课时分层检测(5) 向量的数量积-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

班级 姓名 得分 课时分层检测（五） 向量的数量积 9.已知a|=4,b=3,(2a-3b)·(2a+b)=61. …0 基础达标练。… (1)求a+b; 1.已知|a=√3，b|=2√3，a与b的夹角是 (2)求向量a在向量a十b方向上的投影向量 120°，则a·b等于 ( 的模 A.3 B.-3 C.-3√3D.3√3 2.在四边形ABCD中，AB·BC=0,BC=AD, 则四边形ABCD是 ( A.直角梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 3.若向量a,b,c满足a∥b且a⊥c,则c·(a十 2b)= ( A.4 B.3 C.2 D.0 4.在△ABC中，AB=4,AC=3,AB,BC边的 垂直平分线交于点P,则AP·BC的值为 A.7 C.-7 D.- 7 2 10.已知非零向量a,b满足a=1,且(a-b)· 5.(多选)设a,b,c是任意的非零向量，且它们 a+b=是 相互不共线，给出下列结论，正确的是 (1)求b; A.a·c-b·c=(a-b)·c (2)当a·b=一时，求向量a与a+2b的 B.(b·c)·a-(c·a)·b不与c垂直 夹角0的值. C.al-b<la-bl D.(3a+2b)·(3a-2b)=9a2-4b|2 6.(2022·全国甲卷)设向量a,b的夹角的余弦 值为3，且a=1,b=3,则(2a十b)·b= 7.已知a=3,|b|=5,且a·b=12,则向量a 在向量b上的投影向量为 8.已知向量|a=√5，a·b=10,a+b=5√2， 则|b1= 159 班级 姓名 得分 5.已知平面上三个向量a,b,c的模均为1，它 …0能力提升练0 们相互之间的夹角为120°. 1.如图，e1,e2为互相垂直的两个单位向量，则 (1)求证：(a-b)⊥c; |a+b|= (2)若|ka+b+c>1(k∈R),求k的取值 范围. e2 --e1 A.20 B.√10 C.25 D.√15 2.(多选)已知正三角形ABC的边长为2，设 AB=2a,BC=b,则下列结论正确的是 ( A.|a+b1=1 B.a⊥b C.(4a+b)⊥b D.a·b=-1 3.如图，在圆C中弦AB的长度 为6，则AC·AB=( A.6 B.12 C.18 D.无法确定 创新拓展练 0 4.(多选)在△ABC中，D,E是BC上的两个三 等分点，若AB·AC=2,AD·AE=4,则下 (多选)在日常生活中，我们会看到两个人共 列结论正确的是 ( 提一个行李包的情况.假设行李包所受的重 力为G,所受的两个拉力分别为F1,F2,若 F1|=|F2且F1与F2的夹角为0，则以下 结论正确的是 A.FI的最小值为2G A.Ai=吉A店+号C B.0的范围为[0，π] B.D--3A店+号AC C.当0-受时.r-号G C.AB2+AC2=13 D.当0=2时，F,=G 3 D.BC的长度为3 1605.解a+b+c=AB+BC+B励=AC+Bi C=号CM,:C与CM共线， 如图，延长BC至E,使CE1=BC|,连 接DE. 又：C与CM有公共点C, 因为CE-B武-AD, C,M,N三点共线. 所以四边形ACD是平行四边形， 5.解(1)证明：因为Bd=BC+Ci=4e十e十8e-9e=12e,-8e= 所以AC=DE, 4(3e-2e)=4AB,所以AB与BD共线. 所以AC+BD=DE+Bi-B正 又AB与BD有公共点B,所以A,B,D三点共线. 所以a+b+c=B配1-2BC1-2AD1=83. (2)因为2e1十e与e1+Ae2共线， 创新拓展练 所以存在实数，使2e1十e=(e十e2). 解(1)AC-AB+AD=a+b,DB=AB-AD=a-b.若a+b与 因为e不共线，所以{：解得=± a一b所在的直线互相垂直，则AC⊥BD.因为当|a=b时，平行四 31=A4, 2 边形ABCD为菱形，此时AC⊥BD,故当a,b满足a-b时，a+b (3)假设e1十e2与e1十e2共线，则存在实数m,使e1十e2= 与a一b所在的直线互相垂直. n(λe1+eg). (2)不可能.因为□ABCD的两对角线不可能平行，所以a十b与a一 b不可能为共线向量，更不可能为相等向量. 