6.2.3向量的数乘运算 分层作业-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

**基本信息** 《向量的数乘运算》同步练采用A、B分层设计，A层夯实基础运算与共线定理应用，B层深化综合推理与几何情境应用，梯度衔接紧密，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A层|向量数乘运算、共线定理、线性表示|单选/填空/解答题结合，聚焦基础概念与单一知识点应用，如向量线性表示与三点共线证明，培养几何直观与运算能力| |B层|充要条件、三角形四心向量表示、面积关系与最值|综合题型为主，融入几何情境与数学推理，如重心性质证明及取值范围探究，发展推理意识与模型观念|

6.2.3向量的数乘运算 分层作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ A层 1．如图，设，，线段与交于点F，且，则（   ）   A．4 B．3 C． D．5 2．在中，点D在边上，且，设，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，，，则（   ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 4．（多选）下列命题正确的有（    ） A． B． C．若，则共线 D．，则共线 5．如图，在中，，E是CD的中点.设，.则_________. 6．如图，在中，.设. (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线. B层 7．如图，在中，，，若，则（   ） A． B． C． D． 8．设平面向量与不共线，，则“与共线”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．在中，点是的中点，点在上，若，则（    ） A． B． C． D． 10．（多选）设O为所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则正确的（    ） A．O为的外心 B．O为的重心 C．O为的垂心 D．O为的内心 11．在中，为上的一点，满足.若为上的一点，满足，则与的关系为________；的最小值为________. 12．已知中，过重心G的直线交边（不含端点）于P，交边（不含端点）于Q，设的面积为，的面积为，，. （1）求证：. （2）求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《 6.2.3向量的数乘运算 》参考答案 题号 1 2 3 4 7 8 9 10 答案 D C B ABC D C B BCD 1．D 【分析】先计算出，进而得到，利用共线定理的推论得到，得到答案. 【详解】，， 又，故，所以， 因为，，所以， 因为三点共线，所以， 故. 故选：D 2．C 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算求解即得. 【详解】因为点D在边上，且， 所以. 故选：C. 3．B 【分析】利用平面向量共线定理逐项判断即可. 【详解】对于A选项，因为，，故、不一定共线，A错误； 对于B选项，， 故、、三点共线，B正确； 对于C选项，因为，， 所以、不一定共线，C错误； 对于D选项，因为，，则、不一定共线，D错误. 故选：B. 4．ABC 【分析】根据向量的数乘运算判断A，B；由共线向量的定义判断C，D. 【详解】解：对于A，，故正确； 对于B，，故正确； 对于C，因为，所以，所以共线，故正确； 对于D，因为恒成立，所以不一定共线，故错误. 故选：ABC. 5． 【分析】根据题意结合向量的线性运算求解即可，注意比例关系. 【详解】因为，且E是CD的中点， 则， 且，，所以. 故答案为：. 6．(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）由图中线段的位置及数量关系，用表示出，即可得结果； （2）用表示，得到，根据向量共线的结论即证结论. 【详解】（1）由题图，， . （2）由， 又，所以，故三点共线. 7．D 【分析】根据题意，结合向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解. 【详解】在中，， ， 又，，， ， ，. 故选：D. 8．C 【分析】根据共线定理可得，由与不共线，得且，即可结合充要条件的定义求解. 【详解】若与共线，则存在非零实数，使得，即， 由于平面向量与不共线，所以且，故， 因此“与共线”是“”的充要条件， 故选：C 9．B 【分析】由题意，，根据点在上，即可列方程求解. 【详解】由题意点是的中点，所以， 又，所以， 解得， 又因为点在上， 所以，解得或（舍去）. 故选：B. 10．BCD 【分析】由三角形四心的定义，利用正弦定理，向量共线定理和平面几何的知识，即可得出结果. 【详解】A.当O为三角形的外心，由正弦定理可得：，故A错误； B.当O为三角形的重心，O为中线的交点，延长AO交BC于点M，可得，所以. 反之，取BC中点M，若，则，则可得A,O,M三点共线且，即A为三角形的重心.故B正确； C.当O为三角形的垂心，，同理可证，即，反之也成立，故C正确； D. 当O为三角形的内心，O为三角形的角平分线，则，如图过A作CF的平行线交BE的延长线于点N，过A作BE的平行线交CF于点M，则四边形AMON为平行四边形 所以，反之也成立，故D正确； 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：平面向量结合平面几何的知识进行推理是解题的关键.本题考查了理解辨析能力、逻辑推理能力和解决问题能力，属于难题. 11． 【分析】根据平面向量共线定理的推论得到，再由乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】如图所示， 由得，即， 又， 所以，又为上的一点， 所以， 因为，， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：；. 12．（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）设，可得，，利用三点共线可得，即可建立关系求证结论； （2）利用三角形面积公式化简可知，再结合及的取值范围，利用二次函数求最值即可得到结果. 【详解】设，又， ， 三点共线，则存在，使得，即 即 ，整理得，即， 两边同除以得， （2）由， 利用三角形面积公式得： ，则，可知 ， 则当时，取得最小值，当时，取得最小值， 又，故的取值范围为 【点睛】关键点点睛：本题考查向量的线性运算，向量的共线定理，三角形的重心，其中根据向量共线，根据共线基本定理知，存在实数，使得，进而得到的关系式，是解题的关键，考查学的逻辑推理与转化化归能力，属于较难题. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $