9.1.2&9.1.3 分层随机抽样获取数据的途径-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

对点训练 9.1.2&9.1.3分层随机抽样获取数据的途径 1.B [A总体容量较大，样本容量也较大，不适宜用抽签法；B总体容！必备知识·自主梳理 量较小，样本容量也较小，可用抽签法：C中甲、乙两厂生产的两箱！（一）1，属于且仅属于简单随机分层随机抽样层2.比例分配 产品有明显区别，不能用抽签法：D总体容量较大，不适宜用抽 签法.门 3.m+ n十n 2.解①将50个加油站编号，号码分别是1,2，…，50： :即时小练 n ②将号码分别写在外观、质地等无差别的小纸片（也可以是卡片，小！1.(1）√(2)×(3)√(4)√ 球等)上作为号签； :2.40[专业的学生有1200-380-420=400（名），由分层随机抽样 ③将小纸片放入一个不透明的盒里，充分搅拌 ④从盒中不放回地逐个抽取25个号签，并记录上面的编号： 原理，应抽取120×20。-40（名）.] ⑤与号签上编号相同的加油站就是要检验的对象： :(二)通过调查获取数据通过试验获取数据通过观察获取数据 题点三 通过查询获得数据 典例解(1)第一步，将500袋牛奶编号为001,002，，500. 即时小练 第二步，用随机数工具产生1~一500范图内的随机数. 1.A[某乡镇的贫困人口数据属于有限总体问题，所以可以通过调查 第三步，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的袋装牛： 获取数据， 奶进入样本 2.D「某种特效中成药的配方的数据一殷通过试验获取，门 第四步，重复上述过程，直到产生10个不同编号等于样本所需要的：关键能力·合作探究 数量 题点一 (2)应抽取的袋装牛奶的编号为：162,277,354,384,263,491,175，：典例解析(1)总体由差异明显的三部分构成，应选用分层随机 331,455,068. 抽样」 对点训练 (2)为了保证每个个体等可能的被抽取，分层随机抽样时必须在所 1.B[生成的随机数中落在编号01,02，·，39,40内的有06,35,02， 有层都按同一抽样比等可能抽取 35(重复)，32,14.故第5个编号为14.] 答案(1)D(2)C 2.解(1)总体中个体数较大，用随机数法. 对点训练 第一步，给元件编号为001,002,003，·，099,100，·，600； D[按照分层随机抽样的特点，每个个体被抽到的可能性是相 第二步，用随机数工具产生1一600范国内的整数随机数，把产生的： 等的.] 随机数作为抽中的编号，使与编号对应的电子元件进入样本： 题点二 第三步，依次操作，如果生成的随机数有重复，则剔除并重新产生随！典例解①由于该市高中学生的视力有差异，按3个区分成三层， 机数，直到样本量达到6； 用分层随机抽样法抽取样本. 第四步，以上这6个号码对应的元件就是要抽取的对象， ②确定每层抽取的个体数，在3个区分别抽取的学生人数之比也是 (2)总体中个体数较小，用抽签法 2:3:5,所以抽取的学生人数分别是 第一步，将30个篮球，编号为1,2，…，30： 200×2+3+5=40:200×2+3+5=60: 第二步，将以上30个编号分别写在外观、质地等无差别的小纸条！ 5 上，揉成小球状，制成号签； 200×2+3+5=100. 第三步，把号签放入一个不透明的盒子中，充分搅拌： 第四步，从盒子中不放回地逐个抽取3个号签，并记录上面的号码； ③在各层分别按简单随机抽样抽取样本 ④综合每层抽样，组成容量为200的样本 第五步，找出和所得号码对应的篮球 题点四 !对点训练 解用分层随机抽样来抽取样本，步骤如下： 典例解(1)该公司职工月工资的平均数 (1)分层，按年龄将500名职工分成三层：不到35岁的职工：35岁至 I=1500+33×(400+3500+2000X2+150+1000X5+50× 49岁的职工：50岁及50岁以上的职工. 3+0×20) (2)确定每层抽取个体的个数，抽样比为=行 ≈1500+591=2091（元）， (2)平均数是1=1500+33 则在不到35岁的职工中抽取125X号=25（人）： ×(28500+18500+2000×2+1500+ 1000×5+500×3+0X20) 在35岁至49岁的取工中抽取280× -=56(人)： ≈1500+1788=3288（元）. (3)在这个问题中，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资 在50岁及50岁以上的取工中抽取95×号=19（人）. 颜差别较大，这样导致平均数偏差较大，所以平均数不能反映这个！ (3)在各层分别按简单随机抽样抽取样本. 公司员工的工资水平： (4)汇总每层抽样，组成样本. 对点训练 !题点三 1.030[之(x十y)=之x十之y=(-1+0+1)+(-2+0+2)典例gB.23426001)因为甲社区有驾驶员96人，并 =1 =1 =11 且在甲社区抽取的驾驶员的人数为12，所以抽取驾驶员的抽样比为 =0,2xy:=2+0+2+8+18=30.] 12 ，所以高骏员的总人最为(12+21+25+43)÷=808. 1 =1 96 (2)初中部人数为60X850 650 2.7[抽取的100位学生答对题目的平均数是100(5X10+6X30+ ×1500-34,高中部人数为60X1500=26,学 7×30+8×15+9×10+10×5)=7,因此在这次知识竞赛中这所学 校的每位学生答对的题数大约为7.] 乎均视力为X1,0叶8X0.8≈0.91，所以在初中廊，高中 素养演练·提升技能 抽34,26人，学校平均视力约为0.91.] ·对点训练 1.A[设所求平均数为x,则x=100(1×20+2X10十3×40+4× 310 10+5×20)=3.] 解(1)分配比例为72001800-120m一10，所以在高中生， 2.B[该地区的植物覆盖面积的平均数估计值为5 60. =4公顷，所以该 初中生、小学生中分别抽取7200×100=72（人），11800×100 地区的植物覆盖面积估计值为150×4一600，这种野生动物数量的 18(人)，12000×100120（人）.总样本量为310的学生的近视率 估计值为5×150=12000.] 为品×80%十器×70%+器×36%≈50%.在比例分配的分层 3.C[设参加游戏的小孩有x人，则立=乃江=驷，放选C] 71 随机抽样中，我们直接用样本平均数估计总体平均数，所以可以估 计该地区全体中小学生的近视率为59%. 8[在每一次抽样中，每个个体被抽到的概率都为是=名，所以 n=8.] (2)抽取的样本的近视率是品×80%十器×70%-器×36%≈ 5.3600「平均每条鱼的质量为 55%.用各层的样本平均数估计该层的总体平均数，由总体量为 20×1.6+10×2.2+10×1.8=1.8(kg). ·7200+11800+12000=31000,得总体平均数为00X80%十 20+10+10 因为成活的鱼的总数约为2500×80%=2000（条）， 所以总质量约是2000×1.8=3600(kg).] 量8器×70%+08×36%≈59%，即孩地区会体中小学生的近 视率约为59%. 270 题点四 ⑤绘制颜率分布直方图如图， 典例解析“中国天眼”主要是通过观察获取数据。 答案 10顿率/组 对点训练 D「由于该市获取数据的质量会参差不齐，要想获得有价值的数： 据，必须裉据实际问题对数据进行“清洗”，去伪存真，获取有效数 据.故选D.] 素养演练·提升技能 1.D「易知(3500+4500+2000)×2%=200，即样本容量为200：抽· 取的高中生人数为2000×2%=40，由于其近视率为50%，所以近1 03.954.254554,855.155.455.756.056.356656.957257.55穗长/cm 从表中看到，样本数据落在5.75一6.35之间的颜率是0.28十0.13= 视的人数为40×50%=20.] 0.41,于是可以估计，在这块试验田里长度在5.75~6.35cm之间的麦 9 2.C[根据题意 n-1 了，解得n=28.故在整个抽样过程中每个个 穗约占41%. 体技抽到的瓶率为只-品] 对点训练 解(1)颜率分布表如下】 3 3.B[依题意得3-3十7Xn=18,解得n=90,即样本容量为90.] 成绩分组 颜数 颜率 颜率/组距 4,6[因为“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的亭，所以“剪纸”社 [40,50) 2 0.04 0.004 国的人占两个生国多人数的子所以国装社国防人载为即X子 50,60) 3 0.06 0.006 [60,70) 10 0.2 0.02 =320.易知“剪纸”社团中高二年级人数所占比例为十yT y [70,80) 15 0.3 0.03 3 3 32=,所以“剪纸”社团中高三年级人数为320X0=96. [80,90) 12 0.24 0.024 50 由题意知，抽样比为百，所以从高二年级“剪纸”社团中抽取 [90,100] 8 0.16 0.016 的人数为96X6 =6.] 合计 50 1.00 0.1 5.ACD「依题意由分层随机抽样可知，100÷(560+350十180)= (2)颜率分布直方图如图所示 品则甲庄付品×560=51品（线）：乙应付品×350=2品 1 ·频率 组距 (线)：丙应付品×180=16品（线）.】 0.030 9.2.1总体取值规律的估计 0.024 0.020 必备知识·自主梳理 0.016 (一)最大值与最小值左闭右开 频率 0019 组距 08 即时小练 405060708090100成绩1分 1.0.522.30 (二)比例频数和频率时间 (3)学生成绩在「60,90)分的颜率为0.2十0.3十0.24=0.74=74%， 即时小练 所以估计成绩在[60,90)分的学生比例为74% 1.D2.0.1 题点二 关键能力·合作探究 典例解析(1)样本中平均气温低于22.5℃的城市的颜率为0.10× 1十0.12×1-0.22，则样本中的城市总个数为11÷0.22-50：样本中 题点一 典例解①计算极差：7.4一4.0=3.4. 平均气温不低于25.5℃的城市的颜率为0.18×1=0.18，则样本中 ②决定组距与组数： 平均气温不低于25.5℃的城市个数为50×0.18=9. 若取组距为0.3，因为3 (2)因为颜率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，所以10× 0.3 ≈11.3，需分为12组，组数合适，所以取组1 (0.005十0.035十a十0.020十0.010)=1，解得a=0.030.由图可知 距为0.3，组数为12. 身高在120,150]内的学生人数为100×10×(0.030十0.020+ ③决定分点 0.010)一60，其中身高在[140,150]内的学生人数为100×10× 使分点比数据多一位小数，并且使第一组的左端点略小于数据中的 0.010=10,所以从身高在[140,150]内的学生中选取的人数为 最小值，最后一组的右端，点略大于数据中的最大值.故所分的12个 8 组可以是[3.95,4.25)，[4.25,4.55)，L4.55,4.85),,[7.25, 66×10=3. 7.55. 答案(1)9(2)0.0303 ④列颜率分布表： 对点训练 解(1)依题意得，10×(2a十0.02+0.03+0.04)=1，解得a=0.005. 分组 频数 颜率 (2)数学成绮在「厂50,60)之间的人数为100×0.05=5， [3.95,4.25) 1 0.01 数学成绩在[60,70)之间的人数为100×0.4×号=20， [4.25,4.55) 1 0.01 数学成绪在[70,80)之间的人数为10×0.3×号=40， [4.55,4.85) 2 0.02 5 数学成绩在[80,90)之间的人数为100×0.2×号=25， 4.85,5.15) 5 0.05 所以数学成绩在[50,90)之外的人数为100-5-20-40-25=10. 题点三 「5.15,5.45) 11 0.11 典例解析由条形统计图知，自行乘车上学的有42人，家人接送上 [5.45,5.75) 15 0.15 学的有30人，其他方式上学的有18人，采用B,C,D三种方式上学 的共90人，设结伴步行上学的有x人，由扇形统计图知，结伴步行 5.75,6.05) 28 0.28 上学与自行秦本上学的学生占60%，所以号-品解释=30， [6.05,6.35) 13 0.13 故条形统计图中A和C一样高，故B正确.扇形统计图中A的占比 与C一样，都为25%，A和C共占50%，故C错误，D正确.D的占 [6.35,6.65) 11 0.11 比最小，故A正确. 答案ABD [6.65,6.95) 10 0.10 对点训练」 [6.95,7.25) 2 0.02 :1.ABD[芯片、软件行业从业者中“90后”占总人数的55%，故A正 确：芯片、软件行业中从事技术、设计岗位的“90后”占总人数的 [7.25,7.55] 0.01 (37%十13%)X55%=27.5%,故B正确：芯片、软件行业中从事技 术岗位的“90后”占总人数的37%×55%=20.35%，“80后”占总人 合计 100 1.00 数的40%，但从事技术岗位的“80后”占总人数的百分比不知道，无 法确定二者人数多少，故C错误；芯片、软件行业中从事市场岗位的 271数学必修第二册 5.小玲家的鱼塘里养了2500条鲢鱼，按经验，鲢鱼 第二次捕捞 的成活率约为80%.现准备打捞出售，为了估计 0 2.2 鱼塘中鲢鱼的总质量（单位：kg),从鱼塘中捕捞 第三次捕捞 10 1.8 了3次进行统计，得到的数据如下表： 鱼的条数 平均每条鱼的质量 那么，鱼塘中鲢鱼的总质量约是 kg. 第一次捕捞 20 1.6 温馨提示 请做课时分层检测（三十三） 9.1.2&9.1.3 分层随机抽样 获取数据的途径 明学习目标 知结构体系 1,通过实例，了解分层随机抽样的特点和适用范围. 课标 2.了解分层随机抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法， 要求 3.结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值. 分层随机抽样 样本平均数的计算 4.知道获取数据的基本途径，包括统计报表和年鉴、社会调查、试验设 计、普查和抽样、互联网等】 估 1.在分层随机抽样的实施过程中，掌握分层随机抽样的抽样步骤，发 骤 总体平均数 素养 展数学抽象和数据分析素养。 要求 2.在了解获取数据的途径过程中，发展数据分析与数学建模核心 素养 必备知识·自主梳理 预习新知，夯实基础 (一)分层随机抽样 (3)在个体之间差异较大的情形下，分层随机抽 1.分层随机抽样的定义 样的效果一般会好于简单随机抽样.() 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个： (4)分层随机抽样除了能得到总体的估计外，还 子总体，每个个体 一个子总 能得到每层的估计. ( 体，在每个子总体中独立地进行 2.某学院的A,B,C三个专业共有1200名学生，为 抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一 了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层随 起作为总样本，这样的抽样方法称为 机抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知 每一个子总体称为 该学院的A专业有380名学生，B专业有420名 2.比例分配 学生，则在该学院的C专业应抽取 名 在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成： 学生 比例，那么称这种样本量的分配方式为 (二)获取数据的途径 3.分层随机抽样中的平均数 获取数据的基本途径有 在分层随机抽样中，以层数是2层为例，如果第1： 等 层和第2层包含的个体数分别为M和N,抽取 的样本量分别为m和n,样本平均数分别为x,y, 即时小练 总体的样本平均数为@，则@= M十入工十1.要得到某乡镇的贫困人口数据，应采取的方法是 M N M+N- 我们可以用样本 A.通过调查获取数据 平均数估计总体平均数W。 B.通过试验获取数据 C.通过观察获取数据 即时小练 D.通过查询获得数据 1.判断正误 2.哪些数据一般是通过试验获取的 (1)简单随机抽样和分层随机抽样都是等可能抽 A.2023年济南市的降雨量 样. B.2023年新生儿人口数量 (2)比例分配的分层随机抽样中，每个个体被抽 C.某学校高一年级同学的数学测试成绩 到的可能性与层数及分层有关. ) D.某种特效中成药的配方 108 第九章统计 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 所有学生中抽取一个容量为200的样本，调查该 题点一对分层随机抽样概念的理解 市高中学生的视力情况.试写出抽样过程. [典例](1)某政府机关在编人员共100人，其中 副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20： 人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的 意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适； ) A.抽签法 B.随机数法 C.简单随机抽样 D.分层随机抽样 (2)分层随机抽样又称类型抽样，即将相似的个： 体归入一类（层），然后每类抽取若干个个体构成： /方法技巧/ 样本，所以分层随机抽样为保证每个个体被等可： 分层随机抽样的步骤 能抽取，必须进行 ( 分层 按某种特征将总体分成若干部分（层） A.每层等可能抽样 B.每层可以不等可能抽样 计算 抽样比 抽样比=样本容量 总体容量 C.所有层按同一抽样比等可能抽样 D.所有层抽取的个体数量相同 定数 按抽样比确定每层抽取的个体数 …/方法技巧/ 抽样 各层分别按简单随机抽样的方法抽取样本 1.使用分层随机抽样的前提 成样 综合各层抽样，组成样本 分层随机抽样的总体按一个或多个变量划分成 若干个子总体，并且每一个个体属于且仅属于 对点训练 一个子总体，而层内个体间差异较小. 2.使用分层随机抽样应遵循的原则 一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125 (1)将相似的个体归入一类，即为一层，分层要 人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上 求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不： 的有95人.为了了解这个单位职工与身体状态 遗漏的原则； 有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样 (2)分层随机抽样为保证每个个体等可能抽取， 本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？ 需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本 量与每层个体数量的比等于抽样比. 对点训练 某校有高一学生400人，高二学生380人，高三： 学生220人，现教育局督导组欲用分层随机抽样 的方法抽取50名学生进行问卷调查，则下列判： 断正确的是 ( ) A.高一学生被抽到的可能性最大 B.高二学生被抽到的可能性最大 C.高三学生被抽到的可能性最大 题点三分层随机抽样的相关计算 D.每位学生被抽到的可能性相等 [典例](1)交通管理部门为了解机动车驾驶员 题点二分层随机抽样的应用 (简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、 [典例]某市的3个区共有高中学生20000人，且： 丙、丁四个社区做分层随机抽样调查，假设四个 3个区的高中学生人数之比为2：3：5，现要从 社区驾驶员的总人数为N,其中甲社区有驾驶员 -109 数学必修第二册 96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的： (2)如果从高中生、初中生、小学生中抽取的样本 人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员 量分别为60,100,150，那么在这种情况下，抽取 的总人数N为 ( 的样本的近视率是多少？该地区全体中小学生 A.101 B.808 C.1212D.2012 的近视率约为多少？ (2)某校有初中、高中两个部门，其中初中有学生 850人，高中有学生650人，小军想要进行一个视 力调查，对学校按部门进行分层随机抽样，得到 初中生、高中生平均视力分别为1.0,0.8，其中样 本量为60，则在初中部、高中部分别抽 题点四 获取数据的途径 人， 人，整个学校平均视力为 (保留两位小数). [典例]“中国天眼”为500米口径球 /方法技巧/ 面射电望远镜，是具有我国自主知 1.进行分层随机抽样的相关计算时，常用到的 识产权、世界最大单口径、最灵敏的 两个关系 射电望远镜.建造“中国天眼”的目的是 (1) 样本量n」 该层抽取的个体数 A.通过调查获取数据B.通过试验获取数据 总体的个数N该层的个体数 C.通过观察获取数据D.通过查询获得数据 (2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这 …/方法技巧/ 两层抽取的个体数之比： 在统计活动中，尤其是大型的统计活动，为避免 2.样本的平均数和各层的样本平均数的关 一些外界因素的干扰，通常需要确定调查的对 系为： 象、调查的方法与策略，需要精心设计前期的准 10m 2 M 备工作和收集数据的方法，然后对数据进行分 M+NM+N 析，得出统计推断. 对点训练 对点训练 某地区有高中生7200人，初中生11800人，小学生 李林是某大学的学生，暑假期间的社会实践报告 12000人.当地教育部门为了了解本地区中小学生 是研究某市2023年法律援助情况，针对获取数 的近视率，采用分层随机抽样的方法，按高中生、初： 据的途径，下列说法正确的是 中生、小学生进行分层，得到高中生、初中生、小学 A.直接使用2022年该市司法部门的统计数据 生的近视率分别为80%，70%，36%. B.通过观察获取数据 (1)如果在各层中按比例分配样本，总样本量为： C.通过试验获取数据 310,那么在高中生、初中生、小学生中分别抽取： D.可以查阅2023年该市司法部门的统计数据， 了多少人？在这种情况下，请估计该地区全体中 并结合该市的实际情况，对数据进行“清洗”， 小学生的近视率； 去伪存真，获取有价值的数据 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1： A.100,10 B.200,10 和图2所示.为了解该地区中小学生的近视形成 C.100,20 D.200,20 原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调：2.在分层随机抽样中，每层中的样本抽取应采用简 查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 单随机抽样，如：在第一层中应从n个个体中抽 ( 取一个容量为10的样本.若第二次抽取时，余下 ↑近视率/% 小学生 3500名 高中生 的每个个体被抽到的概率为了，则在整个抽样过 2000名 初中生 o 程中，每个个体被抽到的概率为 4500名 10- 0 小学初中高中年级 1 10 : 图2 A.4 B.3 c D.27 110 第九章统计 3.某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量：5.（多选）分层随机抽样是将总体分成互不交叉的 之比为3：5：7，现用分层抽样的方法抽出容量：层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一 为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量： 定数量的个体，组成一个样本的抽样方法.在《九 n= ( ) 章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持 A.54 B.90 C.45 D.126 钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十， 4.山东某高中针对学生发展要求，开设了富有地方 凡三人俱出关，关税百钱.欲以钱多少衰出之，问 特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加： 各几何？”其译文为：今有甲持560钱，乙持350 这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只： 钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共 能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如： 100钱，要按照各人带钱多少的比例进行交税，问 下表： 三人各应付多少税？则下列说法正确的是 高一年级 高二年级 高三年级 ( 泥塑 a A甲应付51易线 剪纸 B.乙应付32 其中x:y:之=5：3：2，且“泥塑”社团的人数 占两个社团总人数的号，为了了解学生对这两个 C丙应付16品钱 社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样 D.三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少 本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中 温馨提示 请做课时分层检测（三十四） 应抽取 人 9.2.1 总体取值规律的估计 明学习目标 知结构体系 1.掌握频率分布表的作法以及频率分布直方图的画法，掌握用频率分 课标 布直方图估计总体， 要求 2.在问题情境中会用不同的统计图分析样本数据，能从统计图表中获 总体取值规律的估计 取有价值的信息，估计总体分布的规律， 频数 频率 分布 分布 1.在学习绘制频率分布直方图的过程中，掌握应用频率分布直方图等 条形图 扇形图 折线图 直方 素养 统计图表估计总体的取值规律，发展数据分析和直观想象素养. 图 图 要求 2.在应用统计图表估计总体的过程中，发展直观想象素养和数据分析 素养 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)频率分布表与频率分布直方图 计算各小组的频率，例如第一小组的频率是 与画频数分布直方图类似，我们可以按以下步骤 制作频率分布表、画频率分布直方图. 第一组颗数，作出频率分布表，表格形式如下： 样本容量 第一步，求极差 分组 频数累计 频数 频率 极差为一组数据中 的差 [55,66) 正正 9 0.2 第二步，决定组距与组数 左闭右开 在统计票数时，我们往往习 左栏频数 第三步，将数据分组 惯用“正”字笔画来统计 与左栏对应 样本容量 通常对组内数据取 区间，最后一组数据 第五步，画频率分布直方图 取闭区间. 画图时，以横轴表示分组，纵轴（小长方形的高 第四步，列频率分布表 : 度)表示 111