专练：平面向量中的最值（范围）问题-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专练：平面向量中的最值（范围）问题-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： 基础过关练 一、单项选择题 1．已知向量m＝(a－1，1)，n＝(2－b，2)(a>0，b>0)，若m∥n，则m·n的取值范围是 （ ） A．[2，＋∞)　B．(0，＋∞)　C．[2，4)　D．(2，4) 2．已知点A(4，3)和B(1，2)，O为坐标原点，则|＋t|(t∈R)的最小值为 （ ） A．5 B．5 C．3 D． 3．在△ABC中，点D在BC上，且满足|BD|＝|BC|，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足＝x＋y，则＋的最小值为 （ ） A．2 B．4 C．4＋2 D．9＋4 4．在边长为1的正方形ABCD中，M为边BC的中点，点E在线段AB上运动，则·的取值范围是 （ ） A． B． C． D．[0，1] 5．已知向量a，b满足a＝(t，2－t)，|b|＝1，且(a－b)⊥b，则a，b夹角θ的最小值为 （ ） A． B． C． D． 二、多项选择题 6．如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，M为线段AD上的动点，＝λ＋μ，则下列结论正确的是 （ ） A.当M为线段AD的中点时，λ＋μ＝ B．λμ的最大值为 C．μ的取值范围为[0，1] D．λ＋μ的取值范围为 7．一折扇平面图为如图所示的扇形COD，其中∠COD＝，OC＝4OA＝4，动点P在弧CD上(含端点)，连接OP交扇形OAB的弧AB于点Q，且＝x＋y，则下列说法正确的是 （ ） A．若y＝x，则x＋y＝1 B．若y＝2x，则·＝0 C．·≥－2 D．·≥ 三、填空题 8．已知△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB边上任意一点，则·(－)的最大值为________． 9．已知|a＋b|＝2，向量a，b的夹角为，则|a|＋|b|的最大值为________． 四、解答题 10．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·(a＋b)＝2.求|a－λb|的最小值． 11．在△ABC中，AB＝2，AC＝2，∠BAC＝45°，P为线段AC上任意一点，求·的取值范围． 能力提升练 12．如图，延长线段AB到点C，使得＝2，点D在线段BC上运动，点O∉直线AB，满足＝λ＋μ，则λμ的取值范围是 （ ） A． B． C． D．[－1，1] 13．在△ABC中，·(－4)＝0，则cos A的最小值为________． 14．已知向量a＝，b＝(cos ，－sin )，x∈. （1）求a·b及|a＋b|； （2）若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值． 专练：平面向量中的最值（范围）问题-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册 姓名： 班级： 学号： 得分： 基础过关练 一、单项选择题 1．已知向量m＝(a－1，1)，n＝(2－b，2)(a>0，b>0)，若m∥n，则m·n的取值范围是 （ ） A．[2，＋∞)　B．(0，＋∞)　C．[2，4)　D．(2，4) 解析：因为m∥n，所以2a－2＝2－b，所以2a＋b＝4，所以b＝4－2a>0，所以0<a<2，所以m·n＝2a＋b－ab＝4－ab＝4－a(4－2a)＝2a2－4a＋4＝2(a－1)2＋2∈[2，4). 答案：C 2．已知点A(4，3)和B(1，2)，O为坐标原点，则|＋t|(t∈R)的最小值为 （ ） A．5 B．5 C．3 D． 解析：由题意可得＝(4，3)，＝(1，2)，则|＋t|＝|(4，3)＋t(1，2)|＝|(4＋t，3＋2t)|＝＝＝，结合二次函数的性质可得，当t＝－2时，|＋t|min＝. 答案：D 3．在△ABC中，点D在BC上，且满足|BD|＝|BC|，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足＝x＋y，则＋的最小值为 （ ） A．2 B．4 C．4＋2 D．9＋4 解析：因为|BD|＝|BC|，＝x＋y，所以＝x＋4y.由A，E，D三点共线可得x＋4y＝1，且x>0，y>0.所以＋＝(x＋4y)＝9＋＋≥9＋2＝9＋4，当且仅当x＝y且x＋4y＝1，即时取等号． 答案：D 4．在边长为1的正方形ABCD中，M为边BC的中点，点E在线段AB上运动，则·的取值范围是 （ ） A． B． C． D．[0，1] 解析： 将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E(x，0)，0≤x≤1.则M，C(1，1)，所以＝，＝(1－x，1)，所以·＝(1－x，1)·＝(1－x)2＋.因为0≤x≤1，所以≤(1－x)2＋≤，即·的取值范围是. 答案：C 5．已知向量a，b满足a＝(t，2－t)，|b|＝1，且(a－b)⊥b，则a，b夹角θ的最小值为 （ ） A． B． C． D． 解析：因为(a－b)⊥b，所以(a－b)·b＝0，a·b＝b2，cos θ＝＝＝＝＝，又因为2t2－4t＋8＝2[(t－)2＋2]≥2[(－)2＋2]＝4，所以0<cos θ≤，所以θ的最小值为. 答案：C 二、多项选择题 6．如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，M为线段AD上的动点，＝λ＋μ，则下列结论正确的是 （ ） A.当M为线段AD的中点时，λ＋μ＝ B．λμ的最大值为 C．μ的取值范围为[0，1] D．λ＋μ的取值范围为 解析：以B为原点，，为x，y轴正方向建立平面直角坐标系，设BC＝2，则B(0，0)，E(0，1)，D(2，2)，设M(t，2)，则0≤t≤2，因为＝λ＋μ，所以(t，2)＝λ(0，1)＋μ(2，2)＝(2μ，λ＋2μ)，所以2μ＝t，λ＋2μ＝2，即λ＝2－t，μ＝.对于选项A，因为M为线段AD的中点，所以t＝1，故λ＋μ＝2－＝，正确；对于选项B，λμ＝(2－t)＝t－t2，0≤t≤2，当t＝1时，λμ取最大值为，正确；对于选项C，因为μ＝，0≤t≤2，所以0≤μ≤1，μ的取值范围为[0，1]，正确；对于选项D，λ＋μ＝2－，0≤t≤2，所以1≤λ＋μ≤2，所以λ＋μ的取值范围为[1，2]，错误．故选ABC. 答案：ABC 7．一折扇平面图为如图所示的扇形COD，其中∠COD＝，OC＝4OA＝4，动点P在弧CD上(含端点)，连接OP交扇形OAB的弧AB于点Q，且＝x＋y，则下列说法正确的是 （ ） A．若y＝x，则x＋y＝1 B．若y＝2x，则·＝0 C．·≥－2 D．·≥ 解析：如图，作OE⊥OC，分别以OC，OE所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，则 A(1，0)，C(4，0)，B，D(－2，2)，设∠COP＝θ，则Q(cos θ，sin θ)，θ∈，则P(4cos θ，4sin θ)，由＝x＋y，可得cos θ＝4x－2y，sin θ＝2y，且x>0，y>0，若y＝x，则cos2θ＋sin2θ＝(4x－2y)2＋(2y)2＝1，解得x＝y＝(负值舍去)，x＋y＝，故A错误；若y＝2x，则cosθ＝4x－2y＝0，θ＝，·＝0，故B正确；·＝·(4cos θ，4sin θ)＝－6cos θ＋2sin θ＝4sin ，由于θ∈，故θ－∈，故－6≤4sin ≤6，即－6≤·≤6，故C错误；由于＝(1－4cos θ，－4sin θ)，＝(－－4cos θ，－4sin θ)，·＝(1－4cos θ)×＋(－4sin θ)×＝－2cos θ－2sin θ＝－4sin ，而θ＋∈，所以sin ∈，所以·＝－4sin ≥－4＝，故D正确． 