课时分层检测(4) 向量的数乘运算-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

班级 姓名 得分 课时分层检测（四） 向量的数乘运算 :9.设a,b是两个不共线的非零向量，若向量 …0 基础达标练 0 2ka十b与8a十b的方向相反，求k的值. 1.（多选)下列运算正确的是 A.(-3)·2a=-6a B.2(a+b)-(2b-a)=3a C.(a+2b)-(2b+a)=0 D.2(3a-b)=6a-2b 2.（多选)向量a=2e,b=一6e,则下列说法正 确的是 ) A.a∥b B.向量a,b方向相反 C.a=3b D.b=-3a 3.设a0是与向量a同向的单位向量，b。是与 向量a反向的单位向量，则下列式子不正确： 的是 ( ) A.ao∥bo B.a=alao C.a0+b0=0 D.bo--a 4.设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA, AB的中点，则EB十FC等于 )10.在平行四边形ABCD中，M,N分别是DC, A.BC B.号ADC.A方 D.BC BC的中点.已知AM=c,AN=d,试用c,d 5.已知向量a,b是两个不共线的向量，且向量 表示AB和AD」 ma一3b与a十(2-m)b共线，则实数m的值 为 ( A.-1或3 B.5 C.-1或4 D.3或4 6.若3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a十b)=0,则 x= 7.如图正方形ABCD中，点E是DC的中点， 点F是BC上靠近C的三等分点，则EF= (用向量AB,AD表示) D -B 8.已知在△ABC中，点M满足MA+MB+MC= 0,若存在实数m使得AB十AC=mAM成立，则 m= 157 班级 姓名 得分 能力提升练 :5.设e1,e2是两个不共线的向量，如果AB= 3e1-2e2,BC=4e1+e2,CD=8e1-9e2. 1.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点 (1)求证：A,B,D三点共线； O,E是线段OD的中点，AE的延长线与CD (2)试确定入的值，使2e1十e2和e1十e2 交于点F,若AC=a,BD=b,则AF等于 共线； (3)若e1十e2与e1十e2不共线，试求入的 A和+6 1 取值范围. C.at 1 2 2.(多选)在梯形ABCD中，AB∥CD,AB= 2CD,E,F分别是AB,CD的中点，AC与 BD交于M,设AB=a,AD=b,则下列结论 正确的是 ( A.AC-za+b E.BC--za+b C.BM=-3a+号6D成-a+b 3.过△OAB的重心G的直线与边OA,OB分 别交于点P,Q,设OP=hOA,OQ=kOB,则 大+石 4.如图所示，在平行四边形 D ABCD中，点M是AB的 中点，点N在BD上，且 A BN=BD.求证：M,N,C=三点共线 0 创新拓展练 0 如图所示，已知△OAB,由 射线OA和射线OB及线段 AB构成如图所示的阴影区 域（不含边界）. (1)若D为AB的中点，则OD= (用OA,OB表示)； (2)已知下列四个式子： ①0M=0i+20i,@0M=是O+ }0i,@oM,-20A+号oi,④0M= 30A-goB. 对于点M1,M2,M3,M4,落在阴影区域（不 含边界)内的点有 (把所有符合条 件的点都填上). 1585.解a+b+c=AB+BC+B励=AC+Bi C=号CM,:C与CM共线， 如图，延长BC至E,使CE1=BC|,连 接DE. 又：C与CM有公共点C, 因为CE-B武-AD, C,M,N三点共线. 所以四边形ACD是平行四边形， 5.解(1)证明：因为Bd=BC+Ci=4e十e十8e-9e=12e,-8e= 所以AC=DE, 4(3e-2e)=4AB,所以AB与BD共线. 所以AC+BD=DE+Bi-B正 又AB与BD有公共点B,所以A,B,D三点共线. 所以a+b+c=B配1-2BC1-2AD1=83. (2)因为2e1十e与e1+Ae2共线， 创新拓展练 所以存在实数，使2e1十e=(e十e2). 解(1)AC-AB+AD=a+b,DB=AB-AD=a-b.若a+b与 因为e不共线，所以{：解得=± a一b所在的直线互相垂直，则AC⊥BD.因为当|a=b时，平行四 31=A4, 2 边形ABCD为菱形，此时AC⊥BD,故当a,b满足a-b时，a+b (3)假设e1十e2与e1十e2共线，则存在实数m,使e1十e2= 与a一b所在的直线互相垂直. n(λe1+eg). (2)不可能.因为□ABCD的两对角线不可能平行，所以a十b与a一 b不可能为共线向量，更不可能为相等向量. 因为e1,e不共线，所以{=m, 1入=m, 解得A=士1. 课时分层检测（四） : 因为e1十e与e1十e不共线，所以入≠士1. 基础达标练 创新拓展练 1.ABD 2.ABD 3.C 4.C 5.A 解析(1)若D为AB的中点，则由向量加法的平行四边形法则可 6.4b-3a[由已知得3x+3a+2x-4a-4x十4a一4b=0,所以x十1 得O币=号(OA+OB). 3a-4b=0,所以x=4b-3a.」 7.成-而[=之--本=成=-号A亦 (2)设M在阴影区域内，则射线OM与线段AB有公共点，记为V, 3 则存在实数t∈[0,1]，使得ON=tOA十(1一t)OB,且存在实数r ∴亦-本-=A成-号成] 1,使得OM=rON,从而OM=rtOA十r(1一t)OB,则rt十r(1一t)= r 8.3MA+Mi+M心=0，Mi+Md=-MA,又由Ai+AC= 又0≤1，所以r(1-t)≥0. mAM得(Mi+MC)-2MA-mAM,即-3A=mAM=-mMi, .m=3.] 对于①1=1，r1-0=2,解得r=3,1=号 9.解由题意可知存在实数入使2知十b=入(8a十仙)，即2如十b= 满足r≥1，也满足r(1一)≥0，故①符合条件； 8Aa-lb, 对于@川=子1-0=日解得，是4=品满足≥，也满 解得浅公 2 足(1-)≥0，故②符合条件： (k=2 k=-2. 5 3 ,2ka十b与8a十b的方向相反， 对于③1=21-0=3，解得=61=后，不满足r≥1，故 .k=2不符合题意，舍去，.k=一2 ③不符合条件： 10.解如图，设AB=a,AD=b. ,M,N分别是DC,BC的中点 对于⑩1=兰1-)=合解得7品4=吕不满足≥1，故 ④不符合条件， =,D成i=a. 故符合条件的点为M1,M “在△ADM和△ABN中，+D成i=A, 答案(D之Oi+O(2)M,M AB+BN-AN, 课时分层检测（五） 即 基础达标练 i1.B 2.C 3.D 4.D 5.ACD a+zb-=d.② 6.11[(2a+b)·b=2a·b+b=2a·|b·cos(a,b+b=2× ①x2-②，得b=号(2c-d, 1×3×号+3=11.] ②x2-①.得a=号(2a-0. .号8[a:babm0=12,又b=5ams0=是合 成=号4-号c心=身子4 台即a在b上的投影向量为品a] 能力提升练 8.5[a2-5,a·b=10,a+b=5V2,.a+b12=50,即a2+ 1.D 2.ABD 1b2+2a·b=50,∴.5+b12+20=50,∴b-5(舍负).] 3.3[延长OG交边AB于点M(图略)， 则M为AB边的中点， 19.解(1)由(2a-3b)·(2a十b)=4a-3b-4a·b=4×16-3×9 : 4a·b=61,解得a·b=-6, ∴.0M=2oi+0i .a+b2=a2+b2+2a·b=16+9-12=13,.a+b=13. -(片市+à)六市+六成， (2)设a与a十b的夹角为0， .a·(a+b)=a2+a·b=10, 0 又0Mi=0心。 5 ∴.cos0= ,则a在a十b方向上的投影向量的模为 4×√/132√/13 成=六丽+成， acos0=4X5=103 21313· :P,Q,G三点共线，且OP,O0是不共线的向量， “元+还=1，即方+=3.] :10.解(1)因为(a-b)·(a+b)= 4, 4.证明设BA=a,BC-b,则由向量减法的三角形法则可知： 即a-形=，即a-b=3 4 CM-BM-BC-BA-BC-a-b. 所以b-a:--1-孚-子故- 又：N在BD上且BN=子BD, (2)因为a+2b2=a2+4a·b+4b2=1-1+1=1, 所以a+2b=1. :成=号面=专C+)=子(a+b, 又周为aa+2)=a+2a:b=1-之-号 -丽-成-专a+b)-b 所以cos0=a:(a+2b)1 a·a+2b=2, 又0e[0,],故0=等 282