因为e1,e不共线，所以{=m, 1入=m, 解得A=士1. 课时分层检测（四） : 因为e1十e与e1十e不共线，所以入≠士1. 基础达标练 创新拓展练 1.ABD 2.ABD 3.C 4.C 5.A 解析(1)若D为AB的中点，则由向量加法的平行四边形法则可 6.4b-3a[由已知得3x+3a+2x-4a-4x十4a一4b=0,所以x十1 得O币=号(OA+OB). 3a-4b=0,所以x=4b-3a.」 7.成-而[=之--本=成=-号A亦 (2)设M在阴影区域内，则射线OM与线段AB有公共点，记为V, 3 则存在实数t∈[0,1]，使得ON=tOA十(1一t)OB,且存在实数r ∴亦-本-=A成-号成] 1,使得OM=rON,从而OM=rtOA十r(1一t)OB,则rt十r(1一t)= r 8.3MA+Mi+M心=0，Mi+Md=-MA,又由Ai+AC= 又0≤1，所以r(1-t)≥0. mAM得(Mi+MC)-2MA-mAM,即-3A=mAM=-mMi, .m=3.] 对于①1=1，r1-0=2,解得r=3,1=号 9.解由题意可知存在实数入使2知十b=入(8a十仙)，即2如十b= 满足r≥1，也满足r(1一)≥0，故①符合条件； 8Aa-lb, 对于@川=子1-0=日解得，是4=品满足≥，也满 解得浅公 2 足(1-)≥0，故②符合条件： (k=2 k=-2. 5 3 ,2ka十b与8a十b的方向相反， 对于③1=21-0=3，解得=61=后，不满足r≥1，故 .k=2不符合题意，舍去，.k=一2 ③不符合条件： 10.解如图，设AB=a,AD=b. ,M,N分别是DC,BC的中点 对于⑩1=兰1-)=合解得7品4=吕不满足≥1，故 ④不符合条件， =,D成i=a. 故符合条件的点为M1,M “在△ADM和△ABN中，+D成i=A, 答案(D之Oi+O(2)M,M AB+BN-AN, 课时分层检测（五） 即 基础达标练 i1.B 2.C 3.D 4.D 5.ACD a+zb-=d.② 6.11[(2a+b)·b=2a·b+b=2a·|b·cos(a,b+b=2× ①x2-②，得b=号(2c-d, 1×3×号+3=11.] ②x2-①.得a=号(2a-0. .号8[a:babm0=12,又b=5ams0=是合 成=号4-号c心=身子4 台即a在b上的投影向量为品a] 能力提升练 8.5[a2-5,a·b=10,a+b=5V2,.a+b12=50,即a2+ 1.D 2.ABD 1b2+2a·b=50,∴.5+b12+20=50,∴b-5(舍负).] 3.3[延长OG交边AB于点M(图略)， 则M为AB边的中点， 19.解(1)由(2a-3b)·(2a十b)=4a-3b-4a·b=4×16-3×9 : 4a·b=61,解得a·b=-6, ∴.0M=2oi+0i .a+b2=a2+b2+2a·b=16+9-12=13,.a+b=13. -(片市+à)六市+六成， (2)设a与a十b的夹角为0， .a·(a+b)=a2+a·b=10, 0 又0Mi=0心。 5 ∴.cos0= ,则a在a十b方向上的投影向量的模为 4×√/132√/13 成=六丽+成， acos0=4X5=103 21313· :P,Q,G三点共线，且OP,O0是不共线的向量， “元+还=1，即方+=3.] :10.解(1)因为(a-b)·(a+b)= 4, 4.证明设BA=a,BC-b,则由向量减法的三角形法则可知： 即a-形=，即a-b=3 4 CM-BM-BC-BA-BC-a-b. 所以b-a:--1-孚-子故- 又：N在BD上且BN=子BD, (2)因为a+2b2=a2+4a·b+4b2=1-1+1=1, 所以a+2b=1. :成=号面=专C+)=子(a+b, 又周为aa+2)=a+2a:b=1-之-号 -丽-成-专a+b)-b 所以cos0=a:(a+2b)1 a·a+2b=2, 又0e[0,],故0=等 282 能力提升练 1.C 2.CD 3.C 4.BCD 则Dò=Aò-A市=xAi-市=x(a+子）-b 5.(1)证明因为a=b=c=1, 且a,b,c之间夹角均为120°， =a+(号x-1)6 所以(a-b)·c=a·c-b·c 因为D,O,N三点共线， =a1ccos120°-bc·cos120°=0， 所以DO∥DN,存在实数红使D=DN, 所以(a一b)⊥c. (2)解因为k知十b十c>1, 则a+（ 号-1）b=(a-b) 所以(ka+b十c)·(ka十b十c)>1, 即k2a2+6+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1. 因为a·h=a·c=b·c=c0s120=-2, 由于向量a,b不共线，则】 2 (31-1=-4, 所以k一2k>0,解得k<0或k>2, 即k的取值范图是（一∞，0）U(2,十∞). λ= 3 解得 14' 创新拓展练 6 ACD 4= 课时分层检测（六） 所以0-=是成.a成-i, 基础达标练 1.D2.A3.A4.A5.B 所以A0:OM=是 6.(-∞，4)U(4,十∞)[若{a,b}能作为平面内一组基底，则a与b 创新拓展练 品压 解(1)设d0-入C正，因为A正-AB, 4 a+之b之×2di=a+之b-(a-b=a+h.] 所以C克-+A范-i+A店=Ci+(C-C)=Ci+ 8.a一2b[易知a,b不共线，所以设c=am十b(x,y∈R),则a十b! 成=+片×2市-+市. =x(3e1-2e2)+y(-2e1+e)=(3.x-2y)e1+(-2x+y)eg=7e1 一6.又因为60不共绕，所以22，”4，解得{2.所 所以ò-成-i+动列） 因为A,O,D三点共线， 以c=a-2b.] 9.(1)证明若a,b共线，则存在A∈R,使a=b,则e1-2e=A(e1十 所以(+）=1，解得=号 3e2). 由ee不共线，得1，。 1, 所以d-号正.所以是-4 13以=-2，即 (2)由题意知，A店·AC-AB·AC1cos∠BAC=2×√T× 所以入不存在，故Q与b不共线，可以作为一组基底 5=5 (2)解由4e1一3ee=a十b， 22 得4e1-3e-λ(e1-2e)+(e+3e,) =(a+)e1+(-2λ+3r)e. 设A0=市=号(A+A高=台（在+AC): 最士=-3，所以=3， 所以士4=4， 因为C,0E三点共线，所以台(+1）-1， 1=1. 故所求A,4的值分别为3和1. 解得一气 10.证明图为AD=AB+BC+CD=a+5b+(-2a+8b)+3(a-b): =2a+10b=2(a十5b)=2AB,所以AD与AB共线. 所以A亦=台酒+0=千与市+0 又因为AD与AB有公共点A, 所以A,B,D三点共线. 所以Ad.C=(店+Aò.(C+xA) 能力提升练 1.C 2.AD 千xA+(-1)A.A-C] 3号ab[设e1+e=m十b(mn∈R因为a=6+2eb= 4x+50x-1)-1]=9-16 x+1 一e1+e2,所以e1+e2=m(e1十2e2)十n(-e1十e2)=(m-n)e1十 =9(z+1)2-34(x+1)+25 (2n+n)e, x+1 因为e1,e2不共线， 25 2 =9(x+1)+3-34≥2V9x25-3M=-4, 所以n一n=1；解得 m=3 2m十n=1, 当且仅当9（中1》=马即=号时，等号成立 n=31 所以AO.C正的最小值为一4. 课时分层检测（七） 4.等腰[OA.O=Oi.G,OA.(Oi-心)=OA.C=0, 础达标练 1.C2.A3.D4.A5.A 上BC.AO=AAB+AC,点0在∠BAC的平分线6.1，-2》[易知i=（1,0,J=(0,1),则a=(1,-2).门 上A0既是BC边的高，地是∠BAC的平分线△ABC是等展：7.1AB2,4)=1,3)=(1,D,且AB=a,÷2 三角形.门 解得x=1.] 5.解(I)因为AN=子AB, 18.1[由平面向量基本定理，可知①正确：例如，a=(1,0)≠(1,3)，但 1=1,故②错误：因为向量可以平移，所以a=(x,y)与a的起点是不 所以示=成=子， 是原点无关，故③错误：当a的终，点坐标是(x,y)时，a-(x,y)是以 a的起点是原点为前提的，故④错误，] 所以D成=A-A市=a-b, 9.解设a=(a1,ae),b=(b,b), c=(c1,cg), 因为BM=号BC,所以成=号武-号A市-号0， 别a=acos45=2x号-E. 所以A成i=A店+B成=a+号b, a=asim45°=2X9=2, 2 (2)图为A,O,M三点共线，所以AO∥AM, 设AO=AAM, 4=bos120=8×()- 283