∴. ∴， ∴， ∴， 解得或. 当时，点E与A重合，舍去， 当时，点E在的延长线上，亦满足垂直条件. 综上，. 方法三： 由（1）知，. ∴， ∴. 又， ∴E在以为直径的圆上. 不妨设圆心为P，∵， ∴，∴. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.3.5平面向量数量积的坐标表示 题型一 数量积的坐标表示 1．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知向量，满足，，，则（     ） A． B． C．1 D．2 2．（2026·重庆·模拟预测）已知向量,在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则（   ） A． B． C．10 D．18 3．（25-26高一下·天津蓟州·期中）已知，，若与共线，则（　　） A． B． C．2 D．5 题型二 向量模的坐标表示 4．（25-26高一下·吉林·期中）已知，且，则（    ） A．4 B．2 C． D．1 5．（2026·吉林长春·模拟预测）已知向量，，若，则（     ） A． B． C． D． 6．（2024·河北衡水·模拟预测）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 题型三 坐标计算向量的模 7．（2026·山东东营·模拟预测）已知向量，，若，则（     ） A． B． C． D． 8．（2026·湖南邵阳·三模）已知向量，若，则的值为（   ） A．1 B． C．4 D． 9．（25-26高一下·浙江·期中）已知平面向量，满足，，，则（   ） A．12 B．8 C． D． 题型四 向量垂直的坐标表示 10．（2026·江西宜春·模拟预测）已知向量，，且，则（    ） A．6 B． C． D． 11．（2026·重庆·模拟预测）已知向量，，若，则（     ） A． B．0 C．1 D．2 12．（25-26高一下·安徽宿州·阶段检测）已知，，则下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 题型五 利用数量积求参数 13．（25-26高一下·河北邯郸·期中）若，，且，则x等于（   ） A．3 B． C． D． 14．（2026·陕西榆林·三模）已知向量，，定义，若，则（   ） A． B． C． D． 15．（25-26高一下·全国·课后作业）设，．若与的夹角为钝角，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型六 利用向量垂直求参数 16．（25-26高一下·陕西渭南·期中）已知，，若，则（     ） A． B．2 C． D． 17．（2026·山东泰安·模拟预测）已知向量，，若，则（     ） A． B． C． D．6 18．（25-26高一下·辽宁·期中）已知向量，若，则（   ） A． B． C． D． 题型七 向量夹角的坐标表示 19．（25-26高一下·江苏南京·期中）已知向量，的夹角为钝角，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（20-21高一下·北京·期中）向量，在正方形网格中的位置如图所示，则（   ） A．45° B．60° C．120° D．135° 21．（25-26高一下·甘肃武威·期中）设向量，，则与的夹角等于（    ） A． B． C． D． 题型八 已知向量垂直求参数 22．（25-26高二上·云南曲靖·期中）已知向量，向量，且，则（    ） A． B．2 C． D．4 23．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知，若，则的值为（    ） A． B．3 C． D． 24．（25-26高三上·湖北·阶段检测）已知向量，若，则（   ） A．-5 B． C． D．5 25．（25-26高一下·江苏南通·期中）在直角（OAB逆时针排列）中，O为坐标原点，A为直角顶点，其坐标为，若，则点的坐标为_____. 26．（25-26高三下·辽宁·阶段检测）在平面内将非零向量绕其起点逆时针旋转角得到向量，记作，将向量绕其起点顺时针旋转角得到向量，记作.已知向量，，，，则向量在向量上的投影向量的坐标为________. 27．（25-26高一下·湖南邵阳·期中）在△ABC中，已知.设，若，且＝0. (1)求的值； (2)设不同于点A的点E满足，且，求实数的值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $