课时分层检测(3) 向量的减法运算-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

班级 姓名 得分 课时分层检测（三） 向量的减法运算 基础达标练0 9.如图，已知向量a,b,c, 4…0 求作向量a-b一c. 1.如图，设AB=a,AD=b,BC=c,则DC等于 B A.a-b+c B.b-(a+c) C.a+b+c D.b-a+c 2.在△ABC中，D是BC边上的一点，则AD AC等于 A.CB B.BC c.CD D.DC 3.已知向量a与b反向，则下列等式成立的是 ( A.1a+|b|=|a-b B.al-bl=la-bl C.a+b=a-b D.|a+|b|=|a+b 4.在边长为1的正三角形ABC中，AB-BC 的值为 )1 A.1 B.2 D.5 5.已知0是平面上一点，0A=a,OB=b,0元= c,OD=d,且四边形ABCD为平行四边形， 444444 0 能力提升练。… 则 A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0 1.已知0A=a,OB=b,1OA1=5,1OB1=12, C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0 ∠AOB=90°，则|a-b1= 6.若a等于“向东走8km”,b等于“向北走 A.7 B.17 C.13 D.8 8km”,则|a+b= km,a十b的方2.（多选）对于菱形ABCD,下列各式正确的是 向是 () 7.在矩形ABCD中，|AB|=2,|BC|=4,则 A.AB=BC CB+CA-DCI= B.IABI=BCI 8.如图所示，已知O为平行 四边形ABCD内一点， C.IAB-CDI=IAD+BC OA=a,OB=b,OC=c, D.IAD+CDI=ICD-CB 则OD= .(用 3.在△ABC中，|AB|=IBC1=|CA|=2,则 a,b,c表示) IAB-BCI= 155 班级 姓名 得分 4.如图，已知正方形ABCD的边 …0 创新拓展练 0 长等于1，AB=a,BC=b,AC =c,试作向量a-b十c. 如图，在□ABCD中，AB h a:AD-b. (1)当a,b满足什么条件 时，a+b与a一b所在的直线互相垂直？ (2)a十b与a一b有可能为相等向量吗？为 什么？ 5.如图，已知在矩形ABCD中， |AD1=45,设AB=a,BC= b,BD=c.试求|a十b+c|. 156课时分层检测参芳答案与解析 课时分层检测（一） =4P⑦+(OA+O心)+(OB+Oi) 基础达标练 =4PO+0+0 1.ACD 2.B 3.D 4.ACD 5.ABC =4PO, 6.AC,CA,Bd,DB,AB,BA,DA,AD}[从A,B,C,D四个点中任 .pA+PB+P元+pi=4Pi 选两点为起点和终点组成的向量中，店-D元，BA=CD,Ad=B元，1，AC2.A 能力提升练 DA=CB, *T=(AC.CA,BD,DB,AB.BA,DA.AD).] 3.20120°[如图，OA表示水流方向，OB表示垂直于 7.0[:A,B,C不共线，AB与BC不共线. 对岸横渡的方向，汇表示船实际航行的方向，则O店 =(OC+OA,由题意知BC=OA=10,OB=10 又m与AB,BC都共线，m=0.] 5,所以C1-20,且∠AOC=120°.所以船行驶速 8.解(1)方向相同且模相等的向量为相等向量，故与AF相等的向量！ 度的大小为20km/h,与水流方向所成的角 为BE,CD. 为120°. (②)方向相反且模相等的向量为相反向量，故与AE相反的向量为4.证明AB=A户+PB, EA,DB. AC-AQ+QC,」 (3)与AD的模相等的向量为DA,CF,FC. 所以AB+AC=AP+PB+AQ+QC 9.解以点A为原点建立平面直角坐标系，作出向量AB,BC,C市，DA: 因为PB与QC大小相等，方向相反， 如图所示 所以PB十QC=0, *AB+AC-AP+AQ+0=AP-AQ. :5.解(1)如图，在平面内任取一点0，作OA=a, AB-b,BC-c,CD=d,则OD=a十b+c十d. x(东) (2)在平面内任取一点O,作OA=a,AB=e,则 (南)D a+e=OA-+AB=OB, 因为e为单位向量，所以点B在以点A为圆心的单 由图知，D地在A地的东南方向，D地距A地1000√2km 位圆上（如图所示）， 能力提升练 由图可知当点B在，点B时，O,A,B三点共线，O即 1.ABD 2.BC a十e最大，最大值是3. 