答案：BD 三、填空题 8．已知△ABC的三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为AB边上任意一点，则·(－)的最大值为________． 解析： 由AC＝3，BC＝4，AB＝5，得AB2＝AC2＋BC2，∴AC⊥BC，以C为坐标原点，CB，CA所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图，∴A(0，3)，B(4，0)，C(0，0)，∴＝(4，－3)，设＝λ(λ∈[0，1])，则＝＋＝＋λ＝(0，3)＋(4λ，－3λ)＝(4λ，3－3λ)，λ∈[0，1]，∴·(－)＝·＝(4λ，3－3λ)·(0，3)＝9－9λ∈[0，9]，∴·(－)的最大值为9. 答案：9 9．已知|a＋b|＝2，向量a，b的夹角为，则|a|＋|b|的最大值为________． 解析：将|a＋b|＝2两边平方并化简得(|a|＋|b|)2－|a||b|＝4，由基本不等式得|a||b|≤＝，故(|a|＋|b|)2≤4，即(|a|＋|b|)2≤，即|a|＋|b|≤，当且仅当|a|＝|b|＝时，等号成立，所以|a|＋|b|的最大值为. 答案： 四、解答题 10．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·(a＋b)＝2.求|a－λb|的最小值． 解：由|a|＝1，a·(a＋b)＝2，可知a·b＝1， 根据向量求模公式得|a－λb| ＝ ＝＝， 易知，当λ＝时，|a－λb|取得最小值. 11．在△ABC中，AB＝2，AC＝2，∠BAC＝45°，P为线段AC上任意一点，求·的取值范围． 解：设＝t(0≤t≤1)， 则＝(1－t)， 因为＝－＝－(1－t)， 所以·＝[－(1－t)]·t ＝t·－t(1－t)2 ＝2×2t·cos 45°－t(1－t)×(2)2 ＝8t2－4t＝8－. 因为0≤t≤1，所以－≤·≤4， 所以·的取值范围为. 能力提升练 12．如图，延长线段AB到点C，使得＝2，点D在线段BC上运动，点O∉直线AB，满足＝λ＋μ，则λμ的取值范围是 （ ） A． B． C． D．[－1，1] 解析：不妨设AB＝2BC＝2，BD＝x，x∈[0，1]，由平面向量三点共线可知，＝＋，∴＝－，∴λ＝－，μ＝，x∈[0，1]，则λμ＝－＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋，x∈[0，1]，∴λμ∈. 答案：C 13．在△ABC中，·(－4)＝0，则cos A的最小值为________． 解析：在△ABC中，＝－，所以·(－4)＝(－)·(－4)＝－4||2－||2＋5·＝－4||2－||2＋5||·||cos A＝0，在△ABC中，设||＝b，||＝c，则有－4b2－c2＋5bc cos A＝0，所以cos A＝≥＝，当且仅当2b＝c时，等号成立． 答案： 14．已知向量a＝，b＝(cos ，－sin )，x∈. （1）求a·b及|a＋b|； （2）若f(x)＝a·b－2λ|a＋b|的最小值是－，求λ的值． 解：（1）a·b＝cos cos －sin sin ＝cos 2x， |a＋b|＝ ＝ ＝＝2， 因为x∈，所以cosx≥0， 所以|a＋b|＝2cos x. （2）由（1）可得f(x)＝a·b－2λ|a＋b| ＝cos 2x－4λcos x，即f(x)＝2cos2x－1－4λcosx ＝2(cos x－λ)2－1－2λ2. 因为x∈，所以0≤cos x≤1. ①当λ<0时，当且仅当cos x＝0时，f(x)取得最小值－1，这与已知矛盾； ②当0≤λ≤1时，当且仅当cos x＝λ时，f(x)取得最小值－1－2λ2， 由已知得－1－2λ2＝－，解得λ＝； ③当λ>1时，当且仅当cos x＝1时，f(x)取得最小值1－4λ， 由已知得1－4λ＝－，解得λ＝， 这与λ>1相矛盾．综上所述，λ＝. 学科网（北京）股份有限公司 $