6.2.4 向量的数量积分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦向量的数量积，通过三级分层设计实现从基础定义到综合应用的递进，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|数量积定义、运算律、投影向量|7道选择填空题，直接应用公式，巩固概念理解| |B级|模长计算、夹角求解|含综合运算与步骤解答题，提升符号运算能力| |C级|参数范围问题|结合钝角条件综合应用，发展逻辑推理与创新意识|

6.2.4　向量的数量积 A级 必备知识基础练 1.已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=(　　) A.4 B.3 C.2 D.0 2.若|a|=4,|b|=2,a和b的夹角为30°,设与b方向相同的单位向量为e,则a在b上的投影向量为(　　) A.2e B.e C.2e D.4e 3.已知|a|=10,|b|=12,且(3a)·=-36,则a与b的夹角为(　　) A.60° B.120° C.135° D.150° 4.(多选题)已知向量a,b,c和实数λ,则下列各式一定正确的是(　　) A.a·b=b·a B.·b=a· C.·c=a·c+b·c D.·c=a· 5.P是△ABC所在平面上一点,满足||-|-2|=0,则△ABC的形状是(　　) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 6.已知两个单位向量a,b的夹角为60°,若(2a+b)⊥(a+λb),则λ=　　　　.  7.如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3=2,则=　　　　　.  B级 关键能力提升练 8.已知e1,e2是单位向量,其夹角为,若|me1+ne2|=(m,n∈R),则m+2n的最大值为.　 9.已知|a|=5,|b|=2,(a+3b)·(a-2b)=6. (1)求a与b的夹角; (2)若向量c为a在b上的投影向量,求|a+c|. C级 学科素养创新练 10.已知向量a,b的夹角为60°,且|a|=1,|b|=2,设m=3a-b,n=ta+2b. (1)求a·b; (2)试用t来表示m·n的值; (3)若m与n的夹角为钝角,试求实数t的取值范围. 参考答案 1.B　因为向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,所以a·(2a-b)=2a2-a·b=2+1=3,故选B. 2.C　a在b上的投影向量为|a|cos 30°e=4×cos 30°e=2e,故选C. 3.B　由已知得a·b=-36,所以a·b=-60.设a,b的夹角为α,则有|a||b|cos α=-60,即10×12×cos α=-60,于是cos α=-,故α=120°.故选B. 4.ABC　由向量数量积的运算律可知A,B,C正确. 对于D,令m=a·b,n=b·c,则(a·b)·c=mc,而a·(b·c)=na,a,c均为任意向量,所以(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.故选ABC. 5.B　点P是△ABC所在平面上一点,满足||-|-2|=0,则||=|-2|,可得||=||,即||=||,等式||=||两边平方并化简得=0,∴,因此,△ABC是直角三角形.故选B. 6.-　∵(2a+b)⊥(a+λb),∴(2a+b)·(a+λb)=0,∴2a2+2λa·b+a·b+λb2=0. ∵|a|=|b|=1,且a与b的夹角为60°, ∴a·b=|a||b|cos 60°=1×1×. ∴2+λ++λ=0.∴λ=-. 7.22　由=3,得.因为=2,所以·=2,即=2.又=25,=64,所以=22. 8.2　已知e1,e2是单位向量,其夹角为, 则e1·e2=|e1|·|e2|cos, 等式|me1+ne2|=两边平方得2==m2+2mne1·e2+n2=m2+mn+n2=m2, ∴=2-m2≤2,可得-m+n≤, ∴-2≤m+2n≤2, 因此,m+2n的最大值为2. 9.解 (1)设a与b的夹角为θ,因为|a|=5,|b|=2, 所以(a+3b)·(a-2b)=a·a+a·b-6b·b=|a|2+|a||b|cos θ-6|b|2, 所以52+5×2cos θ-6×22=6,即cos θ=, 又θ∈[0,π],∴θ=,即a与b的夹角为. (2)因为c=b, 所以|a+c|=a+b= = =. 10.解 (1)a·b=1×2×cos 60°=1. (2)m·n=(3a-b)·(ta+2b)=3ta2+(6-t)a·b-2b2=3t+6-t-2×4=2t-2. (3)由于m与n的夹角为钝角,于是m·n<0且m与n不平行.其中m·n<0⇒2t-2<0⇒t<1,而m∥n⇒3×2=(-1)×t⇒t=-6,于是实数t的取值范围是(-∞,-6)∪(-6,1). 学科网（北京）股份有限公司 $