3.经[由成-市加四边形ABCD为平行四边形.由A店=成= 课时分层检测（三） BC知四边形ABCD为菱形，△ABD为等边三角形，故∠ABC= 基础达标练 120°，菱形的内切圆圆心O在对角线BD的中点处，令其半径为r,1.A2.C3.A4,D5B 则一合励m60-9所以5==~（停） :6.8√2北偏东45°[设AB=a,BC=b,则AC-a十b,且△ABC为等腰 直角三角形，则AC=8V2km,∠BAC=45°，所以a十b=82km, 4.解(1)AD1=BC1,且AD与BC不平行. a十b的方向是北偏东45°.] 因为A店∥C,所以四边形ABCD为梯形或平行四边形.若四边形7.4后，[在矩形ABCD中，C+C-D心-C+C+C市=2C,所 ABCD为等腰梯形，则AD=BC,同时两向量不平行， 以CB+CA-DC=2CA=4V5.] (2)AD-BC(或AD∥BC). :8.a-b士c[由题感，在平行四边形ABCD中，因为OA=a,O店=b, 若AD=BC,即四边形的一组对边平行且相等，此时四边形ABCD! 所以BA-OA-OB=a-b,所以CD=BA=a-b,所以OD=OC+ 为平行四边形. CD=a-b+c. 5.解(1)向量AD,D心，C3,AB如图所示。 ↑北 19.解法一：先作a-b,再作a-b-c即可. (2)由题意知AD=BC 30° 如图①所示，以A为起，点分别作向量AB和AC,使AB=a,AC=b.连 所以ADLBC, 60° B 接CB,得向量CB=a一b,再以C为起点作向量CD,使CD=c,连接 则四边形ABCD为平行四边形， 30D DB,得向量DB.则向量DB即为所求作的向量a一b一c. 所以AB=DC,则B地相对于A地的位移在 A C 北偏东60°的方向上距A地6千米处. -b 创新拓展练 解(1)画出所有的向量AC,如图所示 (2)由(1)所画的图知， ①当点C位于点C1或C时， BC取得最小值√1十2=√5： 图① 图② ②当点C位于点C:或C时， BC取得最大值√4+5=√4红. 法三：先作-b,一c,再作a十(-b)十(-c),如图②.先作AB=-b 故BC的最大值为√4I,最小值为V. 和BC=一c;再作OA=a,连接OC,得向量(OC,则C-a-b-c. 能力提升练 课时分层检测（二） 1.C 2.BCD 础达标练 i3.2√5[如图，延长CB到点D,使CB=BD,连接 1.AB2.D3.B4.B5.C AD.在△ABD中，AB=BD=2,∠ABD=120°，AB 6.AC AC BC(或AD)[利用三角形法剩和平行四边形法则： -BC-AB+CB-AB+BD=AD.易求得AD= 求解.] 2W5,即AD1=25.所以AB-BC1=2√5.] 8.】[元+C立=市，在菱形4BCD中，∠DAB=50,且店=4.解连热BD,则D正=a-,作向量B正=，连接 7.13[根据公式a十b≤a十b直接计算可得.] DE,∴.DE=DB十BE=a-b+e即为所求（如图）. 1,△ABD为等边三角形，故BD1=1,因此BC+C元-1.] 9.(1)BC+CE+EA-BE+EA=BA. (2)OE+AB+EA=(OE-EA)+AB=0A+AB=OB. (3)AB+FE+DC-AB+BD+DC-AD+DC-AC. : 10.证明：PA+PB+PC+PD -PO+0A+PO+OB+PO+0C+PO+OD =4 PO+(0A+OB+OC+OD) 281 5.解a+b+c=AB+BC+B励=AC+Bi C=号CM,:C与CM共线， 如图，延长BC至E,使CE1=BC|,连 接DE. 又：C与CM有公共点C, 因为CE-B武-AD, C,M,N三点共线. 所以四边形ACD是平行四边形， 5.解(1)证明：因为Bd=BC+Ci=4e十e十8e-9e=12e,-8e= 所以AC=DE, 4(3e-2e)=4AB,所以AB与BD共线. 所以AC+BD=DE+Bi-B正 又AB与BD有公共点B,所以A,B,D三点共线. 所以a+b+c=B配1-2BC1-2AD1=83. (2)因为2e1十e与e1+Ae2共线， 创新拓展练 所以存在实数，使2e1十e=(e十e2). 解(1)AC-AB+AD=a+b,DB=AB-AD=a-b.