课时分层检测(2) 向量的加法运算-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

班级 姓名 课时分层检测（二） 9 …0 基础达标练 0… 1.(多选)对于任意一个四边形ABCD,下列式 子能化简为BC的是 A.BA+AD+DC B.BD+DA+AC C.AB+BD+DC D.CD+AB+DA 2.在四边形ABCD中，AB十AD=AC,则四边 形ABCD是 ( ) A.梯形 B.矩形 C.正方形 D.平行四边形 3.若向量a表示“向东航行1km”,向量b表示 “向北航行√3km”,则向量a十b表示( A.向东北方向航行2km B.向北偏东30°方向航行2km C.向北偏东60°方向航行2km D.向东北方向航行(1十√3)km 4.如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC,对角 线AC与BD相交于点O,则OA十BC+AB +DO- A.CD B.DC C.DA D.DO 5.若非零不共线向量a,b满足|a十b=|b|,则 ( ) A.2a>2a+b B.|2a<|2a+b C.2b|>a+2b D.2b<|a+2b 6.如图，在平行四边形ABCD 中，AD+AB= AD+DC= AC+ BA- 7.如果AB=8,BC|=5,那么|AC|的最大 值为 8.在菱形ABCD中，∠DAB=60°，|AB=1, 则IBC+CD1= 153 得分 向量的加法运算 如图所示，在△ABC中，O 为重心，D,E,F分别是 BC,AC,AB的中点，化简 下列各式： (1)BC+CE+EA; (2)OE+AB+EA: (3)AB+FE+DC. 班级 姓名 得分 10.如图，平行四边形AB 4.如图，P,Q是△ABC的边 CD中，对角线AC与 BC上两点，且BP=QC.求 BD交于O点，P为平面 证：AB+AC=AP+AO 内任意一点 求证：PA+PB+PC+PD=4PO, 5.如图，已知向量a,b,c,d. (1)求作a+b+c+d; (2)设|a=2,e为单位向 量，求a十e的最大值. …0 能力提升练0… 1.(多选)若a=(AB十CD)十(BC十DA),b是 任一非零向量，则在下列结论正确的是 ( A.a∥b B.a+b-a C.a+b=b D.la+bl<lal+b 2.已知向量a∥b,且|a>|b|>0,则向量a十b 的方向 ( A.与向量a的方向相同 B.与向量a的方向相反 C.与向量b的方向相同 ! D.不确定 3.在水流速度为10km/h的河中，要使船以： 10√5km/h的速度与河岸成直角横渡，则船： 行驶速度的大小为 km/h,与水流方 向所成的角为 154课时分层检测参芳答案与解析 课时分层检测（一） =4P⑦+(OA+O心)+(OB+Oi) 基础达标练 =4PO+0+0 1.ACD 2.B 3.D 4.ACD 5.ABC =4PO, 6.AC,CA,Bd,DB,AB,BA,DA,AD}[从A,B,C,D四个点中任 .pA+PB+P元+pi=4Pi 选两点为起点和终点组成的向量中，店-D元，BA=CD,Ad=B元，1，AC2.A 能力提升练 DA=CB, *T=(AC.CA,BD,DB,AB.BA,DA.AD).] 3.20120°[如图，OA表示水流方向，OB表示垂直于 7.0[:A,B,C不共线，AB与BC不共线. 对岸横渡的方向，汇表示船实际航行的方向，则O店 =(OC+OA,由题意知BC=OA=10,OB=10 又m与AB,BC都共线，m=0.] 5,所以C1-20,且∠AOC=120°.所以船行驶速 8.解(1)方向相同且模相等的向量为相等向量，故与AF相等的向量！ 度的大小为20km/h,与水流方向所成的角 为BE,CD. 为120°. (②)方向相反且模相等的向量为相反向量，故与AE相反的向量为4.证明AB=A户+PB, EA,DB. AC-AQ+QC,」 (3)与AD的模相等的向量为DA,CF,FC. 所以AB+AC=AP+PB+AQ+QC 9.解以点A为原点建立平面直角坐标系，作出向量AB,BC,C市，DA: 因为PB与QC大小相等，方向相反， 如图所示 所以PB十QC=0, *AB+AC-AP+AQ+0=AP-AQ. :5.解(1)如图，在平面内任取一点0，作OA=a, AB-b,BC-c,CD=d,则OD=a十b+c十d. x(东) (2)在平面内任取一点O,作OA=a,AB=e,则 (南)D a+e=OA-+AB=OB, 因为e为单位向量，所以点B在以点A为圆心的单 由图知，D地在A地的东南方向，D地距A地1000√2km 位圆上（如图所示）， 能力提升练 由图可知当点B在，点B时，O,A,B三点共线，O即 1.ABD 2.BC a十e最大，最大值是3. 3.经[由成-市加四边形ABCD为平行四边形.由A店=成= 课时分层检测（三） BC知四边形ABCD为菱形，△ABD为等边三角形，故∠ABC= 基础达标练 120°，菱形的内切圆圆心O在对角线BD的中点处，令其半径为r,1.A2.C3.A4,D5B 则一合励m60-9所以5==~（停） :6.8√2北偏东45°[设AB=a,BC=b,则AC-a十b,且△ABC为等腰 直角三角形，则AC=8V2km,∠BAC=45°，所以a十b=82km, 4.解(1)AD1=BC1,且AD与BC不平行. a十b的方向是北偏东45°.] 因为A店∥C,所以四边形ABCD为梯形或平行四边形.若四边形7.4后，[在矩形ABCD中，C+C-D心-C+C+C市=2C,所 ABCD为等腰梯形，则AD=BC,同时两向量不平行， 以CB+CA-DC=2CA=4V5.] (2)AD-BC(或AD∥BC). :8.a-b士c[由题感，在平行四边形ABCD中，因为OA=a,O店=b, 若AD=BC,即四边形的一组对边平行且相等，此时四边形ABCD! 所以BA-OA-OB=a-b,所以CD=BA=a-b,所以OD=OC+ 为平行四边形. CD=a-b+c. 5.解(1)向量AD,D心，C3,AB如图所示。 ↑北 19.解法一：先作a-b,再作a-b-c即可. (2)由题意知AD=BC 30° 如图①所示，以A为起，点分别作向量AB和AC,使AB=a,AC=b.连 所以ADLBC, 60° B 接CB,得向量CB=a一b,再以C为起点作向量CD,使CD=c,连接 则四边形ABCD为平行四边形， 30D DB,得向量DB.则向量DB即为所求作的向量a一b一c. 所以AB=DC,则B地相对于A地的位移在 A C 北偏东60°的方向上距A地6千米处. -b 创新拓展练 解(1)画出所有的向量AC,如图所示 (2)由(1)所画的图知， ①当点C位于点C1或C时， BC取得最小值√1十2=√5： 图① 图② ②当点C位于点C:或C时， BC取得最大值√4+5=√4红. 法三：先作-b,一c,再作a十(-b)十(-c),如图②.先作AB=-b 故BC的最大值为√4I,最小值为V. 和BC=一c;再作OA=a,连接OC,得向量(OC,则C-a-b-c. 能力提升练 课时分层检测（二） 1.C 2.BCD 础达标练 i3.2√5[如图，延长CB到点D,使CB=BD,连接 1.AB2.D3.B4.B5.C AD.在△ABD中，AB=BD=2,∠ABD=120°，AB 6.AC AC BC(或AD)[利用三角形法剩和平行四边形法则： -BC-AB+CB-AB+BD=AD.易求得AD= 求解.] 2W5,即AD1=25.所以AB-BC1=2√5.] 8.】[元+C立=市，在菱形4BCD中，∠DAB=50,且店=4.解连热BD,则D正=a-,作向量B正=，连接 7.13[根据公式a十b≤a十b直接计算可得.] DE,∴.DE=DB十BE=a-b+e即为所求（如图）. 1,△ABD为等边三角形，故BD1=1,因此BC+C元-1.] 9.(1)BC+CE+EA-BE+EA=BA. (2)OE+AB+EA=(OE-EA)+AB=0A+AB=OB. (3)AB+FE+DC-AB+BD+DC-AD+DC-AC. : 10.证明：PA+PB+PC+PD -PO+0A+PO+OB+PO+0C+PO+OD =4 PO+(0A+OB+OC+OD) 281