若a+b与 因为e不共线，所以{：解得=± a一b所在的直线互相垂直，则AC⊥BD.因为当|a=b时，平行四 31=A4, 2 边形ABCD为菱形，此时AC⊥BD,故当a,b满足a-b时，a+b (3)假设e1十e2与e1十e2共线，则存在实数m,使e1十e2= 与a一b所在的直线互相垂直. n(λe1+eg). (2)不可能.因为□ABCD的两对角线不可能平行，所以a十b与a一 b不可能为共线向量，更不可能为相等向量. 因为e1,e不共线，所以{=m, 1入=m, 解得A=士1. 课时分层检测（四） : 因为e1十e与e1十e不共线，所以入≠士1. 基础达标练 创新拓展练 1.ABD 2.ABD 3.C 4.C 5.A 解析(1)若D为AB的中点，则由向量加法的平行四边形法则可 6.4b-3a[由已知得3x+3a+2x-4a-4x十4a一4b=0,所以x十1 得O币=号(OA+OB). 3a-4b=0,所以x=4b-3a.」 7.成-而[=之--本=成=-号A亦 (2)设M在阴影区域内，则射线OM与线段AB有公共点，记为V, 3 则存在实数t∈[0,1]，使得ON=tOA十(1一t)OB,且存在实数r ∴亦-本-=A成-号成] 1,使得OM=rON,从而OM=rtOA十r(1一t)OB,则rt十r(1一t)= r 8.3MA+Mi+M心=0，Mi+Md=-MA,又由Ai+AC= 又0≤1，所以r(1-t)≥0. mAM得(Mi+MC)-2MA-mAM,即-3A=mAM=-mMi, .m=3.] 对于①1=1，r1-0=2,解得r=3,1=号 9.解由题意可知存在实数入使2知十b=入(8a十仙)，即2如十b= 满足r≥1，也满足r(1一)≥0，故①符合条件； 8Aa-lb, 对于@川=子1-0=日解得，是4=品满足≥，也满 解得浅公 2 足(1-)≥0，故②符合条件： (k=2 k=-2. 5 3 ,2ka十b与8a十b的方向相反， 对于③1=21-0=3，解得=61=后，不满足r≥1，故 .k=2不符合题意，舍去，.k=一2 ③不符合条件： 10.解如图，设AB=a,AD=b. ,M,N分别是DC,BC的中点 对于⑩1=兰1-)=合解得7品4=吕不满足≥1，故 ④不符合条件， =,D成i=a. 故符合条件的点为M1,M “在△ADM和△ABN中，+D成i=A, 答案(D之Oi+O(2)M,M AB+BN-AN, 课时分层检测（五） 即 基础达标练 i1.B 2.C 3.D 4.D 5.ACD a+zb-=d.② 6.11[(2a+b)·b=2a·b+b=2a·|b·cos(a,b+b=2× ①x2-②，得b=号(2c-d, 1×3×号+3=11.] ②x2-①.得a=号(2a-0. .号8[a:babm0=12,又b=5ams0=是合 成=号4-号c心=身子4 台即a在b上的投影向量为品a] 能力提升练 8.5[a2-5,a·b=10,a+b=5V2,.a+b12=50,即a2+ 1.D 2.ABD 1b2+2a·b=50,∴.5+b12+20=50,∴b-5(舍负).] 3.3[延长OG交边AB于点M(图略)， 则M为AB边的中点， 19.解(1)由(2a-3b)·(2a十b)=4a-3b-4a·b=4×16-3×9 : 4a·b=61,解得a·b=-6, ∴.0M=2oi+0i .a+b2=a2+b2+2a·b=16+9-12=13,.a+b=13. -(片市+à)六市+六成， (2)设a与a十b的夹角为0， .a·(a+b)=a2+a·b=10, 0 又0Mi=0心。 5 ∴.cos0= ,则a在a十b方向上的投影向量的模为 4×√/132√/13 成=六丽+成， acos0=4X5=103 21313· :P,Q,G三点共线，且OP,O0是不共线的向量， “元+还=1，即方+=3.] :10.解(1)因为(a-b)·(a+b)= 4, 4.证明设BA=a,BC-b,则由向量减法的三角形法则可知： 即a-形=，即a-b=3 4 CM-BM-BC-BA-BC-a-b. 所以b-a:--1-孚-子故- 又：N在BD上且BN=子BD, (2)因为a+2b2=a2+4a·b+4b2=1-1+1=1, 所以a+2b=1. :成=号面=专C+)=子(a+b, 又周为aa+2)=a+2a:b=1-之-号 -丽-成-专a+b)-b 所以cos0=a:(a+2b)1 a·a+2b=2, 又0e[0,],故0=等 282